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Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Du willst wissen, was der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung aussagt und wie man ihn herleitet? Dann bist du hier genau richtig!

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung einfach erklärt

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) führt die Berechnung bestimmter Integrale auf die Berechnung unbestimmter Integrale zurück.

Der Satz lautet: Wenn F(x) eine Stammfunktion der stetigen Funktion f(x) ist, dann gilt

    \[\int_{\textcolor{blue}{a}}^{\textcolor{red}{b}}f(x)dx=[F(x)]_{\textcolor{blue}{a}}^{\textcolor{red}{b}}=F(\textcolor{red}{b})-F(\textcolor{blue}{a}).\]

Du kannst also das bestimmte Integral einer Funktion f berechnen, indem du von dem Funktionswert F(b) der oberen Integralgrenze einer Stammfunktion den Funktionswert F(a) der unteren Integralgrenze subtrahierst.

Übrigens: Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung setzt die beiden grundlegenden Bereiche der Analysis, also die Differentialrechnung und die Integralrechnung, miteinander in Verbindung. Aus diesem Grund wird er auch Fundamentalsatz der Analysis genannt.%Wenn du das vertiefen möchtest, dann schau dir hier unser Video dazu an

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung — Beweis

Für die Herleitung gehst du davon aus, dass f:[\textcolor{blue}{a},\textcolor{red}{b}] \rightarrow \mathbb{R} stetig ist und F:[\textcolor{blue}{a},\textcolor{red}{b}] \rightarrow \mathbb{R} mit F(x)=\int_{\textcolor{blue}{a}}^xf(t)dt die Integralfunktion von f(x) ist. Um den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung herzuleiten, musst du zunächst  zeigen, dass der Differentialquotient , also die Ableitung, existiert und gleich f(\~{x}) ist.

    \[\lim_{h\rightarrow 0} \frac{F(\~{x}+h)-F(\~{x})}{h}\stackrel{?}{=}f(\~{x})\]

Dabei ist \~{x}\in[\textcolor{blue}{a},\textcolor{red}{b}] fest, aber beliebig und h\neq 0 mit \~{x}+h\in[\textcolor{blue}{a},\textcolor{red}{b}].

Wegen der Additivität der Grenzen des Integrals kannst du den Differenzquotient umbauen:

    \[\frac{\textcolor{orange}{F(\~{x}+h)}-\textcolor{teal}{F(\~{x})}}{h}=\frac{1}{h}\biggl( \textcolor{orange}{\int_c^{\~{x}+h}f(t)dt}-\textcolor{teal}{\int_c^{\~{x}}f(t)dt} \biggr)=\frac{1}{h}\int_{\~{x}}^{\~{x}+h}f(t)dt\]

Der Mittelwertsatz der Integralrechnung  besagt dann, dass es eine reelle Zahl \textcolor{magenta}{\xi_h} \in [\~{x},\~{x}+h] gibt, für die Folgendes gilt:

    \[ \int_{\~{x}}^{\~{x}+h}f(t)dt=h \cdot f(\textcolor{magenta}{\xi_h})\]

Wenn h jetzt gegen 0 geht, wird der Abstand zwischen \~{x} und \~{x}+h natürlich immer kleiner. Da aber \textcolor{magenta}{\xi_h}noch zwischen \~{x} und \~{x}+h liegt, hast du \~{x}\leq\textcolor{magenta}{\xi_h} \leq \~{x}+h. Für den Grenzwert h \to 0 gilt also \textcolor{magenta}{\xi_h} \to \~{x}

Wenn du das alles jetzt zusammenfügst, erhältst du:

    \begin{align*}F'(\~{x}) &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{F(\~{x}+h)-F(\~{x})}{h}=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\cdot h\cdot f(\textcolor{magenta}{\xi_h}) \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} f(\textcolor{magenta}{\xi_h}) = f(\lim_{h \rightarrow 0} \textcolor{magenta}{\xi_h} ) = f(\~x)\end{align*}

Du siehst also, dass die Ableitung von F in \~{x} existiert und auch den Wert f(\~{x}) besitzt. Dass du f und den Limes vertauschen darfst, liegt hierbei übrigens an der Stetigkeit von f.

