Analysis
Differentialrechnung
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Was die momentane Änderungsrate ist und wie du sie berechnest, erfährst du in diesem Beitrag%und Video!

Momentane Änderungsrate einfach erklärt

Um die momentane Änderungsrate zu verstehen, schaust du dir zuerst die mittlere Änderungsrate an. Du berechnest sie mit dem Differenzenquotienten

    \[m=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]

Er gibt die durchschnittliche Steigung zwischen zwei Punkten an.

Graph mit Sekante, durchschnittliche Änderungsrate, Differenzenquotient
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Mittlere Änderungsrate – Graph mit Sekante

Näherst du den Punkt x nun an den Punkt x0 an, wird aus der Sekante (Gerade, die den Graphen an zwei Punkten schneidet) eine Tangente (Gerade, die den Graphen an einem Punkt berührt). Diesen Grenzwert des Differenzenquotienten nennst du momentane Änderungsrate.

Graph mit Tangente, Tangente aus Sekante, momentane änderungsrate, lokale Änderungsrate, Steigung der Tangente, Differentialquotient
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Momentane Änderungsrate – Graph mit Tangente

Die momentane Änderungsrate f'(x) bekommst du somit durch die Annäherung an den Differenzenquotienten. Deshalb verwendest du zur Berechnung den Limes:

    \[f^\prime\left(x_0\right)=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}}\]

Die Steigung der Tangente nennst du auch Ableitung f'(x), momentane Änderungsrate oder Differentialquotient .

Momentane Änderungsrate – Definition

Die lokale/momentane Änderungsrate einer Funktion ist die Steigung der Tangente am Graphen in einem bestimmten Punkt. Mit der momentanen Änderungsrate, die du auch Ableitung nennst, kannst du somit an jedem beliebigen Punkt einer Kurve die Steigung bestimmen.

Momentane Änderungsrate Aufgaben

Am besten schaust du dir die lokale Änderungsrate an ein paar Beispielen an.

Beispiel 1

Gegeben ist die Funktion f(x) = 5x2. Berechne zuerst die mittlere Steigung im Intervall [2 ; 4] und dann die momentane Änderungsrate bei x0 = 2.

1. Mittlere Änderungsrate berechnen

Für die durchschnittliche Steigung, setzt du deine Werte in den Differenzenquotienten m=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} ein. Falls du die durchschnittliche Änderungsrate nochmal wiederholen willst, haben wir hier  einen extra Beitrag für dich.

    \begin{align*} m&=\frac{f(4)-f(2)}{4-2}\\ m&=\frac{80-20}{2}\\ m&=30\\ \end{align*}

Die mittlere Änderungsrate im Intervall [2 ; 4] ist m = 30.

2. Momentane Änderungsrate annähern

Nun sollst du die momentane Änderungsrate bei x0 = 2 berechnen. 

Dazu kannst du dich zuerst an die Stelle x0 = 2 annähern. Bei der Berechnung des Differenzenquotienten wählst du statt dem Intervall [2 ; 4] also ein kleineres, wie [2 ; 2,1]

Setze die Werte in den Differenzenquotienten ein:

    \begin{align*} m&=\frac{f(2,1)-f(2)}{2,1-2}\\ m&=\frac{5 \cdot 2,1^{2}-5 \cdot 2^{2}}{2,1-2}\\ m&=20,5\\ \end{align*}

Die momentane Änderungsrate bei x0 = 2 ist also ungefähr 20,5.

Merke

Indem du ein kleineres Intervall bei der Berechnung des Differenzenquotienten wählst, kannst du die momentane Änderungsrate annähern.

3. Momentane Änderungsrate berechnen

Nun willst du die lokale Änderungsrate, also die Steigung der Tangente berechnen — und zwar ganz genau.

