berechnet die Steigung der Funktion am Punkt x_0. Er stellt den Grenzwert des Differenzenquotienten dar. Graphisch gesehen bestimmst du über den Differentialquotient die Steigung der Tangente des Graphen am Punkt x_0, indem du immer mehr an x_0 annäherst.

h Methode Tangente Sekante Ableitung — h Methode

Das bedeutet, du reduzierst den Abstand zwischen und x_0 . Genau diese Sichtweise machst du dir bei der h-Methode zunutze und bezeichnest deshalb den Abstand als

h=x-x_0.

Diese Gleichung löst du nach x=x_0+h auf und setzt h und x in den Differentialquotienten ein. Da du nun den Abstand gegen Null laufen lässt, schreibst du im Grenzwert $h\to 0.$ Das Ergebnis ist die H Formel für den Punkt x_0:

$f'(x_0)=\lim \limits_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\lim \limits_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.$

H Methode Aufgaben

im Videozur Stelle im Video springen

(01:30)

Schauen wir uns nun ein Beispiel an und zwar die Funktion

f(x)= x^2.

Du kannst nun die Ableitung der Funktion mithilfe der h-Methode herleiten. Dafür setzt du einfach die Funktion in die obere Formel ein:

$f'(x)=\lim \limits_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$=\lim \limits_{h\to 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h}.$

Als nächstes löst du die quadratische Klammer im Zähler mit der Binomischen Formel auf und fasst den Term zusammen:

$f'(x)= \lim \limits_{h\to 0} \frac{x^2 +2xh + h^2 - x^2}{h}$

$=\lim \limits_{h\to 0} \frac{2xh + h^2}{h}.$

Nun kannst du im Zähler ein ausklammern und im Anschluss mit dem im Nenner kürzen:

$f'(x)=\lim \limits_{h\to 0} \frac{h\cdot (2x + h)}{h}$

$= \lim \limits_{h\to 0} 2x + h.$

Schließlich bestimmst du den Grenzwert, indem du für Null einsetzt. Damit ergibt sich die Ableitung

f'(x)=2x.

Falls du noch mehr Beispiele zur Ableitung h Methode sehen möchtest, findest du sie in den Artikeln:

Funktionen und ihre Ableitungen

Wie du siehst kannst du mit der beschriebenen Methode die Ableitung von bestimmten Funktionen herleiten, wie auch die der folgenden:

	Funktion	Ableitung
e Funktion ableiten
ln ableiten	$f(x)=\ln(x)$	$f'(x)=\frac{1}{x}$
Wurzel ableiten	$f(x)=\sqrt{x}$	$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$
Ableitung Cosinus	$f(x)=\cos(x)$	$f'(x)=-\sin(x)$
Ableitung Sinus	$f(x)=\sin(x)$	$f'(x)=\cos(x)$
Ableitung Tangens	$f(x)=\tan(x)$	$f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}$

Ableitungsregeln

Tatsächlich ist es möglich mit dieser Methode, nicht nur explizite Ableitungen, sondern auch die nachstehenden Ableitungsregeln herzuleiten:

Ableitungsregel	Funktion	Ableitung
Summenregel
Differenzregel
Potenzregel		$f'(x)=n\cdot x^{n-1}$
Faktorregel	$f(x)=a\cdot g(x)$	$f'(x)=a \cdot g'(x)$
Produktregel	$f(x)=g(x)\cdot h(x)$	$f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)$
Quotientenregel	$f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}$	$f'(x)=\frac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{[h(x)]^2}$
Kettenregel		$f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)$