Hinreichende Bedingung
Willst du verstehen, was eine hinreichende Bedingung in der Mathematik bedeutet und wie du sie erkennst? In diesem Beitrag und in unserem Video erfährst du genau das!
Inhaltsübersicht
Hinreichende Bedingung einfach erklärt
In der Mathematik ist eine hinreichende Bedingung eine Voraussetzung, die ausreicht, um ein bestimmtes Ergebnis hervorzurufen. Wenn die hinreichende Bedingung erfüllt ist, dann tritt das Ereignis auch ein.
Allerdings muss das Ergebnis nicht nur unter dieser Bedingung eintreten. Es kann auch andere Kriterien geben, die zum Ereignis führen.
Stell dir vor, du möchtest einen Kuchen haben. Um einen Kuchen zu backen, benötigst du einen Backofen und alle Zutaten. Die Erfüllung dieser Bedingung reicht aus, um einen Kuchen zu erhalten. Du kannst aber auch auf andere Weise einen Kuchen bekommen — beispielsweise indem du dir einen kaufst.
Schauen wir uns jetzt das Ganze an einem Beispiel aus der Mathematik an!
Beispiele hinreichendes Kriterium
Du hast zwei Aussagen:
A = Eine Zahl ist durch 6 teilbar.
B = Die Zahl ist gerade.
Hier ist A hinreichend für B. Das bedeutet, wenn A zutrifft, dann tritt auch B ein. Also, wenn eine Zahl durch 6 teilbar ist, dann ist sie auch sicherlich gerade.
Mathematisch würdest du diese Beziehung so ausdrücken:
A ⇒ B
Das heißt „Aus A folgt B“ oder „A impliziert B“, was in diesem Fall übersetzt wird zu:
Eine Zahl ist durch 6 teilbar. ⇒ Die Zahl ist gerade.
B könnte aber auch ohne A eintreten. Das heißt, eine Zahl kann gerade sein, ohne dass sie durch 6 teilbar ist, zum Beispiel könnte sie durch 2 oder 4 teilbar sein.
Der umgekehrte Fall, dass wenn B eintritt, auch A eintritt, trifft nicht zu. Denn eine gerade Zahl muss nicht zwingend durch 6 teilbar sein.
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Notwendige und hinreichende Bedingung
Eine notwendige Bedingung ist eine Voraussetzung, die unbedingt erfüllt sein muss, damit ein bestimmtes Ereignis eintritt. Es handelt sich hierbei allerdings nicht um eine Garantie. Denn auch, wenn die notwendige Bedingung erfüllt ist, kann das Ereignis möglicherweise nicht eintreten.
Der Unterschied zur hinreichenden Bedingung ist folgender: Eine hinreichende Bedingung garantiert das Eintreten eines Ereignisses, wenn sie erfüllt ist. Eine notwendige Bedingung ist eher wie eine Mindestanforderung, die erfüllt sein muss. Sie bietet aber keine Sicherheit für das Eintreten des Ereignisses.
Damit du den Unterschied zwischen notwendiger und hinreichender Bedingung besser verstehst, schauen wir uns wieder ein Beispiel dazu an:
Angenommen, du möchtest überprüfen, ob eine Zahl ein Vielfaches von 6 ist. Eine notwendige Bedingung wäre, dass die Zahl durch 2 teilbar ist. Aber das allein reicht nicht aus, denn nicht jede durch 2 teilbare Zahl ist auch ein Vielfaches von 6.
Hier kommt die hinreichende Bedingung ins Spiel: Um mit Sicherheit sagen zu können, dass eine Zahl durch 6 teilbar ist, muss sie auch durch 3 teilbar sein. Wenn eine Zahl also sowohl durch 2 als auch durch 3 teilbar ist, dann ist sie auch ein Vielfaches von 6.
Übrigens: Die notwendige und hinreichende Bedingung begegnen dir nicht nur in der Mathematik, sondern auch in Fachbereichen wie Physik, Logik und Philosophie.
Äquivalente Bedingung
Es gibt noch eine dritte Art von Bedingungen: äquivalente Bedingungen. Sie sind sowohl notwendig als auch hinreichend. Das heißt, sie erfüllen beide Rollen gleichzeitig: Äquivalente Bedingungen sind eine erforderliche Voraussetzung und garantieren das Eintreten eines bestimmten Ergebnisses.
Ein typisches Beispiel ist die Bestimmung eines rechten Winkels in einem Dreieck. Eine äquivalente Bedingung hier wäre, dass die Summe der Quadrate der Längen der beiden kürzeren Seiten gleich dem Quadrat der Länge der längsten Seite ist (Satz des Pythagoras). Wenn diese Bedingung erfüllt ist, hast du definitiv einen rechten Winkel im Dreieck.
Äquivalente Bedingungen zeichnen sich auch dadurch aus, dass der umgekehrte Fall ebenfalls zutrifft. Hast du also ein rechtwinkliges Dreieck, wird die Beziehung zwischen den Seiten immer zutreffen.
Hinreichende Bedingung — häufigste Fragen
(ausklappen)
Hinreichende Bedingung — häufigste Fragen
(ausklappen)-
Wie erkenne ich, ob eine Bedingung nur notwendig ist?Eine Bedingung ist nur notwendig, wenn ohne sie das Ergebnis nicht eintreten kann, sie es aber nicht garantiert. Dann gilt: Ergebnis
Bedingung. Zum Beispiel ist „durch 2 teilbar“ notwendig für „durch 6 teilbar“, denn jede durch 6 teilbare Zahl ist gerade, aber 4 ist gerade und trotzdem nicht durch 6 teilbar.
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Wie erkenne ich, ob eine Bedingung wirklich hinreichend ist?Eine Bedingung ist hinreichend, wenn ihr Erfülltsein das Ergebnis sicher nach sich zieht. Dann gilt: Bedingung Ergebnis. Zum Beispiel folgt aus „durch 6 teilbar“ immer „gerade“, weil jede Zahl
automatisch ein Vielfaches von 2 ist.
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Welche Fehler passieren oft beim Beweisen von A folgt B?Häufige Fehler beim Beweisen von
sind, versehentlich die Umkehrung 
zu zeigen oder ein Beispiel statt eines allgemeinen Beweises zu geben. Beispiel für die falsche Umkehrung: Aus „gerade“ folgt nicht „durch 6 teilbar“, denn 4 ist gerade, aber nicht durch 6 teilbar.
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Warum ist die Umkehrung von A folgt B oft falsch?Die Umkehrung ist oft falsch, weil B auch aus anderen Gründen wahr sein kann, ohne dass A gilt. sagt nur: A reicht für B, nicht: A ist der einzige Weg zu B. Beispiel: „durch 6 teilbar gerade“, aber 8 ist gerade und trotzdem nicht durch 6 teilbar.
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Wann brauche ich eine notwendige und hinreichende Bedingung statt nur eine Richtung?Eine notwendige und hinreichende Bedingung brauchst du, wenn du ein Kriterium willst, das genau dann gilt, wenn das Ergebnis gilt. Dann müssen beide Richtungen stimmen: und , also
. Beispiel: Ein Dreieck ist rechtwinklig genau dann, wenn die Pythagoras-Beziehung erfüllt ist.
Extrempunkte berechnen
Perfekt! Nun weißt du, was hinreichende Bedingungen sind und wie du sie erkennst. Diese Bedingungen spielen auch bei der Bestimmung von Extrempunkten eine zentrale Rolle. Wie du Extrempunkte berechnest, erfährst du in unserem Video dazu!
