Analysis

Integration durch Substitution

Bei der Integration durch Substitution muss man einige Punkte beachten. In diesem Zusammenhäng erklären wir zunächst die Integrationsformel und beweisen deren Gültigkeit. Anschließend zeigen wir anhand einiger Beispiele, wie du damit Integrationsaufgaben in der Praxis lösen kannst.

Kurz und kompakt haben wir für dich das Thema auch in einem Video  aufbereitet. Dort werden die Zusammenhänge gut einprägsam veranschaulicht, was dir das Lernen erleichtern dürfte.

Inhaltsübersicht

Integration durch Substitution einfach erklärt

Das Ziel der Substitution ist es, ein kompliziertes Integral in ein einfacheres zu überführen. Bei der Integration durch  Substitution wird in der Praxis meist die Integrationsvariable x so durch eine Funktion \varphi(t) ersetzt, also substituiert, sodass sich der Integrand vereinfacht.

Substitutionsregel

Dabei gilt die folgende Gleichung für eine stetige Funktion f und eine stetig differenzierbare Funktion \varphi:

\int\limits_a^b f(\varphi(t))\cdot \varphi '(t)\mathrm{d}t=\int\limits_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(x)\mathrm{d}x.

Deren Gültigkeit lässt sich mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung beweisen. Sei F eine Stammfunktion von f, dann gilt mit der Kettenregel (F(\varphi(t)))'=f(\varphi(t))\cdot \varphi '(t) und weiter:

\int\limits_a^b f(\varphi(t))\cdot \varphi '(t)\mathrm{d}t=F(\varphi(b))-F(\varphi(a))=\int\limits_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(x)\mathrm{d}x.

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Substitution und Differentiale

Bei der praktischen Anwendung der Substitutionsregel ersetzt man meist die Variable x durch die Funktion \varphi(t):

x=\varphi(t).

Wenn man diesen Ausdruck nun nach t ableitet und anschließend die Gleichung umstellt, erhält man:

\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\varphi '(t),

\mathrm{d}x=\varphi '(t)\cdot \mathrm{d}t.

Setzt man nun x und \mathrm{d}x in die rechte Seite der Substitutionsregel ein, wird plausibel, dass die Regel stimmt.

Daraus ergibt sich auch schon eine Anleitung für ein Verfahren der Substitution. Es muss lediglich die Funktion \varphi(t) noch so bestimmt werden, dass der Integrand auf der linken Seite der Gleichung gegenüber dem Integranden auf der rechten Seite vereinfacht wird. Das gelingt meistens, wenn eine verschachtelte Funktion im Integranden vorliegt.

Integration durch Substitution Beispiel

Wir betrachten zum Beispiel die Funktion

f(x)=\sin(2x).

Dann könnte man die Funktion zu der Funktion f(t)=\sin(t) vereinfachen wollen. Es müsste also gelten:

t=2x.

Diesen Ausdruck kann man nun nach x umstellen und nennt den erhaltenten Term \varphi(t):

x:=\varphi(t)=\frac{1}{2}t.

Jetzt gilt nämlich f(\varphi(t))=\sin(2\varphi(t))=\sin(2\cdot\frac{1}{2}t)=\sin(t), was genau das Ziel war. Nun muss nur noch die Funktion \varphi(t) abgeleitet werden und man hätte die Substitutionsgleichung einmal von rechts nach links angewandt:

\int\limits_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(x)\mathrm{d}x=\int\limits_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}\sin(2x)\mathrm{d}x=\int\limits_a^b \sin(t)\cdot \frac{1}{2}\mathrm{d}t=\int\limits_a^b f(\varphi(t))\cdot \varphi '(t)\mathrm{d}t.

Allerdings lässt sich diese Methode noch verkürzen. Man muss die Funktion \varphi(t) gar nicht explizit bestimmen. Man kann einfach die Gleichung t=2x in der Funktion f(x) einsetzen und erhält automatisch f(\varphi(t)). Ebenso kann man einfach den Ausdruck t=2x nach x ableiten und nach \mathrm{d}x umstellen.

\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=2

\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\mathrm{d}t

Diesen Ausdruck kann man nun ebenso wie 2x=t im Integral einsetzen:

\int\limits_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}\sin(2x)\mathrm{d}x=\int\limits_a^b \sin(t)\cdot \frac{1}{2}\mathrm{d}t.

