Analysis

Bestimmtes und unbestimmtes Integral

Du fragst dich, worin der Unterschied besteht, wenn du ein bestimmtes Integral und ein unbestimmtes Integral betrachtest? Und wie du beides berechnest? Hier erklären wir dir, was es zu beachten gibt. 

Du möchtest keinen langen Text lesen, sondern kurz, knapp und bunt sehen, wie du ein bestimmtes oder unbestimmtes Integral berechnest? Dann schau dir einfach unser Video  an!

Inhaltsübersicht

Bestimmtes Integral einfach erklärt

Von einem bestimmten Integral spricht man immer dann, wenn man nicht allgemein nach einer Stammfunktio n sucht, sondern sie in einem bestimmten Bereich betrachtet. Ein bestimmtes Integral ist somit durch seine Integrationsgrenzen festgelegt. Es hat immer die Form

\int\limits_a^b f(x) dx.

a und b heißen untere bzw. obere Integrationsgrenzen. Hast du im Gegensatz dazu ein unbestimmtes Integral, so sind keine Grenzen angegeben. Dazu später mehr.

Bestimmtes Integral berechnen

Hier erklären wir dir zuerst ausführlich, was ein bestimmtes Integral ist. Wie du ein unbestimmtes Integral berechnest, erfährst du im unteren Abschnitt. 

Ein bestimmtes Integral zu berechnen, ist gar nicht so schwer. Du brauchst dazu lediglich den HDI, den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Mit ihm kannst du dein bestimmtes Integral direkt ausrechnen:

Berechnung eines bestimmten Integrals

\int\limits_a^b f(x) dx = \biggl[F(x)\biggr]\limits_a^b = F(b) - F(a).

Was musst du also machen, wenn du ein bestimmtes Integral berechnen willst? Ganz einfach! Du befolgst diese Schritt-für-Schritt-Anleitung:

  • Schritt 1: Berechne die Stammfunktion F(x) von f(x) und schreibe sie in eckige Klammern. Bringe sie also auf die Form   \biggl[F(x)\biggr]\limits_a^b
  • Schritt 2: Setze nun deine beiden Integrationsgrenzen a und b in die Stammfunktion ein und berechne also               F(a) \quad \mbox{und} \quad F(b).
  • Schritt 3: Ziehe F(a) von F(b) ab, d.h. berechne F(b) - F(a).

Achtung: Wenn du normalerweise die Stammfunktion von f(x) bestimmen musst, darfst du die Konstante c nicht vergessen! Du erhältst also ein unbestimmtes Integral \int f(x) dx = F(x)+c. Bei der Berechnung eines bestimmten Integrals kannst du dieses c einfach weglassen, da es in Schritt 3 sowieso wegfallen würde. 

Bestimmtes Integral berechnen Beispiele

Die genaue Vorgehensweise lernst du am Besten durch die Betrachtung der folgenden Beispiele.

Beispiel 1

Wir wollen das folgende bestimmte Integral berechnen: 

\int \limits_0^5 -\frac{1}{2}x+4 dx.

 

Integral Flächeninhalt
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Beispiel 1: Berechnung eines bestimmten Integrals

 

Wie in der Anleitung oben, berechnen wir also zuerst die Stammfunktion F(x) = -\frac{1}{4}x^2+4x und schreiben sie wie folgt in eckige Klammern:

\biggl[-\frac{1}{4}x^2+4x\biggr]\limits_0^5

Nun setzen wir im zweiten Schritt die beiden Integrationsgrenzen ein, wir berechnen also

F(5) = 13,75 und F(0) = 0.

Als letztes ziehen wir die beiden Werte voneinander ab. Zusammengefasst berechnest du also

\int \limits_0^5 -\frac{1}{2}x+4 dx=\biggl[-\frac{1}{4}x^2+4x\biggr]\limits_0^5

= \biggl[ -\frac{1}{4}\cdot 5^2+4\cdot 5 \biggr] - \biggl[-\frac{1}{4}\cdot 0^2+4\cdot 0\biggr]= 13,75 + 0 = 13,75

Damit weißt du, dass dein Integral mit der x-Achse im Intervall [0,2] ein Flächenstück einschließt, das den Flächeninhalt 13,75 hat. 

Beispiel 2

Als nächstes wollen wir das folgende bestimmte Integral berechnen:

\int \limits_{-\pi}^\pi \sin(x)dx.

Dazu bestimmst du im ersten Schritt die Stammfunktion   F(x) = -\cos(x)  von   f(x) = \sin(x).  Im zweiten Schritt setzen wir die Integrationsgrenzen ein und erhalten

\int \limits_{-\pi}^\pi \sin(x)dx = \biggl[-\cos(x)\biggr]\limits_{-\pi}^\pi = \biggl[-\cos(\pi)\biggr]- \biggl[-\cos(-\pi)\biggr] = 1-1 = 0.

Sinus Flächeninhalt Integral
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Beispiel 2: Bestimmtes Integral der Sinus-Funktion

Hier kann man das Ergebnis leider nicht als Flächeninhalt interpretieren. Das liegt daran, dass du bei der Integralrechnung für die Fläche unterhalb der x-Achse ein negatives Vorzeichen erhältst. Da hier die Fläche unterhalb der x-Achse gleich groß ist, wie die Fläche oberhalb, ist der Wert des bestimmten Integrals 0. Wie du für einen solchen Fall vorgehst erklären wir dir im nächsten Abschnitt unter dem Punkt „positiver und negativer Flächeninhalt“.

