Analysis
Differentialgeometrie
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In diesem Beitrag lernst du, wann Punkte oder Vektoren kollinear sind.%Schau dir einfach unser Video dazu an! Da siehst du direkt, was du wissen musst.

Kollinear einfach erklärt

Punkte Kollinear Definition:

Punkte sind kollinear, wenn sie auf einer Geraden liegen.

Zum Beispiel sind die Punkte P1 (1|1|1), P2 (2|2|2) und P3 (3|3|3) kollinear, da sie sich auf derselben Gerade g befinden:

    \[g:\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)\]

So kannst du prüfen, ob drei Punkte auf einer Gerade liegen:

  • Richtungsvektor aufstellen: Dafür ziehst du \overrightarrow{P_1} von \overrightarrow{P_{2}} ab.                                                                                                                                                                    

        \[\overrightarrow{v}=\overrightarrow{P_{2}}-\overrightarrow{P_{1}}=\left(\begin{array}{c}2\\2\\2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)\]

  • Stützvektor wählen: Du wählst \overrightarrow{P_{1}} als Stützvektor.
  • Geradengleichung aufstellen: Du setzt den Stützvektor und den Richtungsvektor in die Vorlage der Geradengleichung ein:                                                                                                                    

        \[\overrightarrow{X}=\overrightarrow{A}+\lambda\overrightarrow{v}\quad\rightarrow\quad\overrightarrow{X}=\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)\]

  • Punkt einsetzen: Anschließend setzt du den Punkt Pin die Geradengleichung ein und überprüfst, ob er darauf liegt. Dafür löst du die oberste Gleichung nach \lambda auf und überprüfst, ob die die beiden unteren Gleichungen mit deinem \lambda aus der ersten Gleichung stimmen:

        \begin{align*}\left(\begin{array}{c}3\\3\\3\end{array}\right)&\stackrel{?}{=}\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)+\lambda\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)\\ 3&=1+\lambda\cdot1\\ \textcolor{blue}{\lambda}&=2\\ 3&\stackrel{?}{=}1+\textcolor{blue}{2}\cdot1\\ 3&=3\quad\checkmark\\ 3&\stackrel{?}{=}1+\textcolor{blue}{2}\cdot1\\ 3&=3\quad\checkmark\end{align*}

Merke: Zwei Punkte sind also immer kollinear, weil du eine Gerade aus zwei Punkten aufstellen kann.

Vektoren Kollinear Definition:

Vektoren sind kollinear, wenn sie linear abhängig sind.

Das bedeutet, dass der eine Vektor ein Vielfaches des anderen Vektors ist. Die Vektoren sind also parallel. Folgende zwei Vektoren sind demnach kollinear, weil \textcolor{pink}{\overrightarrow{u}}  das Dreifache von \textcolor{olive}{\overrightarrow{v}}  ist:

    \[\textcolor{pink}{\overrightarrow{u}}=\textcolor{pink}{\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right)}\quad\textcolor{olive}{\overrightarrow{v}}=\textcolor{olive}{\left(\begin{array}{c}3\\6\\9\end{array}\right)}\]

    \begin{align*}3\cdot\textcolor{pink}{\left(\begin{array}{c}1\\2\\3\end{array}\right)}&=\textcolor{olive}{\left(\begin{array}{c}3\\6\\9\end{array}\right)}}\end{align*}

Kollinear Vektor, Kollinear, collinear, Kollinearität
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Kollinear Vektor

Am Besten rechnest du dazu noch ein paar Aufgaben.

Kollinear Übungen

Aufgabe 1:

Prüfe, ob die Punkte P1 (2|3|5), P2 (6|3|4) und P3 (10|3|3) kollinear sind.

