Mathematische Grundlagen

Zwischenwertsatz

Der Zwischenwertsatz erlaubt unter anderem eine anschauliche Definition der Stetigkeit. Du möchtest den Zwischenwertsatz in kurzer Zeit erlernen? Dann schau dir unser Video dazu an.

Inhaltsübersicht

Zwischenwertsatz einfach erklärt  

Anschaulich sagt der Zwischenwertsatz folgendes aus: Wenn du eine stetige Funktion auf einem Intervall [a, b] hast, die die zwei Linien f(a) und f(b) schneidet, dann muss diese Funktion zwangsläufig auch alle anderen Linien schneiden, die sich zwischen f(a) und f(b) befinden. 

Im folgenden Bild sind zwei solcher dazwischenliegender Linien mit y_1 und y_2 bezeichnet und ihre Schnittpunkte sind mit entsprechenden Punkten angedeutet.

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Zwischenwertsatz illustriert.

Der Zwischenwertsatz erlaubt unter anderem die anschauliche Definition von Stetigkeit als „du kannst die Kurve in einem Zug zeichnen, ohne den Stift absetzen zu müssen“. Im nächsten Abschnitt schauen wir uns zwei weitere wichtige Folgerungen des Satzes an.

Zwischenwertsatz Anwendung  

Den Zwischenwertsatz kannst du anwenden, um zu überprüfen,…

  • …ob eine Funktion eine Nullstelle in einem Intervall hat.
  • …ob eine Funktion eine Lösung im Intervall hat.
  • …ob eine Funktion einen beliebigen Wert annimmt.

In den folgenden Abschnitten schauen wir uns folgende Anwendungen genauer an: Existenz von Nullstellen, Erreichen eines Wertes und Wertebereich von Funktionen.

Zwischenwertsatz Beispiel  

Lass uns direkt mit einem Beispiel zur Existenz von Nullstellen beginnen. Wir haben das folgende Polynom gegeben

f(x) = 0,2x^3 + x^2 - 4

und interessieren uns dafür, ob dieses Polynom auf dem Intervall [-4, 2] zumindest eine Nullstelle besitzt.

Wir haben also a = -4 und b = 2. Die Funktionswerte an diesen Stellen lauten

f(a) = 0,2 \cdot (-4)^3 + (-4)^2 - 4 = -0,8 und

f(b) = 0,2 \cdot (2)^3 + (2)^2 - 4 = 1,6.

Damit gilt

f(a) \cdot f(b) = (-0,8) \cdot (1,6) = -1,28 < 0.

Da Polynome insbesondere stetige Funktionen sind und f(a) \cdot f(b) < 0 (die Funktionswerte also unterschiedliche Vorzeichen besitzen) gilt, garantiert uns der Zwischenwertsatz die Existenz von mindestens einer Nullstelle.

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Existenz von Nullstellen Beispiel 1.

Existenz von Nullstellen (Nullstellensatz von Bolzano)

Wir hatten im Beispiel eine Funktion f(x) gewählt, bei der f(a) < 0 und f(b) > 0 ist. Damit liegt die Linie f(x) = 0 zwischen diesen beiden Linien. Nach der anschaulichen Beschreibung des Zwischenwertsatzes bedeutet das, dass die Funktion f(x) zwangsläufig die x-Achse schneiden muss. Mit anderen Worten: Die Funktion f(x) besitzt eine Nullstelle

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Zwischenwertsatz Anwendung 1: Existenz von Nullstellen.

Das gilt auch für den Fall, dass f(a) > 0 und f(b) < 0 ist. Entscheidend ist, dass das Vorzeichen der beiden Funktionswerte unterschiedlich ist.

Zwischenwertsatz Anwendung: Existenz von Nullstellen (Nullstellensatz von Bolzano)

Wenn du eine stetige Funktion f auf einen Intervall [a, b] hast und für die Funktionswerte f(a) und f(b) gilt

f(a) \cdot f(b) < 0,

dann garantiert dir der Zwischenwertsatz die Existenz von mindestens einer Nullstelle.

