Die Jacobi-Matrix (oder Jacobimatrix aber nicht Jakobi-Matrix) ist nach dem deutschen Mathematiker Carl Gustav Jacob Jacobi benannt und ist von großer Bedeutung für die Differentialrechnung im Mehrdimensionalen. Man bezeichnet sie auch als Funktionalmatrix oder Ableitungsmatrix.

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Inhaltsübersicht

Definition: Jacobi-Matrix bzw. Funktionalmatrix 

Sei U\subset \mathbb{R}^n offen und f eine Funktion von folgender Form:

f: U\rightarrow \mathbb{R}^m

(x_1,x_2, . . . ,x_n )\mapsto \left ( \begin{array}{r}f_1 (x_1,x_2, . . . ,x_n )\\ \vdots \\f_m (x_1,x_2, . . . ,x_n )\end{array} \right)

Existieren alle partiellen Ableitungen der Komponentenfunktionen f_1, . . . ,f_m, so lautet die Jacobi-Matrix im Punkt x_0\in U:

J_f (x_0):=(\frac{\partial f_i}{\partial x_jx} (x_0))_(_i_=_1_,_._._._,_m_;_ j_=_1_,_._._._,_n_)=

\left ( \begin {array} {rrr} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} (x_0) &\cdots &\frac{\partial f_1}{\partial x_n} (x_0 )\\ \vdots &\ddots &\vdots\\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1} (x_0 )&\cdots &\frac{\partial f_m}{partial x_n} (x_0 )\end {array} \right)

Häufig sieht man auch die Schreibweise Df(x_0 ) bzw. \frac{\partial (f_1,. . . ,f_m)}{\partial (x_1,x_2, . . . ,x_n)} (x_0 ) für die Jacobi-Matrix.

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Jacobi-Matrix

Jacobi-Matrix als totale Ableitung 

Merke
Ist die betrachtete Funktion f: \mathbb{R}^n\supset U \rightarrow \mathbb{R}^m im Punkt x_0\in U total differenzierbar , so stellt die Jacobi-Matrix die totale Ableitung von f in x_0 dar.

Dies soll im Folgenden bewiesen werden:

Ist f in x_0 total differenzierbar, so gilt mit der totalen Ableitung A:

f(x_0+h)=f(x_0)+A\cdot h+r(h),

wobei für die Restfunktion r(h) gilt:

\lim\limits_{h\to\ 0} \frac{r(h)}{|h|} =0

Hierbei ist A=(a_i_j)_(_i_=_1_,_._._._,_m_;_ j_=_1_,_._._._,_n_) eine Matrix und h=\left ( \begin{array}{r} h_1\\ \vdots\\h_n\end {array} \right) ein n-dimensionaler Vektor.

Nun soll die i-te Komponente von f(x_0+h) betrachtet werden:

f_i (x_0+h)=f_i (x_0 )+\sum\limits_{k=1}^n a_i_j\cdot h_k+r_j (h)

Behält man in h=\left ( \begin{array}{r} h_1\\ \vdots\\h_n\end{array} \right) nur die j-te Komponente ungleich null, wird daraus der Vektor h_j e_j=\left ( \begin {array}{r} 0\\ \vdots\\h_j\\ \vdots \\0 \end{array}\right) und es ergibt sich:

f_i (x_0+h_j e_j)=f_i (x_0)+a_i_j\cdot h_j+r_j (h_j e_j )

Nun lässt sich damit und mit \lim\limits_{h\to\ 0} \frac{r(h)}{|h|}=0 die partielle Ableitung der i-ten Komponente von f nach x_j berechnen:

\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x_0)=\lim\limits_{h_j\to\ 0} \frac {f_i (x_0+h_j e_j)-f_i (x_0)}{h_j} =a_i_j+\lim\limits_{h_j\to\ 0} \frac{r_j (h_j e_j )}{h_j} =a_i_j

Es wurde also gezeigt, dass gilt:

A=(a_i_j)_i_=_1_,_._._._,_m_;_j_=_1_,_._._._,_n=(\frac{\partial f_i}{\partial x_j} (x_0 ))_i_=_1_,_._._._,_m_;_j_=_1_,_._._._,_n=J_f (x_0)

Das bedeutet gerade, dass die Jacobi-Matrix die totale Ableitung von f im Punkt x_0 ist.