Integration durch Substitution Grenzen

Bei dem eben gezeigten Beispiel haben wir die Integrationsgrenzen noch nicht beachtet. Wir müssen aus \varphi(a) und \varphi(b) noch die Grenzen a und b berechnen. Dazu benötigen wir also die Umkehrfunktion von \varphi. Diese kennen wir aber schon. Wir haben nämlich \varphi bestimmt, indem wir t=2x nach x umgestellt haben. Um die Umkehrfunktion zu erhalten müssen wir also wieder nach t umstellen und erhalten somit \varphi^{-1}(x)=2x. In diese Funktion müssen wir also noch die ursprünglichen Integrationsgrenzen einsetzen, um die neuen Grenzen zu erhalten. Lauten in unserem Beispiel die Grenzen also 2 und 7, so wären die neuen Grenzen 4 und 14:

\int\limits_{2}^{7}\sin(2x)\mathrm{d}x=\int\limits_4^{14} \sin(t)\cdot \frac{1}{2}\mathrm{d}t.

Es wäre bei der eben beschriebenen Methode auch möglich die Integrationsgrenzen zunächst nicht zu beachten und eine Stammfunktion zu finden, bevor man t=2x wieder rücksubstituiert. Abschließend kann die Stammfunktion an den ursprünglichen Grenzen ausgewertet werden.

Integration durch Substitution Aufgaben

Bei der eben beschriebenen Methode der Integration durch Substitution rechnet man die Substitutionsgleichung im Grunde von rechts nach links durch. Diese Methode wollen wir nun an einer Beispielaufgabe noch einmal demonstrieren. Allerdings wollen wir auch zeigen, wie man die Aufgabe mittels der Substitutionsgleichung von links nach rechts lösen kann, indem man die Struktur des Integranden genauer betrachtet. Diese zweite Methode demonstrieren wir dann nochmal in einem extra Beispiel.

Integration durch Substitution Beispiel 1

Wir betrachten zunächst folgendes Integral:

\int\limits_{0}^{5}x\cdot \sin(x^2+2)\mathrm{d}x.

Hier wollen wir die Funktion \sin(x^2+2) im Integranden zu \sin(t) vereinfachen. Wir setzen also

t=x^2+2.

Nun können wir das nach x ableiten und anschließend nach \mathrm{d}x umstellen:

\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=2x,

\mathrm{d}x=\frac{1}{2x}\mathrm{d}t.

Setzen wir nun x und \mathrm{d}x in das Integral ein und passen unsere Integrationsgrenzen an, so erhalten wir:

\int\limits_{0}^{5}x\cdot \sin(x^2+2)\mathrm{d}x=\int\limits_{2}^{27}x\cdot \sin(t)\cdot\frac{1}{2x}\mathrm{d}t

=\int\limits_{2}^{27}\frac{1}{2} \sin(t)\mathrm{d}t=\left[-\frac{1}{2}\cos(t)\right]_{2}^{27}=-\frac{1}{2}\cos(27)+\frac{1}{2}\cos(2).

Statt die Grenzen zu beachten hätte man auch folgendermaßen rechnen können:

\int x\cdot \sin(x^2+2)\mathrm{d}x=\int x\cdot \sin(t)\cdot\frac{1}{2x}\mathrm{d}t=\int\frac{1}{2} \sin(t)\mathrm{d}t=-\frac{1}{2}\cos(t)+C.

Zuletzt muss man dann allerdings für t wieder x^2+2 einsetzen und kann dann die ursprünglichen Grenzen einsetzen:

\int\limits_{0}^{5} x\cdot \sin(x^2+2)\mathrm{d}x=\left[-\frac{1}{2}\cos(x^2+2)\right]_{0}^{5}=-\frac{1}{2}\cos(27)+\frac{1}{2}\cos(2).

Nun wollen wir dir noch zeigen, wie man dieses Integral lösen kann, indem man die Substitutionsgleichung von links nach rechts anwendet. Wenn man sich die linke Seite der Gleichung genauer betrachtet, erkennt man, dass der Integrand aus einer verschachtelten Funktion besteht, an die noch die Ableitung  der inneren Funktion multipliziert wird. Wenn man also einen Integranden vorfindet, der genau diese Struktur aufweist, lässt sich die Gleichung ganz einfach anwenden. Und genau das ist in diesem Beispiel der Fall. Unser Integrand lautet folgendermaßen:

x\cdot \sin(x^2+2).