Erreichen eines Wertes

Statt nach Nullstellen zu fragen, könntest du auch nach bestimmten Werten fragen. Schauen wir uns dazu erneut die Funktion

f(x) = 0,2x^3 + x^2 - 4

an. Wir möchten wissen, ob sie auf dem Intervall [-4, 2] den Wert 1 annimmt. Wir kennen an dieser Stelle nur den Nullstellensatz von Bolzano. Folgende Beobachtung hilft uns vielleicht weiter: Wenn f(x) = 1 für ein bestimmtes x aus [-4, 2] sein soll, dann gilt 

f(x) - 1 = 0.

Lass uns f(x) - 1 als die Funktion g(x) bezeichnen. Das ist also diejenige Funktion, die du von f(x) erreichst, indem du jeden Punkt auf dem Graphen von f(x) um 1 nach unten ziehst. Unsere Fragestellung lautet nun, ob g(x) auf dem Intervall [-4, 2] eine Nullstelle erreicht. Das können wir beantworten, denn es gilt

g(a) = f(a) - 1 = -1,8 und

g(b) = f(b) - 1 = 0,6.

Für das Produkt der beiden Funktionswerte gilt daher

g(a) \cdot g(b) = (-1,8) \cdot (0,6) = -1,08 < 0.

Da f(x) stetig war und wir g(x) durch Verschieben von f(x) erreichen, ist auch g(x) stetig. Damit besitzt g(x) mindestens eine Nullstelle auf dem Intervall [-4, 2]. Das bedeutet, dass es mindestens ein Wert für x gibt, sodass f(x) = 1 gilt. 

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Zwischenwertsatz Anwendung 2: Erreichen eines Wertes.

 

Wertebereich von Funktionen  

Angenommen wir interessieren uns für stetige Funktionen, deren Definitionsbereich alle reelle Zahlen sind. Wir können dann untersuchen, was für Werte diese Funktionen annehmen, wenn der Input beliebig groß oder beliebig klein wird. 

Zwischenwertsatz Anwendung: Wertebereich von Funktionen

Wenn eine stetige Funktion auf den gesamten reellen Zahlen für beliebig große x-Werte beliebig groß wird und für beliebig kleine x-Werte beliebig klein, dann ist nach dem Zwischenwertsatz der Wertebereich dieser Funktion die gesamte y-Achse, also die Menge (-\infty, \infty)

Das gleiche gilt auch, wenn die Funktionswerte beliebig groß werden, wenn x beliebig klein wird oder die Funktionswerte beliebig klein werden, wenn x beliebig groß wird.

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Zwischenwertsatz Anwendung 3: Wertebereich von Funktionen.

 

Zwischenwertsatz Beweis

Wir geben dir einen intuitiven und anschaulichen Beweis des Zwischenwertsatzes. Dabei setzen wir folgende Beobachtung voraus: stetige Funktionen bilden Intervalle auf Intervalle ab.

Stelle dir ein Intervall entlang der reellen Achse als ein straffes Gummiband vor. Wenn du nun dieses Gummiband nimmst und verformst (ohne es dabei zu zerreißen oder irgendwie Löcher zu produzieren), dann spiegelst du damit genau das wieder, was eine stetige Funktion mit diesem Intervall machen würde. 

Wenn du jetzt die Endpunkte des Gummibands fixierst (das sind die Punkte (a, f(a)) und (b, f(b))), dann macht es intuitiv Sinn, dass das Gummiband nur dann von einem Endpunkt zum anderen Endpunkt reichen kann, wenn es auch alle Punkte dazwischen enthält (unabhängig von seiner Verformung). Das ist gerade die Aussage des Zwischenwertsatzes.

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Zwischenwertsatz Beweis illustriert.

Zwischenwertsatz Aufgaben

Das folgende Polynom ist gegeben

f(x) = 0,3x^5 + 2x^2 - 3x - 5.

Bestimme, ob f(x) im Intervall [-3, 3] eine Nullstelle besitzt.

Lösung Aufgabe

Wir bestimmen zunächst die Funktionswerte an den Randpunkten des gegebenen Intervalls

f(-3) = -50,9 und

f(3) = 76,9.

Für das Produkt dieser beiden Funktionswerte gilt

f(-3) \cdot f(3) = (-50,9) \cdot (76,9) = -3914,21 < 0.

Da Polynome insbesondere stetig sind und das Produkt kleiner Null ist, besitzt das Polynom f nach dem Zwischenwertsatz mindestens eine Nullstelle auf dem Intervall [-3, 3].

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