Analysis

Polarkoordinaten

In diesem Artikel behandeln wir die Polarkoordinaten. Du erhältst zunächst eine Einführung und anschließend zeigen wir dir wie sie in kartesische Koordinaten umgerechnet werden können und umgekehrt. Zudem werden das Flächen- und Linienelement sowie die Einheitsvektoren thematisiert. Außerdem wird auf die Darstellung komplexer Zahlen in diesen Koordinaten eingegangen und die räumlichen Polarkoordinaten werden kurz dargestellt.

Um dir die viele Lesearbeit zu ersparen und das ganze Thema etwas anschaulicher aufzubereiten, haben wir für dich ein Video dazu erstellt.

Inhaltsübersicht

Ebene Polarkoordinaten Definition

Merke
In Polarkoordinaten wird ein Punkt der Ebene durch Angabe seines Abstands r zu einem vorgegebenen Koordinatenursprung (Pol) und durch Angabe eines Winkels \phi bezüglich eines vorgegebenen Strahls durch den Pol (Polachse) beschrieben. Das Zahlenpaar \left(r,\phi\right) wird als Polarkoordinaten der Ebene bezeichnet.

Polar- und kartesische Koordinaten können ineinander umgerechnet werden. Die Polarkoordinaten werden auch als Kreiskoordinaten bezeichnet.

Polarkoordinatensystem 

Das Polarkoordinatensystem wird durch seinen Koordinatenursprung, einen Punkt in der Ebene, den sogenannten Pol, und durch einen von diesem Pol fortlaufenden Strahl, der sogenannten Polachse, ausgezeichnet. Bezüglich dieses Punktes und des Strahls lassen sich dann die Polar- bzw. Kreiskoordinaten eines beliebigen Punktes in der Ebene angeben.

Polarkoordinatendarstellung 

Soll ein beliebiger Punkt der Ebene in Polarkoordinaten beschrieben werden, so kann eine Strecke zwischen dem Punkt und dem Pol des Koordinatensystems betrachtet werden. Die erste Koordinate in der Polarkoordinatendarstellung ist der Abstand r des Punktes zum Pol, also die Länge der betrachteten Strecke. Dieser Abstand r wird auch als Radius bezeichnet.
Die zweite Koordinate \phi ist gegeben durch den Winkel, den die betrachtete Strecke überstreicht, wenn sie im Uhrzeigersinn um den Pol bis zur Polachse gedreht wird. Dieser Winkel \phi wird auch als Polarwinkel oder Azimut bezeichnet. Die Angabe der beiden Koordinaten r und \phi eines Punktes der Ebene als Zahlenpaar \left(r,\phi\right) wird als Polarkoordinatendarstellung bezeichnet.

Polarkoordinaten umrechnen 

Häufig kannst du bestimmte Rechnungen vereinfachen, wenn du vorher zwischen den Kreiskoordinaten und den kartesischen Koordinaten umrechnest. Im Folgenden zeigen wir dir beide Richtungen der Umrechnung.

Kartesische Koordinaten in Polarkoordinaten umrechnen

Um von den kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten umzurechnen, müssen aus den gegebenen Koordinaten \mathbit{x} und \mathbit{y} des kartesischen Systems der Radius r und der Polarwinkel \phi berechnet werden. Der Einfachheit halber soll als Pol des Polarkoordinatensystems der Ursprung des kartesischen Systems und als Polachse die positive \mathbit{x}-Achse gewählt werden.

Kartesische Koordinaten umrechnen Polarkoordinatensystem Polachse Polarkoordinaten
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Kartesische Koordinaten umrechnen

Der Radius r lässt sich dann ganz einfach mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnen:

r=\sqrt{x^2+y^2}

Die Bestimmung des Polarwinkels \phi bringt hingegen ein paar Besonderheiten mit sich.

Zum einen kann der Winkel \phi für den Fall, dass r=0 gilt, jeden beliebigen Wert annehmen. In diesem Fall wird meist \phi=0 verwendet.

Zum anderen ist der Winkel auch für r\neq0 nicht eindeutig definiert. Wird nämlich zu einem gegebenen Winkel der Wert 2\pi addiert, so wird durch den dadurch erhaltenen Winkel derselbe Punkt in der Ebene beschrieben. Um eine eindeutige Transformationsvorschrift zu erhalten wird die Angabe des Winkels auf ein halboffenes Intervall der Länge \mathbf{2}\mathbit{\pi} wie beispielsweise das Intervall \left[0,2\pi\right) beschränkt.