Somit hast du auch bewiesen, dass die Integralfunktion {F}(x) eine Stammfunktion von f ist — sie ergibt nämlich abgeleitet wieder die Funktion f. Und da F(\textcolor{blue}{a}) = \int_{\textcolor{blue}{a}}^{\textcolor{blue}{a}} f(t)dt= 0 gilt können wir außerdem schließen, dass

    \[\int_{\textcolor{blue}{a}}^{\textcolor{red}{b}} f(x)dx = F(\textcolor{red}{b}) = F(\textcolor{red}{b})-F(\textcolor{blue}{a})\]

Jetzt hast du schon bewiesen, dass der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung für die Integralfunktion gilt. Das ist aber nur eine von vielen Stammfunktionen.

Um den Satz allgemein zu zeigen, müssen wir uns den Unterschied zwischen verschiedenen Stammfunktionen anschauen.

Eine beliebige Stammfunktion \~{F} unterscheidet sich von F nur durch eine Konstante. Somit gibt es einen Wert C \in \mathbb{R} mit F(x) = \~{F(x)} + C

Es gilt also:

    \[\int_{\textcolor{blue}{a}}^{\textcolor{red}{b}} f(t) dt = F(\textcolor{red}{b})-F(\textcolor{blue}{a}) = (\~{F}(\textcolor{red}{b})+C)- (\~{F}(\textcolor{blue}{a})+C) = \~{F}(\textcolor{red}{b}) - \~{F}(\textcolor{blue}{a}) \]

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gilt also für alle Stammfunktionen

Eine weitere Variante

Du kannst auch eine andere Darstellung vom HDI verwenden.

Für eine stetige Funktion f ist die Ableitung der Integralfunktion gleich der Integrandenfunktion an der oberen Integralgrenze. Das heißt, es gilt:

    \[\textcolor{orange}{F'(x)}=\frac{d}{dx}\int_{\textcolor{blue}{a}}^{\textcolor{red}{x}} \textcolor{olive}{f(s)}ds=f(\textcolor{red}{x})\]

An dieser Variante kannst du sehr gut erkennen, dass es unendlich viele Stammfunktionen F(x) einer Funktion f(x) gibt, da die Gleichung für jedes beliebige \textcolor{blue}{a} gilt.

Die Stammfunktionen unterscheiden sich dabei nur in einer einzigen Konstante. Wenn C also eine reelle Zahl ist, dann, ist \int_a^x f(s)ds+C eine Stammfunktion von f.

Merke: Die erste Variante vom HDI befasst sich mit dem Integral einer Ableitung, bzw. dem Integral von f(x). Die zweite Variante befasst sich hingegen mit der Ableitung eines Integrals
Damit zeigt der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung auch, dass sich die Ableitung und das Integral gegenseitig umkehren.

Äquivalenz der Varianten

Um zu zeigen, dass die beiden Varianten vom Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung tatsächlich äquivalent sind, musst du eine Variante aus der jeweils anderen folgern.

1. Richtung: Variante 1 ⇒ Variante 2

Du weißt schon, dass \int_{\textcolor{blue}{a}}^{\textcolor{red}{x}} f(s)ds = F(\textcolor{red}{x})-F(\textcolor{blue}{a}) gilt. Du willst jetzt zeigen:  \frac{d}{dx}\int_{\textcolor{blue}{a}}^{\textcolor{red}{x}} f(s)ds = f(\textcolor{red}{x}). Dafür setzt du einfach die erste Variante in die linke Seite der zweiten Variante ein.

Aus \frac{d}{dx} \int_{\textcolor{blue}{a}}^{\textcolor{red}{x}} f(s)ds wird also \frac{d}{dx}(F(\textcolor{red}{x})-F(\textcolor{blue}{a}))
Jetzt kannst du mithilfe der Ableitungsregeln für Differenzen F(x) und F(a) jeweils einzeln ableiten. Da du nach x ableitest, ist die Ableitung von F(a) dabei 0.

