Wenn du wissen möchtest, wie du die Tangente einer Funktion berechnest, dann bist du hier genau richtig. Wir erklären dir Schritt für Schritt, wie du die Geradengleichung einer Tangente berechnen kannst.
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Betrachtest du eine Funktion f an der Stelle , so ist eine Tangente eine Gerade, die die gleiche Steigung und den gleichen Funktionswert wie die Funktion f an der Stelle
hat. Also eine Gerade, die die Funktion f an der Stelle
nicht schneidet, sondern nur berührt.
Eine Tangente ist eine lineare Funktion , die die Funktion f an einem Punkt berührt. Dadurch, dass die Tangente die Funktion f an diesem Punkt nicht schneidet, sondern nur berührt, ist die Steigung der Tangente und die Steigung des Funktionsgraphen von f am Berührpunkt gleich. Deshalb musst du für die Ermittlung der Steigung der Tangente die x-Koordinate der Betrachtungsstelle in die erste Ableitung einsetzen.
Zur Bestimmung der Tangentengleichung verwendest du die Punktsteigungsform der Geradengleichung.
,
wobei die Koordinaten des Berührpunkts sind.
Schauen wir uns mal an, wie du die Tangente einer Funktion am Punkt berechnen kannst.
Schritt 1: Berechne die erste Ableitung .
Schritt 2: Setze den Wert in
ein und ermittle so die Steigung der Tangente.
Schritt 3: Falls die y-Koordinate noch nicht bekannt ist, setzt du in die Funktion f ein.
Schritt 4: Jetzt setzt du die Koordinaten des Berührpunkts und die Steigung
in die Punktsteigungsform ein
und kannst so die gesuchte Tangente berechnen.
Schauen wir uns dazu ein Beispiel an. Wir möchten für die Funktion
an der Stelle die Tangente berechnen.
Schritt 1: Als erstes berechnest du mithilfe der Potenz- und Faktorregel die erste Ableitung
Schritt 2: Um die Steigung der Tangente an der Stelle zu ermitteln, setzt du
in die Ableitung ein und erhältst so
Schritt 3: Da du die y-Koordinate des Betrachtungspunkts noch nicht kennst, musst du diesen erst berechnen und setzt dafür in die Funktion f ein
Damit haben wir die Koordinaten des Berührpunkts .
Schritt 4: Nun kannst du die Tangente berechnen, indem du alle Bausteine in die Tangentengleichung einsetzt.
Eine besondere Art der Tangente ist die, die ihren Berührpunkt mit der Funktion an einem Extrempunkt
oder Sattelpunkt
hat. Da bei diesen Punkten die Eigenschaft gilt, besitzen sie eine waagerechte Tangente, also eine Tangente mit der Steigung null.
Damit lautet die Tangentengleichung an einem Extrempunkt oder Sattelpunkt
Betrachte zum Beispiel die Funktion . Sie hat einen Extrempunkt am Punkt
. Mit der Steigung
lässt sich die Tangente berechnen.
Eine weitere Art der Tangente ist die Wendetangente
, die ihren Berührpunkt an einem Wendepunkt
hat. Die allgemeine Tangentengleichung der Wendetangente lautet
Die Funktion
besitzt den Wendepunkt und hat an der Stelle
die Steigung
. Somit kannst du am Punkt W die Tangente berechnen.
Die Taylorreihe
wird genutzt um Funktionen bestmöglich zu approximieren. Dabei stellt die Taylorreihe mit zwei Summanden die Tangente an der Stelle dar.
Manchmal wird nach dem Winkel gefragt, den die Tangente mit der x-Achse einspannt. Dabei wird die inverse Tangensfunktion
verwendet, um die Steigung der Funktion an der Stelle x in Grad umzurechnen. Es gilt also
Steigung in Grad
Wenn man eine Sekante mit den Schnittpunkten und
betrachtet, so lässt sich die Steigung der Sekante mit dem Differenzenquotient
wie folgt darstellen.
Lässt du nun h immer kleiner werden, so nähert sich die Sekante immer weiter der Tangente an und du erhältst mit dem Differentialquotient
die Steigung der Tangente an der Stelle x.
Schauen wir uns zum Schluss noch ein paar Aufgaben zu diesem Thema an.
Bestimme für die Funktion
alle Tangenten mit der Steigung 1.
Zunächst berechnest du die erste Ableitung
Jetzt möchtest du wissen, an welchen Stellen die erste Ableitung den Wert 1 annimmt. Dafür setzt du gleich 1
und berechnest mithilfe der pq Formel die Nullstellen
und
Damit hast du schon mal die x-Koordinaten der Berührpunkte. Jetzt fehlen noch die y-Koordinaten. Dafür setzt du die x-Werte in die Funktion f ein
Nun kennst du alle Bausteine der Tangentengleichung und kannst somit die Tangente berechnen.
Bestimme für die Funktion
die Tangentengleichung an der Stelle
Zunächst benötigst du die erste Ableitung
um die Steigung der Tangente an der Stelle zu bestimmen. Dazu setzt du
in
ein
Da du die y-Koordinate des Berührpunkts noch nicht hast, setzt du nun
in die Funktion f ein
Jetzt hast du alle Bausteine damit du die Tangente berechnen kannst. Setze dafür einfach und
in die Tangentengleichung ein und du erhältst
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