Analysis

Differenzenquotient

In diesem Artikel erklären wir dir, was der Differenzenquotient ist und in welchem Zusammenhang er mit dem Differentialquotienten steht. Dafür verwenden wir viele Grafiken und Beispiele

Du möchtest gern alles Wichtige über den Differenzenquotient erfahren, aber bist eher der audiovisuelle Lern-Typ? Kein Problem! Schau dir einfach unser Video  dazu an. 

Inhaltsübersicht

Differenzenquotient einfach erklärt

Angenommen du hast eine Funktion f(x) gegeben und eine Gerade, die den Graphen von f in zwei Punkten A(a,f(a)) und B(b, f(b)) schneidet, eine sogenannte Sekante.

Differenzenquotient

Der Differenzenquotient ist dann gegeben durch: 

m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

und beschreibt die Steigung der Sekante. 

Mittlere Änderungsrate Differenzenquotient

Graphisch sieht die beschriebene Situation folgendermaßen aus: 

Differenzenquotient Sekante
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Sekante

 

Du hast also eine Funktion f(x) und eine Sekante gegeben, die den Graphen in zwei Punkten A und B schneidet. Dein Ziel ist es die Steigung dieser Sekante zu bestimmen. Dafür zeichnest du ein sogenanntes Steigungsdreieck unterhalb der Sekante ein.

Differenzenquotient Steigung Sekante
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Steigungsdreieck

 

Für deren Steigung musst du nun die Höhe des Dreiecks \Delta y durch die Länge des Dreiecks \Delta x teilen, das heißt

m=\frac{\Delta y}{\Delta x}. 

Für die Höhe siehst du dir den y-Abschnitt des Dreiecks an. Da die Ecken des Dreiecks auf den Punkten A und B liegen, berechnest du ihn folgendermaßen: 

\Delta y = f(b)-f(a).

Das Gleiche machst du auch für die Länge beziehungsweise den x-Abschnitt des Dreiecks und erhältst so: 

\Delta x = b-a.

Nun setzt du deine Ergebnisse in die Formel des Steigungsdreiecks ein und bekommst damit die Definition des Differenzenquotient, auch mittlere Änderungsrate genannt: 

m=\frac{\Delta y}{\Delta x}

=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.

Differenzenquotient Aufgaben

Vielleicht hast du dich gerade gefragt, wieso man den Differenzenquotient auch mittlere Änderungsrate nennt. Schauen wir dazu zwei Beispiele an.

Beispiel 1

Betrachten wir ein theoretisches Differenzenquotient Beispiel und zwar sollst du die mittlere Änderungsrate der Funktion  

f(x)=x^2+x

zwischen a=3 und b=11 bestimmen. Entsprechend der Differenzenquotient Formel berechnest du also 

m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

=\frac{f(11)-f(3)}{11-3}

=\frac{11^2+11-(3^2+3)}{8}

=\frac{132-12}{8}

=15.

Beispiel 2

Angenommen du fährst mit dem Zug in den Urlaub und die Funktion f(x) beschreibt den Weg, den du während deiner Fahrt zurückgelegt hast.  

Beispiel Differenzenquotient
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Beispiel

 

Das heißt auf der x-Achse des Koordinatensystems wird die Zeit in Stunden und auf der y-Achse die Strecke in Kilometern aufgetragen. 

Nach einer halben Stunde fährst du an Augsburg vorbei. Bis hierhin hast du bereits eine Strecke von 10km zurückgelegt. Es gilt also:

f(0,5)=10.  

Nach insgesamt eineinhalb Stunden kannst du München sehen. Der Zug ist bis jetzt 80km gefahren, was bedeutet: 

f(1,5)=80.

Nun möchtest du gerne die mittlere Geschwindigkeit des Zuges auf der Strecke Augsburg-München wissen und zeichnest eine Sekante mit den Schnittpunkten A(0,5;10) und B(1,5;80) ein.

Beispiel Differenzenquotient
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Beispiel

Für die Geschwindigkeit rechnest du nun Strecke durch Zeit:

v=\frac{\Delta y}{\Delta x}.

Das heißt, du berechnest die Steigung der Sekante, also das eingezeichnete Steigungsdreieck, aus, nämlich:

v= \frac{\Delta y}{\Delta x}

= \frac{f(1,5)-f(0,5)}{1,5-0,5}

=\frac{80-10}{1}

=70.

Auf der Strecke zwischen Augsburg und München hatte der Zug somit eine durchschnittliche Geschwindigkeit von 70km/h. 

In diesem Fall hast du also mit dem Differenzenquotient die mittlere Änderungsrate zwischen a=0,5 und b=1,5 ausgerechnet. 

Grenzwert des Differenzenquotienten

Im Folgenden sehen wir uns an, was passiert, wenn du beim Differenzenquotient Berechnen den Wert b immer mehr an den Wert a annäherst. 

Sekante Tangente Differentialquotient Differenzenquotient
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Grenzwert des Differenzenquotienten

 

Wie du in der Grafik siehst, wird die Sekante zur Tangente, wenn b gegen a läuft. Genauer gesagt, siehst du hier den Übergang: Differenzenquotient Differentialquotient. 

Das heißt der Grenzwert b \to a des Differenzenquotient ergibt den sogenannten Differentialquotienten:  

\lim \limits_{b \to a} \frac{f(b)-f(a)}{b-a},

welcher die Steigung der Tangente im Punkt A berechnet.

Übersicht Differentialrechnung  

Du kennst nun den Zusammenhang zwischen dem Differenzenquotient und dem Differentialquotient. Eine andere Interpretation des Differentialquotienten ist die h Methode

Die folgende Tabelle gibt dir nochmal eine Übersicht über diese drei elementaren Begriffe der Differentialrechnung. 

Begriff Formel Bedeutung
Differenzenquotient \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} Sekantensteigung
Differentialquotient \lim \limits_{x_1\to x_0}\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} Tangentensteigung
h Methode \lim \limits_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} Tangentensteigung

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