Bestimmtes Integral berechnen – Besonderheiten

Um bestimmte Integrale auszurechnen, gibt es einige Tricks und Regeln, die dir das Leben einfacher machen. Hier haben wir sie zusammengefasst:

Umgekehrte Summenregel

Willst du ein unbestimmtes Integral berechnen, kannst du dazu die Summenregel verwenden. Bei bestimmten Integralen bietet es sich oft an, die Aussage umgekehrt anzuwenden, d.h. Integrale mit denselben Integrationsgrenzen zusammenzufassen. 

\int\limits_a^b f(x) dx + \int\limits_a^b g(x) dx = \int\limits_a^b f(x) + g(x) dx

Zusammenfassen von Integrationsgrenzen

Ganz ähnlich ist die folgende Regel

\int\limits_a^b f(x) dx + \int\limits_b^c f(x) dx= \int\limits_a^c f(x) dx

Gleiche Integrationsgrenzen

Für alle a \in \mathbb{R} ist 

\int\limits_a^a f(x) dx = 0.

Das ist anschaulich klar, wenn du den Flächeninhalt bedenkst. 

Vertauschte Integrationsgrenzen

Du kannst bei einem bestimmten Integral die Integrationsgrenzen vertauschen. Dann gilt

\int\limits_a^b f(x) dx = - \int\limits_b^a f(x) dx

„positiver“ und „negativer“ Flächeninhalt

Wie du beim zweiten Beispiel gesehen hast, kannst du den Flächeninhalt, den deine Funktion mit der x-Achse einschließt, nicht so leicht berechnen, wenn die Funktion zwischen den Integrationsgrenzen oberhalb und unterhalb der x-Achse verläuft. In diesem Fall musst du das Integral aufteilen und separat von einer Nullstelle bis zur nächsten integrieren. Die Beträge davon addierst du dann.

Den Flächeninhalt des zweien Beispiels berechnest du wie folgt:

A = \left| \int \limits_{-\pi}^0\sin(x)dx\right| +\left| \int \limits_0^\pi \sin(x)dx\right|

=\left| \biggl[-\cos(x)\biggr]\limits_{-\pi}^0\right| + \left| \biggl[-\cos(x)\biggr]\limits_0^\pi\right|

= \left|-\cos(0)+\cos(-\pi)\right| + \left|-\cos(\pi)+\cos(0)\right| = 2+2 = 4

Jetzt weißt du alles Wichtige über bestimmte Integrale und kannst sie berechnen. Nun wollen wir dir noch erklären, was ein unbestimmtes Integral ist.

Unbestimmtes Integral einfach erklärt

Ein unbestimmtes Integral unterscheidet sich von dem bestimmten insofern, dass du hier keine Integrationsgrenzen gegeben hast. Ein unbestimmtes Integral hat also die Form 

unbestimmtes Integral

\int f(x) dx.

Betrachtest du ein unbestimmtes Integral, so untersuchst du f(x) nicht nur in einem bestimmten Abschnitt zwischen zwei Integrationsgrenzen, sondern interessierst dich allgemein für die Menge aller Stammfunktionen F(x)+c.

Unbestimmtes Integral berechnen Beispiele

Um ein unbestimmtes Integral zu berechnen, musst du die Stammfunktionen F(x) von f(x) finden. Dazu gibt es verschiedene Integrationsregeln , die wir dir ausführlich in einem separaten Video erklären. Hier siehst du konkret an zwei Beispielen, wie du ein unbestimmtes Integral berechnest.

Beispiel 1

Gesucht ist das unbestimmte Integral 

\int -x^2 + 3x+4 dx

Um es auszurechnen, bestimmen wir die Stammfunktion von -x^2 + 3x+4. Dazu verwenden wir die Summen- und die Faktorregel der Integration. Somit erhalten wir 

\int -x^2 + 3x+4 dx = -\frac{1}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2+4x + c.

Wichtig ist bei der Berechnung, dass du die Konstante c nicht vergisst. Sie steht für einen beliebigen konstanten Teil, der beim Ableiten von F(x) = -\frac{1}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2+4x + c wieder wegfällt. Das siehst du sofort durch nachrechnen. Willst du nicht das bestimmte Integral allgemein berechnen, sondern suchst nach einer konkreten Stammfunktion, kannst du für c einen beliebigen Wert einsetzen. 

Beispiel 2

Ein anderes Beispiel für die Berechnung eines unbestimmten Integrals ist 

\int \sqrt{x} dx.

Um es zu berechnen, suchst du wieder nach einer Stammfunktion von \sqrt{x}. Diesen Ausdruck kannst du umschreiben in \sqrt{x} = x^\frac{1}{2}. Damit kannst du es leicht integrieren und erhältst

\int \sqrt{x} dx = \int x^\frac{1}{2} dx = \frac{2}{3}x^\frac{3}{2}+c .

Weitere Beispiele

Für die wichtigsten Funktionen haben wir dir hier noch einmal zusammengefasst, wie ihr zugehöriges unbestimmtes Integral aussieht:

unbestimmtes Integral
Stammfunktion

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