Es bleibt also übrig:

    \[\frac{d}{dx} \int_{\textcolor{blue}{a}}^{\textcolor{red}{x}} f(s)ds=\frac{d}{dx}F(\textcolor{red}{x})-\frac{d}{dx}F(\textcolor{blue}{a})=\frac{d}{dx}F(\textcolor{red}{x})-0=\frac{d}{dx}F(\textcolor{red}{x})=f(x)\]

Das entspricht der zweiten Variante. Du hast diese Richtung der Äquivalenz also bewiesen.

2. Richtung: Variante 2 ⇒ Variante 1

Es fehlt noch die andere Richtung, bei der wir von der zweiten Variante ausgehen.

Du setzt dann voraus, dass \frac{d}{dx} \int_c^x f(s)ds=f(x) gilt. Das heißt, dass die Funktion F(x) = \int_c^xf(s)ds eine Stammfunktion von f ist. Entsprechend kannst du das in die erste Variante einsetzen. Du kannst hier dann F(\textcolor{blue}{a}) und F(\textcolor{red}{b}) ersetzen.

Es gilt also:

    \[F(\textcolor{red}{b})-F(\textcolor{blue}{a}) = \int_c^{\textcolor{red}{b}} f(s)ds-\int_c^{\textcolor{blue}{a}} f(s)ds\]

Jetzt fehlt nur noch ein Schritt. Da wir das Integral von c bis b ausrechnen und schließlich das Integral von c bis a abziehen, bleibt nur das Integral von a bis b übrig. Du kannst also stattdessen direkt dieses Integral verwenden.

    \[\int_c^{\textcolor{red}{b}} f(s)ds - \int_c^{\textcolor{blue}{a}} f(s)ds = \int_{\textcolor{blue}{a}}^{\textcolor{red}{b}} f(s)ds\]

Wenn wir diese beiden Schritte zusammenfassen, kommst du also zu:

    \[F(\textcolor{red}{b})-F(\textcolor{blue}{a}) = \int_{\textcolor{blue}{a}}^{\textcolor{red}{b}} f(s)ds\]

Das entspricht der ersten Variante. Du hast die Aussage jetzt aus beiden Richtungen bewiesen. Die Varianten sind also äquivalent.

Beispiele

Schau dir gleich ein Beispiel an, in dem du den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden kannst.
Rechne das folgende Integral aus:

    \[\int_{\textcolor{blue}{1}}^{\textcolor{red}{3}} (x^3 -2x) dx\]

Das löst du in 3 einfachen Schritten:

  1. Ermittle das unbestimmte Integral, also die Stammfunktion.

        \[F(x)=\int (x^3 -2x)dx = \frac{1}{4}x^4 -x^2\]

  2. Berechne die Werte für F(a) und F(b), indem du die untere und obere Integrationsgrenze einsetzt, also 1 und 3.

        \[F(\textcolor{blue}{a})=F(\textcolor{blue}{1})=\frac{1}{4}-1=-0,75 \qquad ; \qquad F(\textcolor{red}{b})=F(\textcolor{red}{3})=\frac{81}{4}-9=11,25\]

  3. Bilde die Differenz von F(b) und F(a)

        \[F(\textcolor{red}{b})-F(\textcolor{blue}{a})=F(\textcolor{red}{3})-F(\textcolor{blue}{1})=11,25 - (-0,75) =12\]

Übrigens: Die reelle Konstante C musst du hier nicht berücksichtigen, da sie beim Subtrahieren ohnehin wegfallen würde.

Bestimmtes und unbestimmtes Integral

Jetzt weißt du, was der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung aussagt, wie man ihn herleitet und wie man die Äquivalenz seiner Varianten beweist. Du willst dich noch genauer damit auskennen, was der Unterschied zwischen einem bestimmten und unbestimmten Integral ist? Dann schau dir am besten gleich unser Video zu diesem Thema an.

Zum Video: Bestimmtes und unbestimmtes Integral
Zum Video: Bestimmtes und unbestimmtes Integral

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