Partielle Integration
Partielle Integration ermöglicht dir, Produkte zu integrieren. Deswegen wird sie häufig auch als Produktintegration bezeichnet. Wie genau das funktioniert, erklären wir dir hier ausführlich mit vielen Beispielen, Tricks zur Berechnung und Aufgaben .
Wenn du alles Wichtige kurz und knapp zusammengefasst sehen willst, schau dir am besten unser Video an .
Partielle Integration Formel einfach erklärt
Möchtest du ein Integral berechnen, musst du dabei verschiedene Integrationsregeln
beachten. Eine dieser Integrationsregeln ist die Partielle Integration. Diese brauchst du immer dann, wenn im Inneren des Integrals ein Produkt steht, du also ein Integral der Form berechnen sollst.
Du kannst Integrieren als Umkehrung vom Ableiten auffassen. Wenn du also ableiten möchtest, brauchst du die Produktregel
und erhältst
. Mithilfe der Partiellen Integration wollen wir das sozusagen rückgängig machen.
Partielle Integration Formel
Es gilt die folgende Formel
Wie du siehst, musst du also und
so wählen, dass dein Integral durch die Multiplikation mit
im letzten Schritt vereinfacht wird. Wie gehst du am besten vor, wenn du ein Integral mittels Produktintegration berechnen willst? Ganz einfach: Du befolgst diese Schritt-für-Schritt-Anleitung.
-
Schritt 1: Bestimme, welcher deiner Faktoren
und welcher
sein soll. Wähle dabei so, dass du
gut berechnen kannst, und dass
das Integral im letzten Schritt vereinfacht.
-
Schritt 2: Berechne von
die Stammfunktion
und leite
ab, um
zu erhalten.
- Schritt 3: Setze alles in die Formel ein und berechne das Ergebnis.
Partielle Integration Beispiel
Im Folgenden zeigen wir dir zwei Beispiele zur partiellen Intergation:
Beispiel 1
Wir wollen mittels partieller Integration berechnen. Dazu führen wir nacheinander die drei obigen Schritte aus. Zuerst müssen wir die Auswahl für
und
treffen. Du siehst sofort, dass das Integral im letzten Schritt einfacher wird, wenn du
wählst. (Würdest du
wählen, hättest du
, was dir nicht weiterhilft.) Somit ist hier
und
. Im zweiten Schritt musst du
und
berechnen. Einsetzen in die Formel ergibt dann
Beispiel 2
Möchtest du wissen, was die Stammfunktion von ist, kannst du sie ebenfalls mit partieller Integration berechnen. Du bist verwirrt, was hier
und was
sein soll? Es gilt der folgende Trick:
Jetzt kannst du – wie im ersten Schritt oben – ganz einfach und
wählen. Damit berechnest du im zweiten Schritt
und
und setzt beides in die obige Formel ein
Wie du in diesen beiden Beispielen erkennst, kannst du partielle Integration sowohl für bestimmte Integrale als auch für unbestimmte Integrale
anwenden. Der Unterschied besteht lediglich darin, dass du im ersten Fall noch die Integrationsgrenzen einsetzen musst und im zweiten Fall die Konstante addieren.
Partielle Integration Berechnung
Findest du die Produktintegration beziehungsweise die Formel für die partielle Integration kompliziert und kannst dir die Formel nur schlecht merken? Es gibt ein paar einfache Tricks, die dir helfen können.
Wenn du dir die Formel für die partielle Integration nicht merken willst, kannst du sie dir stattdessen direkt an der Produktregel überlegen.
Integrieren der rechten Seite liefert dir die Formel der Produktintegration. Du erhältst also
Es fällt dir schwer zu entscheiden, welchen Faktor du für die partielle Integration möglichst geschickt als wählst? Statt ewig herumzuprobieren und das Integral am Ende unnötig kompliziert zu machen, gibt es eine einfache Eselsbrücke. Du musst dir nur das Wort „LIATE“ merken (oder alternativ den Merksatz: Liebe Integrale Ausrechnen Tröstet Euch):
L | Logarithmische Funktionen | |
I | inverse Winkelfunktionen | |
A | algebraische Funktionen | |
T | trigonometrische Funktionen | |
E | Exponentialfunktionen |
Entsprechend der Reihenfolge in der Tabelle, wählst du nun für die partielle Integration aus. Du schaust also, welcher deiner beiden Faktoren zuerst in der Tabelle auftaucht. Diesen wählst du dann als
. Der Faktor, der in der Tabelle weiter unten steht, ist somit dein
. Das schauen wir uns genauer im nächsten Beispiel an.
Beispiel 3
Wir wollen durch partielle Integration berechnen. Da
in der Tabelle ganz oben steht, wählst du also
und
. Partiell Integrieren liefert dann
Mehrmalige partielle Integration
Manchmal musst du die partielle Integration mehrmals hintereinander ausführen. Das ist insbesondere dann der Fall, wenn eine algebraische Funktion mit Ordnung größer als 2 ist. Dass du mehrmals partiell integrieren musst, erkennst du daran, wenn das Integral
noch immer nicht elementar berechenbar ist. Das wollen wir in einem Beispiel genauer untersuchen.
Beispiel 4
Gesucht sei das Integral . Nach der obigen Tabelle wählen wir
und
. Nun integrieren wir partiell und erhalten
Hinweis: Bevor du mehrmals hintereinander integrierst, solltest du überprüfen, ob du und
wirklich richtig gewählt hast! Im schlimmsten Falle machst du dein Integral sonst zunehmend komplizierter!
Partielle Integration Aufgaben
Verwende die partielle Integration um folgende Integrale zu berechnen:
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Aufgabe 1:
-
Aufgabe 2:
-
Aufgabe 3:
-
Aufgabe 4:
Lösungen:
Aufgabe 1
Mit und
gilt
Aufgabe 2
Mit und
gilt
Das letzte Integral kannst du immer noch nicht direkt berechnen. Du musst es also noch einmal partiell integrieren und erhältst dann
Aufgabe 3
Mit und
gilt
Aufgabe 4
Hier ist etwas Geschick gefordert, wenn du das Integral vereinfachen willst. Mit und
gilt
Diesen Term kannst du umstellen und erhältst dann