Wenn wir die Funktion f(x)=\sin(x) als äußere Funktion betrachten, muss die innere Funktion \varphi (x)=x^2+2 lauten. Ihre Ableitung lautet \varphi '(x)=2x. Insgesamt haben wir also f(\varphi (x))\cdot\varphi '(x)=\sin(x^2+2)\cdot 2x. Das entspricht fast dem Integranden unseres Integrals, lediglich noch mit dem Faktor 2 multipliziert. Aber diesen Faktor können wir eliminieren, indem wir mit \frac{1}{2} multiplizieren. Es gilt also:

\int\limits_{0}^{5}x\cdot\sin(x^2+2)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{5}2x\cdot \sin(x^2+2)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{5}f(\varphi (x))\cdot\varphi '(x)\mathrm{d}x

Wenn wir nun unsere Variable x in t umbenennen, erhalten wir genau die linke Seite der Substitutionsgleichung und können sie mit der rechten Seite gleichsetzen:

\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{5}f(\varphi (t))\cdot\varphi '(t)\mathrm{d}t=\int\limits_{\varphi(0)}^{\varphi(5)}f(x)\mathrm{d}x.

Setzen wir nun f(x)=\sin(x) und \varphi (x)=x^2+2 ein, erhalten wir das vereinfachte Integral:

\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{5}f(\varphi (t))\cdot\varphi '(t)\mathrm{d}t=\frac{1}{2}\int\limits_{\varphi(0)}^{\varphi(5)}f(x)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int\limits_2^{27} \sin(x)\mathrm{d}x.

Integration durch Substitution Beispiel 2

Im zweiten Beispiel wollen wir das folgende Integral betrachten:

\int\limits_{0}^{3}\frac{6t}{\sqrt{2+3t^2}}\mathrm{d}t.

Hier erkennt man, dass der Integrand aus der äußeren Funktion f(t)=\frac{1}{\sqrt t} mit der inneren Funktion \varphi (t)=2+3t^2 besteht, welche mit der Ableitung \varphi '(t)=6t der inneren Funktion multipliziert wird. Der Integrand weißt also genau die Struktur der linken Seite der Substitutionsgleichung auf:

\int\limits_{0}^{3}\frac{6t}{\sqrt{2+3t^2}}\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{3}f(\varphi(t))\cdot \varphi '(t)\mathrm{d}t.

Mithilfe der Substitutionsregel erhalten wir also folgende Lösung:

\int\limits_{0}^{3}\frac{6t}{\sqrt{2+3t^2}}\mathrm{d}t=\int\limits_{0}^{3}f(\varphi(t))\cdot \varphi '(t)\mathrm{d}t=\int\limits_{\varphi(0)}^{\varphi(3)}f(x)\mathrm{d}x=\int\limits_2^{29}\frac{1}{\sqrt x}\mathrm{d}x

=\left[2\sqrt x\right]_2^{29}=2(\sqrt{29}-\sqrt 2).

Bei dieser Methode der Integration durch Substitution wird im Grunde die Kettenregel der Differentialrechnung rückgängig gemacht.

Spezialfälle

Im folgenden sollen kurz zwei wichtige Arten von Integralen genannt werden, die sich allgemein mittels Integration durch Substitution lösen lassen.

Integration durch lineare Substitution

Besteht der Integrand aus einer verketteten Funktion, wobei die äußere Funktion f die Stammfunktion F besitzt und die innere Funktion linear von der Form ax+b ist, so lautet die Lösung des Integrals folgendermaßen:

\int\limits_a^b f(ax+b)\mathrm{d}x=\left[\frac{1}{a}F(ax+b)\right]_a^b.

Logarithmische Integration

Ist der Integrand ein Bruch mit einer Funktion f im Nenner und deren Ableitung f' im Zähler, so ist der natürliche Logarithmus der Funktion f die gesuchte Stammfunktion.

\int\limits_a^b \frac{f'(x)}{f(x)}\mathrm{d}x=\left[\ln{|f(x)|}\right]_a^b.

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