Für den ersten Quadranten lässt sich der Winkel dann ganz einfach mithilfe des Arkustangens berechnen. Für die anderen Quadranten muss jeweils noch ein Wert dazu addiert werden. Es ergibt sich folgende Fallunterscheidung:

x>0,\ y\geq0   \phi=arctan{\frac{y}{x}}

x>0,\ y<0    \phi=arctan{\frac{y}{x}}+2\pi

x<0    \phi=arctan{\frac{y}{x}}+\pi

Für den Fall, dass x=0 gilt, ergeben sich folgende Winkel:

x=0,\ y>0    \phi=90°
x=0,\ y<0    \phi=270°

Arkustangens berechnen Polarkoordinaten Polachse Kartesische Koordinaten
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Arkustangens berechnen

Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten umrechnen 

Die Umrechnung der Polarkoordinaten in kartesischen Koordinaten folgt hingegen einfacheren Rechenvorschriften. Es gilt:

x=r\cdot cos\left(\phi\right)
y=r\cdot sin\left(\phi\right)

Flächenelement

Mit den Transformationsgleichungen x=r\cdot cos\left(\phi\right) und y=r\cdot sin\left(\phi\right) gilt für die Funktionaldeterminante in Kreiskoordinaten:

det\frac{\partial\left(x,y\right)}{\partial\left(r,\phi\right)}=det\left(\begin{matrix}\frac{\partial x}{\partial r}&\frac{\partial x}{\partial\phi}\\\frac{\partial y}{\partial r}&\frac{\partial y}{\partial\phi}\\\end{matrix}\right)=det\left(\begin{matrix}cos\left(\phi\right)&-r\cdot s i n\left(\phi\right)\\sin\left(\phi\right)&r\cdot c o s\left(\phi\right)\\\end{matrix}\right)=r\cdot cos^2\left(\phi\right)+r\cdot sin^2\left(\phi\right)=r

Somit ergibt sich für das Flächenelement dA:

dA=dx\ dy=det\frac{\partial\left(x,y\right)}{\partial\left(r,\phi\right)}dr\ d\phi=r\ dr\ d\phi

Linienelement

Ebenso ergibt sich aus den genannten Transformationsgleichungen \ x=r\cdot cos\left(\phi\right) und y=r\cdot sin\left(\phi\right) folgender Zusammenhang:

dx=\ cos\left(\phi\right)\ dr-r\cdot sin\left(\phi\right)\ d\phi
dy=sin\left(\phi\right)\ dr+r\cdot cos\left(\phi\right)\ d\phi

Da in den kartesischen Koordinaten der Zusammenhang

ds^2=dx^2+dy^2

gilt, folgt mit obigen Gleichungen in Kreiskoordinaten für das Linienelement ds:

ds^2=\left(cos\left(\phi\right)\ dr-r\cdot s i n\left(\phi\right)\ d\phi\right)^2+\left(sin\left(\phi\right)\ dr+r\cdot c o s\left(\phi\right)\ d\phi\right)^2

Durch Vereinfachen ergibt sich:

ds^2=dr^2+r^2\ d\phi^2

Einheitsvektoren

Mit dem Richtungsvektor \vec{r}=\left(\begin{matrix}r\cdot c o s\left(\phi\right)\\r\cdot s i n\left(\phi\right)\\\end{matrix}\right) gilt für die Basisvektoren bzw. die Einheitsvektoren \vec{e_r} und \vec{e_\phi} in Kreiskoordinaten:

\vec{e_r}=\frac{1}{\left|\frac{\partial\vec{r}}{\partial r}\right|}\cdot\frac{\partial\vec{r}}{\partial r}=\frac{1}{\sqrt{cos^2\left(\phi\right)+sin^2\left(\phi\right)}}\cdot\left(\begin{matrix}cos\left(\phi\right)\\sin\left(\phi\right)\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}cos\left(\phi\right)\\sin\left(\phi\right)\\\end{matrix}\right) \vec{e_\phi}=\frac{1}{\left|\frac{\partial\vec{r}}{\partial\phi}\right|}\cdot\frac{\partial\vec{r}}{\partial\phi}=\frac{1}{\sqrt{r^2\cdot s i n^2\left(\phi\right)+r^2\cdot c o s^2\left(\phi\right)}}\cdot\left(\begin{matrix}-r\cdot s i n\left(\phi\right)\\r\cdot c o s\left(\phi\right)\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-sin\left(\phi\right)\\cos\left(\phi\right)\\\end{matrix}\right)

Die Einheitsbasisvektoren in Kreiskoordinaten sind also davon abhängig, welcher Punkt der Ebene betrachtet wird. Während der eine Einheitsvektor \vec{e_r} vom Pol in Richtung des betrachteten Punktes zeigt, steht der zweite Einheitsvektor \vec{e_\phi} gegen den Uhrzeigersinn senkrecht auf dem Vektor \vec{e_r}.