Du berechnest also den Grenzwert der Sekantensteigung. Dabei hilft dir der Differentialquotient:

    \[f^\prime\left(x_0\right)=\lim\limits_{x \rightarrow x_0}{\frac{f\left(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}}\]

Setze deine Funktion f(x) nun in den Differentialquotienten ein und rechne das aus.

    \begin{align*} f^\prime\left(2\right)&=\lim\limits_{x \rightarrow 2}{\frac{f\left(x)-f\left(2\right)}{x-2}}\\ &=\lim\limits_{x \rightarrow 2}{\frac{5 \cdot x^{2} - 5 \cdot 2^{2}}{x-2}}\\ &=\lim\limits_{x \rightarrow 2}{\frac{5x^{2} - 20}{x-2}}\\ \end{align*}

Im Zähler klammerst du nun die Zahl 5 aus. Dann kannst du die dritte binomische Formel verwenden.

    \begin{align*} &=\lim\limits_{x \rightarrow 2}{\frac{5 \cdot (x^{2}-4)}{x-2}}\\ &=\lim\limits_{x \rightarrow 2}{\frac{5 \cdot (x+2)\cdot(x-2)}{x-2}}\\ \end{align*}

Dadurch kannst du die Klammer (x – 2) kürzen.

    \begin{align*} &=\lim\limits_{x \rightarrow 2}{5\cdot (x+2)}\\ \end{align*}

Da x gegen 2 gehen soll, setzt du statt dem x die 2 ein.

    \begin{align*} 5\cdot(2+2) &= 20\\ \end{align*}

Die momentane Änderungsrate, also die Steigung der Tangente bei x0 = 2 ist m = 20.

Beispiel 2

Die momentane Änderungsrate wird dir oft in Textaufgaben begegnen. Am besten schaust du dir deshalb noch dieses Beispiel an:

Die Funktion f(t) = 0,2t2 beschreibt die Beschleunigung eines Flugzeugs beim Abheben. Das s-t-Diagramm zeigt den zurückgelegten Weg s in Metern in Abhängigkeit der Zeit t in Sekunden.

Du sollst nun die Geschwindigkeit des Flugzeugs zum Zeitpunkt t = 10 berechnen. 

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Graph mit Tangente

Achtung! Es wäre falsch, den y-Wert bei t = 10 abzulesen, denn das wäre der zurückgelegte Weg des Flugzeugs. Du suchst die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 10! Sie ist nichts anderes als die momentane Änderungsrate der Tangente.

Um die momentane Geschwindigkeit zu bekommen, kannst du zum einen ein Steigungsdreieck an die Tangente des Graphen zeichnen. Da die Werte genau auf den Kästchen liegen, erhältst du ein genaues Ergebnis. Die momentane Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 10 ist f'(10) = 4\frac{m}{s}

Tangente am Graphen, Steigungsdreieck, momentane Änderungsrate, lokale Änderungsrate
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Graph mit Steigungsdreieck und Tangente

Zum anderen kannst du sie natürlich rechnerisch bestimmen. Dazu verwendest du wieder die Annäherung mit dem Limes.

    \begin{align*} f^\prime\left(t\right)&=\lim\limits_{t \rightarrow 10}{\frac{f\left(t)-f\left(t_0\right)}{t-t_0}}\\ f^\prime\left(10\right)&=\lim\limits_{t\rightarrow 10}{\frac{0,2t^{2} - 0,2 \cdot 10^{2}}{t-10}}\\ f^\prime\left(10\right)&=\lim\limits_{t\rightarrow 10}{\frac{0,2t^{2} - 20}{t-10}}\\ \end{align*}

Klammere nun den Faktor 0,2 aus und benutze die dritte binomische Formel .

    \begin{align*} f^\prime\left(10\right)&=\lim\limits_{t\rightarrow 10}{\frac{0,2 \cdot(t^{2}-100)}{t-10}}\\ f^\prime\left(10\right)&=\lim\limits_{t\rightarrow 10}{\frac{0,2 \cdot (t-10) \cdot (t+10)}{t-10}}\\ f^\prime\left(10\right)&=\lim\limits_{t\rightarrow 10}{0,2 \cdot (t+10)}\\ \end{align*}

Da t gegen 10 gehen soll, stellst du dir statt dem t eine 10 vor.

    \[0,2 \cdot (10+10)= 4\]

Die momentane Änderungsrate, also die Steigung der Tangente im Punkt t = 10 ist m = 4.

Das bedeutet, dass das Flugzeug bei Sekunde 10 eine Momentangeschwindigkeit von 4\frac{m}{s}  hat.

Ableitung

Die lokale Änderungsrate kannst du auch ohne den Limes bestimmen, nämlich mit der Ableitung . Wie das geht, zeigen wir dir hier!

Zum Video: Ableitung
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