Wie finde ich raus, welcher Graph im Intervall oben liegt, damit ich die richtige Differenz bilde?

Du prüfst an einem x-Wert im Intervall, ob größer als ist. Der Graph mit dem größeren Funktionswert liegt dort oben. Das bleibt zwischen zwei Schnittpunkten meist gleich. Zum Beispiel: Wähle und vergleiche und .

Was mache ich, wenn sich die Graphen im Intervall mehr als zweimal schneiden?

Du teilst das Intervall an allen Schnittpunkten in Teilintervalle und rechnest jede Teilfläche separat. In jedem Teilintervall integrierst du die passende Differenz und nimmst den Betrag, damit keine negativen Flächen entstehen. Danach addierst du alle Teilflächen zu einer Gesamtfläche.

Wie rechne ich die Fläche, wenn ein Teil davon unter der x-Achse liegt?

Du rechnest trotzdem mit Beträgen, weil Fläche immer positiv gemeint ist. Konkret integrierst du die Differenz abschnittsweise und nimmst jeweils den Betrag des bestimmten Integrals, wenn das Ergebnis negativ wäre. So wird auch ein Bereich unter der x-Achse korrekt als positive Fläche gezählt.

Welche Fehler passieren am häufigsten bei den Schnittpunkten und wie vermeide ich sie?

Am häufigsten sind Umformungsfehler, Vorzeichenfehler und das Vergessen, gefundene Lösungen zu prüfen. Vermeide das, indem du erst sauber zu einer Nullgleichung umformst, Klammern korrekt auflöst und die Lösungen durch Einsetzen in kontrollierst. Außerdem: Achte darauf, alle reellen Schnittpunkte zu übernehmen.

Video

Quiz

Hier geht's zum Video „Mitternachtsformel“

Hier geht's zum Video „Terme vereinfachen“

Hier geht's zum Video „Stammfunktion bilden“

Hier geht's zum Video „Schnittpunkt berechnen“

Hier geht's zum Video „Bestimmtes und unbestimmtes Integral“

Fläche zwischen zwei Graphen

Wichtige Inhalte in diesem Video

Fläche zwischen Graphen berechnen

(02:45)

Fläche zwischen Graphen — Beispiel

(00:12)

Du suchst nach einer Anleitung zur Berechnung der Fläche zwischen zwei Graphen? Hier und im Video erklären wir dir Schritt für Schritt, wie das funktioniert.

Inhaltsübersicht

Fläche zwischen Graphen berechnen

im Videozur Stelle im Video springen

(02:45)

Die Fläche zwischen zwei Graphen ergibt sich, wenn du von der Fläche zwischen dem ersten Graphen und der x-Achse die Fläche zwischen dem zweiten Graphen und der x-Achse abziehst.

Fläche zwischen zwei Graphen, Fläche zwischen zwei Graphen berechnen, Fläche durch Integration berechnen, Fläche zwischen quadratischen Funktion, Fläche zwischen zwei Parabeln — Fläche zwischen zwei Graphen berechnen

Mit folgenden 3 Schritten kannst du die gesuchte Fläche berechnen:

Bestimme die Schnittpunkte x₁ und x₂ der beiden Funktionen f(x) und g(x).
Berechne die Differenz f(x) – g(x).
Berechne das Integral der Differenz mit den beiden Schnittpunkten als Integralgrenzen:

$A = \left| \int_{\textcolor{olive}{x_1}}^{\textcolor{olive}{x_2}} \textcolor{blue}{f(x)} - \textcolor{red}{g(x)} \: dx \right|$

Wichtig: Damit du bei der Differenz nicht auf die Reihenfolge der Funktionen achten musst, berechnest du den Betrag des Integrals. So wird dein Ergebnis immer positiv.

Fläche zwischen Graphen — Beispiel

im Videozur Stelle im Video springen

(00:12)

Probiere die Schritt-für-Schritt-Anleitung gleich an einem Beispiel aus: Berechne die Fläche zwischen den Funktionen f(x) = 0,5x + 2 und g(x) = -x² + x + 5.

