Analysis

h Methode

In diesem Artikel erklären wir dir die h Methode, eine Methode aus dem Bereich der Differentialrechung, und zeigen dir Beispiele dazu. 

Anschaulich und leicht verständlich findest du alles Wichtige zur h Methode in unserem Video . Schau es dir unbedingt an!

Inhaltsübersicht

H-Methode einfach erklärt

Angenommen du hast eine Funktion f(x) gegeben. Dann kannst du dir mit der h-Methode ihre Ableitungsfunktion f'(x) herleiten.  

Merke

Die h Methode lautet: 

f'(x)=\lim \limits_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

Sie ist eine andere Interpretation des Differentialquotienten und berechnet daher die Steigung der Tangente am Punkt x.

Differentialquotient h Methode

Der Differentialquotient

\lim \limits_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

berechnet die Steigung der Funktion am Punkt x_0. Er stellt den Grenzwert des Differenzenquotienten  dar. Graphisch gesehen bestimmst du über den Differentialquotient die Steigung der Tangente des Graphen am Punkt x_0, indem du x immer mehr an x_0 annäherst. 

h Methode Tangente Sekante Ableitung
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h Methode

Das bedeutet, du reduzierst den Abstand zwischen x und x_0. Genau diese Sichtweise machst du dir bei der h-Methode zunutze und bezeichnest deshalb den Abstand als

h=x-x_0.

Diese Gleichung löst du nach x=x_0+h auf und setzt h und x in den Differentialquotienten ein. Da du nun den Abstand gegen Null laufen lässt, schreibst du im Grenzwert h\to 0. Das Ergebnis ist die H Formel für den Punkt x_0: 

f'(x_0)=\lim \limits_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim \limits_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.

H Methode Aufgaben

Schauen wir uns nun ein Beispiel an und zwar die Funktion 

f(x)= x^2.

Du kannst nun die Ableitung der Funktion mithilfe der h-Methode herleiten. Dafür setzt du einfach die Funktion in die obere Formel ein: 

f'(x)=\lim \limits_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

            =\lim \limits_{h\to 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h}.

Als nächstes löst du die quadratische Klammer im Zähler mit der Binomischen Formel auf und fasst den Term zusammen: 

f'(x)= \lim \limits_{h\to 0} \frac{x^2 +2xh + h^2 - x^2}{h}

=\lim \limits_{h\to 0} \frac{2xh + h^2}{h}.

Nun kannst du im Zähler ein h ausklammern und im Anschluss mit dem h im Nenner kürzen: 

f'(x)=\lim \limits_{h\to 0} \frac{h\cdot (2x + h)}{h}

           = \lim \limits_{h\to 0} 2x + h.

Schließlich bestimmst du den Grenzwert, indem du für h Null einsetzt. Damit ergibt sich die Ableitung

f'(x)=2x.

Falls du noch mehr Beispiele zur Ableitung h Methode sehen möchtest, findest du sie in den Artikeln: 

Funktionen und ihre Ableitungen

Wie du siehst kannst du mit der beschriebenen Methode die Ableitung von bestimmten Funktionen herleiten, wie auch die der folgenden:  

  Funktion Ableitung
e Funktion ableiten f(x)=e^x f'(x)=e^x
ln ableiten f(x)=\ln(x) f'(x)=\frac{1}{x}
Wurzel ableiten f(x)=\sqrt{x} f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
Ableitung Cosinus f(x)=\cos(x) f'(x)=-\sin(x)
Ableitung Sinus f(x)=\sin(x) f'(x)=\cos(x)
Ableitung Tangens f(x)=\tan(x) f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}

Ableitungsregeln 

Tatsächlich ist es möglich mit dieser Methode, nicht nur explizite Ableitungen, sondern auch die nachstehenden Ableitungsregeln herzuleiten: 

Ableitungsregel Funktion Ableitung
Summenregel f(x)=g(x)+h(x) f'(x)=g'(x)+h'(x)
Differenzregel f(x)=g(x)-h(x) f'(x)=g'(x)-h'(x)
Potenzregel f(x)=x^n f'(x)=n\cdot x^{n-1}
Faktorregel f(x)=a\cdot g(x) f'(x)=a \cdot g'(x)
Produktregel f(x)=g(x)\cdot h(x) f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)
Quotientenregel f(x)=\frac{g(x)}{h(x)} f'(x)=\frac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{[h(x)]^2}
Kettenregel f(x)=g(h(x)) f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)

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