Beispiel 1 – Jacobi-Matrix berechnen 

Die Berechnung der Jacobi-Matrix soll am Beispiel der Funktion

f: \mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}^3

(x,y)\mapsto \left ( \begin{array}{r} f_1 (x,y)\\f_2 (x,y)\\f_3 (x,y)\end {array}\right )=\left ( \begin{array}{r} x^2+sin⁡(y)\\e^y+3\\2x^4\cdot y\end{array}\right )

illustriert werden.
Für die Jacobi-Matrix werden die partiellen Ableitungen der drei Komponenten f_1,f_2 und f_3 nach x und y bestimmt. Diese lauten:

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Jacobi-Matrix berechnen

Durch richtiges Anordnen dieser partiellen Ableitungen ergibt sich bereits die Jacobi-Matrix bzw. die Funktionalmatrix:

J_f (x,y)=Df(x,y)=\left ( \begin {array}{rr} \frac{\partial f_1}{\partial x} (x,y) & \frac{\partial f_1} {\partial y} (x,y)\\\frac{\partial f_2}{\partial x} (x,y) & \frac{\partial f_2}{\partial y} (x,y)\\ \frac{\partial f_3}{\partial x} (x,y) & \frac{\partial f_3}{\partial y} (x,y) \end {array} \right )=\left ( \begin {array} {rr} 2x & cos⁡(y)\\0 & e^y\\ 8x^3\cdot y & 2x^4 \end {array} \right)

Beispiel 2 – Jacobi-Matrix berechnen

Nun soll die Funktion

\theta: \mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3

(r,\theta ,\varphi)\mapsto \left ( \begin {array} {r} x(r,\theta,\varphi)\\ y(r,\theta,\varphi)\\ z(r,\theta ,\varphi) \end{array} \right )= \left ( \begin {array} {r} r\cdot sin⁡(\theta)\cdot cos⁡(\varphi)\\r\cdot sin⁡(\theta )cdot sin⁡(\varphi)\\r\cdot cos⁡(\theta) \end{array}\right)

betrachtet werden, welche eine Transformation der kartesischen in die Kugelkoordinaten beschreibt.

Die partiellen Ableitungen der einzelnen Komponenten lauten:

\frac{\partial x}{\partial r} (r,\theta ,\varphi)= sin⁡(\theta) cos⁡(\varphi)

\frac{\partial x}{\partial \theta} (r,\theta ,\varphi )=r cos⁡(\theta)cos⁡(\varphi)

\frac c{\partial x}{\partial \varphi) (r,\theta,\varphi)=-r sin⁡(\theta) sin⁡(\varphi)

\frac{\partial y}{\partial r} (r,\theta,\varphi)= sin⁡(\theta) sin⁡(\varphi)

\frac{\partial y}{\partial\theta} (r,\theta ,\varphi)=r cos⁡(\theta)sin⁡(\varphi)

\frac{\partial y}{\partial \varphi} (r,\theta ,\varphi )=r sin⁡(\theta)cos⁡(\varphi)

\frac{\partial z}{\partial r} (r,\theta ,\varphi)=cos⁡(\theta)

\frac {\partial z}{\partial \theta} (r,\theta,\varphi)=-r sin⁡(\theta)

\frac{\partial z}{\partial \varphi} (r,\theta,\varphi)=0

Die Jacobi-Matrix hat demzufolge folgende Form:

J_f (r,\theta,\varphi)=\left ( \begin{array}{rrr} sin⁡(\theta) cos⁡(\varphi) & r cos⁡(\theta) cos⁡(\varphi) & -r sin⁡(\theta) sin⁡(\varphi)\\\\frac{sin⁡(\theta)sin⁡(\varphi) & r cos⁡(\theta)sin⁡(\varphi) & r sin⁡(\theta)cos⁡(\varphi)\\cos⁡(\theta) & -r sin⁡(\theta) & 0\end {array}\right)

Da diese Jacobi-Matrix eine quadratische Matrix ist, lässt sich deren Determinante berechnen. Diese wird Jacobi-Determinante genannt. Sie spielt bei der Koordinatentransformation von Integralen eine wichtige Rolle. Im vorliegenden Fall lautet sie:

det(J_f (r,\theta,\varphi))=r^2\cdot sin⁡(\theta)

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