Fläche zwischen zwei Graphen, Fläche zwischen zwei Graphen berechnen, Fläche durch Integration berechnen, Fläche zwischen linearer Funktion und quadratischer Funktion, Fläche zwischen Gerade und Parabel, Fläche zwischen Gerade und Parabel berechnen — Fläche zwischen zwei Graphen berechnen

Berechne die Schnittpunkte von f(x) und g(x):

Dafür setzt du als Erstes die beiden Funktionen gleich. Dann stellst du die Gleichung so um, dass auf einer Seite eine Null steht:

$\begin{align*} \textcolor{red}{f(x)} &= \textcolor{blue}{g(x)} \\ 0,5x + 2 &= -x^2 + x + 5 \\ x^2 -0,5x -3 &= 0 \end{align*}$

Als nächstes benutzt du die Mitternachtsformel . Dafür bestimmst du a, b und c und setzte sie ein: a = 1, b = -0,5, c = -3

$x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{-(-0,5)\pm\sqrt{(-0,5)^2-4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{0,5\pm\sqrt{0,25+12}}{2} = \frac{0,5\pm\sqrt{12,25}}{2}$

x₁ = -1,5 und x₂ = 2
Bilde die Differenzfunktion von f(x) und g(x):

f(x) – g(x) = 0,5x + 2 – [-x² + x + 5] = 0,5x + 2 + x² – x – 5 = x² – 0,5x – 3
Setze x₁ und x₂ und die Differenz f(x) – g(x) in folgende Formel ein und integriere sie:

$A = \left| \int_{\textcolor{olive}{x_1}}^{\textcolor{olive}{x_2}} \textcolor{orange}{f(x) - g(x)} \: dx \right|$

$A = \left| \int_{\textcolor{olive}{-1,5}}^{\textcolor{olive}{2}} \textcolor{orange}{x^2 - 0,5x - 3} \: dx \right|$

$A = \left| \left[ \frac{1}{3} \cdot x^3 - \frac{1}{4} \cdot x^2 - 3x \right]_{\textcolor{olive}{-1,5}}^{\textcolor{olive}{2}} \right|$

$A = \left| \left[ \frac{1}{3} \cdot \textcolor{olive}{2}^3 - \frac{1}{4} \cdot \textcolor{olive}{2}^2 - 3 \cdot \textcolor{olive}{2} \right] - \left[\frac{1}{3} \cdot (\textcolor{olive}{-1,5})^3 - \frac{1}{4} \cdot (\textcolor{olive}{-1,5})^2 - 3 \cdot (\textcolor{olive}{-1,5}) \right] \right|$

$A = \left| - \frac{13}{3} - 2,8125 \right| = \left| -7,14333 ... \right | \approx 7,14 FE$

Die Fläche zwischen den beiden Funktionsgraphen f(x) und g(x) ist gerundet A = 7,14 FE.

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Fläche zwischen zwei Graphen — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie finde ich raus, welcher Graph im Intervall oben liegt, damit ich die richtige Differenz bilde?

Du prüfst an einem x-Wert im Intervall, ob größer als ist. Der Graph mit dem größeren Funktionswert liegt dort oben. Das bleibt zwischen zwei Schnittpunkten meist gleich. Zum Beispiel: Wähle $x=\frac{x_1+x_2}{2}$ und vergleiche und .
Was mache ich, wenn sich die Graphen im Intervall mehr als zweimal schneiden?

Du teilst das Intervall an allen Schnittpunkten in Teilintervalle und rechnest jede Teilfläche separat. In jedem Teilintervall integrierst du die passende Differenz und nimmst den Betrag, damit keine negativen Flächen entstehen. Danach addierst du alle Teilflächen zu einer Gesamtfläche.
Wie rechne ich die Fläche, wenn ein Teil davon unter der x-Achse liegt?

Du rechnest trotzdem mit Beträgen, weil Fläche immer positiv gemeint ist. Konkret integrierst du die Differenz abschnittsweise und nimmst jeweils den Betrag des bestimmten Integrals, wenn das Ergebnis negativ wäre. So wird auch ein Bereich unter der x-Achse korrekt als positive Fläche gezählt.
Welche Fehler passieren am häufigsten bei den Schnittpunkten und wie vermeide ich sie?

Am häufigsten sind Umformungsfehler, Vorzeichenfehler und das Vergessen, gefundene Lösungen zu prüfen. Vermeide das, indem du erst sauber zu einer Nullgleichung umformst, Klammern korrekt auflöst und die Lösungen durch Einsetzen in kontrollierst. Außerdem: Achte darauf, alle reellen Schnittpunkte zu übernehmen.

Bestimmtes und unbestimmtes Integral

Prima! Du hast die Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen berechnet. Willst du das Thema bestimmtes und unbestimmtes Integral noch einmal wiederholen? Dann schau direkt im Video dazu vorbei!