Lösung:

Wenn du die Punkte auf Kollinearität überprüfen willst, musst du erst eine Gerade mit P1 und P2 aufstellen. Dafür musst du den Richtungsvektor zwischen den beiden Punkten bestimmen. Das machst du, indem du den Ortsvektor von P1 von P2 abziehst:

    \[\textcolor{olive}{\overrightarrow{v}}=\overrightarrow{P_{2}}-\overrightarrow{P_{1}}=\left(\begin{array}{c}6\\3\\4\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2\\3\\5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6-2\\3-3\\4-5\end{array}\right)=\textcolor{olive}{\left(\begin{array}{c}4\\0\\-1\end{array}\right)}\]

Jetzt kannst du mit deinem Richtungsvektor \textcolor{olive}{\overrightarrow{v}} und deinem Stützvektor \textcolor{orange}{P_{1}} eine Gerade bilden:

    \[g:\overrrightarrow{X}=\textcolor{orange}{\left(\begin{array}{c}2\\3\\5\end{array}\right)}+\textcolor{blue}{\lambda}\textcolor{olive}{\left(\begin{array}{c}4\\0\\-1\end{array}\right)}\]

Um zu bestimmen, ob die drei Punkte kollinear sind, musst du jetzt noch eine Punktprobe durchführen. Dafür setzt du den Punkt P3 für \overrightarrow{X}in deine Gerade ein:

    \begin{align*}\textcolor{purple}{\overrightarrow{P_{3}}}&\stackrel{?}{=}\left(\begin{array}{c}2\\3\\5\end{array}\right)+\textcolor{blue}{\lambda}\left(\begin{array}{c}4\\0\\-1\end{array}\right)\\ \textcolor{purple}{\left(\begin{array}{c}10\\3\\3\end{array}}\right)&\stackrel{?}{=}\left(\begin{array}{c}2\\3\\5\end{array}\right)+\textcolor{blue}{\lambda}\left(\begin{array}{c}4\\0\\-1\end{array}\right)\end{align*}

Hierfür reicht es, wenn du die oberste Zeile nach \textcolor{blue}{\lambda} auflöst und die übrigen beiden Gleichungen überprüfst:

    \begin{align*}10&=2+4\textcolor{blue}{\lambda}\\ 8&=4\textcolor{blue}{\lambda}\\ 2&=\textcolor{blue}{\lambda}\end{align*}

Setze jetzt 2 für \textcolor{blue}{\lambda} in die anderen beiden Gleichungen ein. Wenn die beiden Gleichungen richtig sind, weißt du, dass der dritte  Punkt auf der Gerade liegt:

    \begin{align*}3&=3+\textcolor{blue}{2}\cdot0\\ 3&=3\quad\checkmark\end{align*}

Jetzt setze das noch in die dritte Gleichung ein:

    \begin{align*}3&=5-\textcolor{blue}{2}\cdot1\\ 3&=3\quad\checkmark\end{align*}

Da die beiden anderen Gleichungen für \textcolor{blue}{\lambda} gleich 2 auch erfüllt sind, bedeutet das, dass der dritte Punkt sich auch auf der Geraden befindet. Somit sind alle drei Punkte kollinear.

Aufgabe 2:

Probier‘ direkt noch eine Aufgabe zur Kollinearität. Sind die Punkte P1 (1|0|2), P2 (2|0|3) und P3 (3|1|4) kollinear?

Lösung:

Um die Kollinearität zu prüfen, stellst du wieder eine Gerade zwischen P1 und P2 auf. Dafür berechnest du zuerst den Richtungsvektor:

    \[\textcolor{olive}{\overrightarrow{v}}=\overrightarrow{P_{2}}-\overrightarrow{P_{1}}=\left(\begin{array}{c}2\\0\\3\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}1\\0\\2\end{array}\right)=\textcolor{olive}{\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right)}\]

Mit deinem Aufpunkt \textcolor{orange}{P_{1}} kannst du jetzt deine Gerade aufstellen:

    \[g:\overrightarrow{X}=\textcolor{orange}{\left(\begin{array}{c}1\\0\\2\end{array}\right)}+\textcolor{blue}{\lambda}\textcolor{olive}{\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right)}\]

