Du fragst dich, worin der Unterschied besteht, wenn du ein bestimmtes Integral und ein unbestimmtes Integral betrachtest? Und wie du beides berechnest? Hier erklären wir dir, was es zu beachten gibt.
Du möchtest keinen langen Text lesen, sondern kurz, knapp und bunt sehen, wie du ein bestimmtes oder unbestimmtes Integral berechnest? Dann schau dir einfach unser Video an!
Bestimmtes Integral einfach erklärt
Von einem bestimmten Integral spricht man immer dann, wenn man nicht allgemein nach einer Stammfunktio n sucht, sondern sie in einem bestimmten Bereich betrachtet. Ein bestimmtes Integral ist somit durch seine Integrationsgrenzen festgelegt. Es hat immer die Form
und
heißen untere bzw. obere Integrationsgrenzen. Hast du im Gegensatz dazu ein unbestimmtes Integral, so sind keine Grenzen angegeben. Dazu später mehr.
Bestimmtes Integral berechnen
Hier erklären wir dir zuerst ausführlich, was ein bestimmtes Integral ist. Wie du ein unbestimmtes Integral berechnest, erfährst du im unteren Abschnitt.
Ein bestimmtes Integral zu berechnen, ist gar nicht so schwer. Du brauchst dazu lediglich den HDI, den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Mit ihm kannst du dein bestimmtes Integral direkt ausrechnen:
Was musst du also machen, wenn du ein bestimmtes Integral berechnen willst? Ganz einfach! Du befolgst diese Schritt-für-Schritt-Anleitung:
-
Schritt 1: Berechne die Stammfunktion
von
und schreibe sie in eckige Klammern. Bringe sie also auf die Form
-
Schritt 2: Setze nun deine beiden Integrationsgrenzen
und
in die Stammfunktion ein und berechne also
-
Schritt 3: Ziehe
von
ab, d.h. berechne
.
Achtung: Wenn du normalerweise die Stammfunktion von bestimmen musst, darfst du die Konstante
nicht vergessen! Du erhältst also ein unbestimmtes Integral
. Bei der Berechnung eines bestimmten Integrals kannst du dieses
einfach weglassen, da es in Schritt 3 sowieso wegfallen würde.
Bestimmtes Integral berechnen Beispiele
Die genaue Vorgehensweise lernst du am Besten durch die Betrachtung der folgenden Beispiele.
Beispiel 1
Wir wollen das folgende bestimmte Integral berechnen:
Wie in der Anleitung oben, berechnen wir also zuerst die Stammfunktion und schreiben sie wie folgt in eckige Klammern:
Nun setzen wir im zweiten Schritt die beiden Integrationsgrenzen ein, wir berechnen also
und
.
Als letztes ziehen wir die beiden Werte voneinander ab. Zusammengefasst berechnest du also
Damit weißt du, dass dein Integral mit der x-Achse im Intervall ein Flächenstück einschließt, das den Flächeninhalt
hat.
Beispiel 2
Als nächstes wollen wir das folgende bestimmte Integral berechnen:
Dazu bestimmst du im ersten Schritt die Stammfunktion von
. Im zweiten Schritt setzen wir die Integrationsgrenzen ein und erhalten
Hier kann man das Ergebnis leider nicht als Flächeninhalt interpretieren. Das liegt daran, dass du bei der Integralrechnung für die Fläche unterhalb der x-Achse ein negatives Vorzeichen erhältst. Da hier die Fläche unterhalb der x-Achse gleich groß ist, wie die Fläche oberhalb, ist der Wert des bestimmten Integrals . Wie du für einen solchen Fall vorgehst erklären wir dir im nächsten Abschnitt unter dem Punkt „positiver und negativer Flächeninhalt“.
Bestimmtes Integral berechnen – Besonderheiten
Um bestimmte Integrale auszurechnen, gibt es einige Tricks und Regeln, die dir das Leben einfacher machen. Hier haben wir sie zusammengefasst:
Umgekehrte Summenregel
Willst du ein unbestimmtes Integral berechnen, kannst du dazu die Summenregel verwenden. Bei bestimmten Integralen bietet es sich oft an, die Aussage umgekehrt anzuwenden, d.h. Integrale mit denselben Integrationsgrenzen zusammenzufassen.
Zusammenfassen von Integrationsgrenzen
Ganz ähnlich ist die folgende Regel
Gleiche Integrationsgrenzen
Für alle ist
Das ist anschaulich klar, wenn du den Flächeninhalt bedenkst.
Vertauschte Integrationsgrenzen
Du kannst bei einem bestimmten Integral die Integrationsgrenzen vertauschen. Dann gilt
„positiver“ und „negativer“ Flächeninhalt
Wie du beim zweiten Beispiel gesehen hast, kannst du den Flächeninhalt, den deine Funktion mit der x-Achse einschließt, nicht so leicht berechnen, wenn die Funktion zwischen den Integrationsgrenzen oberhalb und unterhalb der x-Achse verläuft. In diesem Fall musst du das Integral aufteilen und separat von einer Nullstelle bis zur nächsten integrieren. Die Beträge davon addierst du dann.
Den Flächeninhalt des zweien Beispiels berechnest du wie folgt:
Jetzt weißt du alles Wichtige über bestimmte Integrale und kannst sie berechnen. Nun wollen wir dir noch erklären, was ein unbestimmtes Integral ist.
Unbestimmtes Integral einfach erklärt
Ein unbestimmtes Integral unterscheidet sich von dem bestimmten insofern, dass du hier keine Integrationsgrenzen gegeben hast. Ein unbestimmtes Integral hat also die Form
Betrachtest du ein unbestimmtes Integral, so untersuchst du nicht nur in einem bestimmten Abschnitt zwischen zwei Integrationsgrenzen, sondern interessierst dich allgemein für die Menge aller Stammfunktionen
.
Unbestimmtes Integral berechnen Beispiele
Um ein unbestimmtes Integral zu berechnen, musst du die Stammfunktionen von
finden. Dazu gibt es verschiedene Integrationsregeln
, die wir dir ausführlich in einem separaten Video erklären. Hier siehst du konkret an zwei Beispielen, wie du ein unbestimmtes Integral berechnest.
Beispiel 1
Gesucht ist das unbestimmte Integral
Um es auszurechnen, bestimmen wir die Stammfunktion von . Dazu verwenden wir die Summen- und die Faktorregel der Integration. Somit erhalten wir
Wichtig ist bei der Berechnung, dass du die Konstante nicht vergisst. Sie steht für einen beliebigen konstanten Teil, der beim Ableiten von
wieder wegfällt. Das siehst du sofort durch nachrechnen. Willst du nicht das bestimmte Integral allgemein berechnen, sondern suchst nach einer konkreten Stammfunktion, kannst du für
einen beliebigen Wert einsetzen.
Beispiel 2
Ein anderes Beispiel für die Berechnung eines unbestimmten Integrals ist
Um es zu berechnen, suchst du wieder nach einer Stammfunktion von . Diesen Ausdruck kannst du umschreiben in
. Damit kannst du es leicht integrieren und erhältst
Weitere Beispiele
Für die wichtigsten Funktionen haben wir dir hier noch einmal zusammengefasst, wie ihr zugehöriges unbestimmtes Integral aussieht:
unbestimmtes Integral |
Stammfunktion |
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