Basisvektoren Pol Polkoordinaten
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Basisvektoren

Geschwindigkeit und Beschleunigung in Polarkoordinaten

Mit den Einheitsvektoren lässt sich eine Bewegung in Kreiskoordinaten in eine radiale und eine transversale Komponente zerlegen. Es gilt nämlich für die Geschwindigkeit \dot{\vec{r}}:

\dot{\vec{r}}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\begin{matrix}r\cdot c o s\left(\phi\right)\\r\cdot s i n\left(\phi\right)\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\dot{r}\cdot c o s\left(\phi\right)-r\cdot s i n\left(\phi\right)\cdot\dot{\phi}\\\dot{r}\cdot s i n\left(\phi\right)+r\cdot c o s\left(\phi\right)\cdot\dot{\phi}\\\end{matrix}\right)=\dot{r}\cdot\vec{e_r}+r\cdot\dot{\phi}\cdot\vec{e_\phi}

Analog gilt für die Beschleunigung \ddot{\vec{r}}:

\ddot{\vec{r}}=\frac{d\dot{\vec{r}}}{dt}=\left(\begin{matrix}\ddot{r}\cdot c o s\left(\phi\right)-\dot{r}\cdot s i n\left(\phi\right)\cdot\dot{\phi}-(\dot{r}\cdot s i n\left(\phi\right)+r\cdot c o s\left(\phi\right)\cdot\dot{\phi})\cdot\dot{\phi}-r\cdot s i n\left(\phi\right)\cdot\ddot{\phi}\\\ddot{r}\cdot s i n\left(\phi\right)+\dot{r}\cdot c o s\left(\phi\right)\cdot\dot{\phi}+(\dot{r}\cdot c o s\left(\phi\right)-r\cdot s i n\left(\phi\right)\cdot\dot{\phi})\cdot\dot{\phi}+r\cdot c o s\left(\phi\right)\cdot\ddot{\phi}\\\end{matrix}\right)

Durch Zusammenfassen ergibt sich:

\ddot{\vec{r}}=\left(\ddot{r}-r\cdot{\dot{\phi}}^2\right)\cdot\vec{e_r}+\left(2\cdot\dot{r}\cdot\dot{\phi}+r\cdot\ddot{\phi}\right)\cdot\vec{e_\phi}

Polarkoordinaten und komplexe Zahlen

Eine komplexe Zahl  z\in\mathbb{C} kann mit ihrem Realteil Re\left(z\right) und ihrem Imaginärteil Im\left(z\right) auf folgende Art und Weise dargestellt werden:

z=Re\left(z\right)+i\cdot Im\left(z\right)

Dies kommt einer Darstellung der komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten gleich, wobei der Realteil Re\left(z\right) der x-Koordinate und der Imaginärteil Im\left(z\right) der y-Koordinate entspricht. Eine andere Darstellung der Zahl gleicht dann einer Darstellung in Kreiskoordinaten:

z=\left|z\right|\cdot e^{i\phi}

Mit der Eulerschen Formel gleicht dies folgender Schreibweise:

z=\left|z\right|\cdot\left(cos\left(\phi\right)+i\cdot s i n\left(\phi\right)\right)=\left|z\right|\cdot cos\left(\phi\right)+i\cdot\left|z\right|\cdot sin\left(\phi\right)

Durch Vergleich mit der Darstellung der komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten ergeben sich wieder die bekannten Transformationsgleichungen:

Re\left(z\right)=\left|z\right|\cdot cos\left(\phi\right)

Im\left(z\right)=\left|z\right|\cdot sin\left(\phi\right)

Räumliche Polarkoordinaten

Werden die Kreiskoordinaten um eine dritte Koordinate ergänzt, so ergeben sich sogenannte räumliche Polarkoordinaten. Hierzu zählen Zylinderkoordinaten oder die Kugelkoordinaten.


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