Um zu überprüfen, ob die Punkte kollinear sind, musst du noch eine Punktprobe mit P3 durchführen. Dafür setzt du P3 für \overrightarrow{X}  in deine Geradengleichung ein:

    \[\textcolor{purple}{\left(\begin{array}{c}3\\1\\4\end{array}\right)}\stackrel{?}{=}\left(\begin{array}{c}1\\0\\2\end{array}\right)+\textcolor{blue}{\lambda}\left(\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right)\]

Jetzt löst du wieder die oberste Zeile nach \textcolor{blue}{\lambda} auf:

    \begin{align*}3&=1+1\textcolor{blue}{\lambda}\\ \textcolor{blue}{\lambda}&=2\end{align*}

Danach überprüfst du die beiden anderen Gleichungen:

    \begin{align*}1&\stackrel{?}{=}0+0\cdot\textcolor{blue}{2}\\ 1&\neq0\end{align*}

Du musst die dritte Gleichung gar nicht überprüfen, da die zweite schon falsch ist. Die drei Punkte sind also nicht kollinear, weil sie nicht auf einer Geraden liegen.

Aufgabe 3:

Überprüfe die beiden Vektoren \overrightarrow{v}  und \overrightarrow{u} auf Kollineariät.

    \[\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}4\\3\\2\end{array}\right)\quad\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}16\\12\\8\end{array}\right)\]

Lösung:

Wenn Vektoren kollinear sind, kannst du den einen Vektor durch ein Vielfaches des anderen Vektors darstellen. Du fragst dich also, ob es ein \textcolor{blue}{\lambda} gibt, sodass die folgende Gleichung erfüllt ist:

    \[\textcolor{blue}{\lambda}\cdot\left(\begin{array}{c}4\\3\\2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}16\\12\\8\end{array}\right)\]

Dafür musst nur die oberste Zeile lösen und das Ergebnis in die anderen beiden Gleichungen einsetzen, um zu überprüfen, ob diese erfüllt sind:

    \begin{align*}4\textcolor{blue}{\lambda}&=16\end{align*}

\textcolor{blue}{\lambda}&=4\end{align*}

Jetzt setzt du das \textcolor{blue}{\lambda} in deine beiden unteren Gleichungen ein und testest, ob diese übereinstimmen:

    \begin{align*}\textcolor{blue}{4}\cdot3&\stackrel{?}{=}12\\ 12&=12\quad\checkmark\end{align*}

Die zweite Gleichung stimmt also schonmal. Du musst nur noch die Unterste überprüfen:

    \begin{align*}\textcolor{blue}{4}\cdot2&\stackrel{?}{=}8\\ 8&=8\quad\checkmark\end{align*}

Damit erfüllt \textcolor{blue}{\lambda} gleich 4 alle drei Gleichungen und somit sind die Vektoren kollinear

Aufgabe 4:

Schau dir noch eine letzte Übung zu kollinearen Vektoren an. Finde heraus, ob die Vektoren \overrightarrow{v} und \overrightarrow{u} kollinear sind:

    \[\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}3\\5\\11\end{array}\right)\quad\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}9\\14\\33\end{array}\right)\]

Lösung:

Du willst wieder zwei Vektoren auf Kollinearität prüfen. Wieder suchst du nach einem \textcolor{blue}{\lambda}, das die Gleichung erfüllt:

    \[\textcolor{blue}{\lambda}\cdot\left(\begin{array}{c}3\\5\\11\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}9\\14\\33\end{array}\right)\]

Dafür musst du die erste Zeile auflösen und deine Lösung in die anderen beiden Gleichungen einsetzen:

    \begin{align*}\textcolor{blue}{\lambda}\cdot3&=9\\ \textcolor{blue}{\lambda}&=3\end{align*}

    \begin{align*}\textcolor{blue}{3}\cdot5&\stackrel{?}{=}14\\ 15&\neq14\end{align*}

Da die zweite Gleichung nicht erfüllt ist, sind die beiden Vektoren linear unabhängig und somit nicht kollinear.

Abstand zweier Punkte

Du hast jetzt gelernt, dass zwei Punkte immer kollinear sind. Wenn du aber wissen willst, wie man den Abstand zweier Punkte berechnet, schau dir doch gleich unser Video dazu an.


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