Wenn du wissen möchtest, wie du die Tangente einer Funktion berechnest, dann bist du hier genau richtig. Wir erklären dir Schritt für Schritt, wie du die Geradengleichung einer Tangente berechnen kannst.
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Tangente einfach erklärt
Betrachtest du eine Funktion f an der Stelle 
, so ist eine Tangente eine Gerade, die die gleiche Steigung und den gleichen Funktionswert wie die Funktion f an der Stelle hat. Also eine Gerade, die die Funktion f an der Stelle nicht schneidet, sondern nur berührt.
Was ist eine Tangente?
Eine Tangente ist eine lineare Funktion , die die Funktion f an einem Punkt berührt. Dadurch, dass die Tangente die Funktion f an diesem Punkt nicht schneidet, sondern nur berührt, ist die Steigung der Tangente und die Steigung des Funktionsgraphen von f am Berührpunkt gleich. Deshalb musst du für die Ermittlung der Steigung der Tangente die x-Koordinate der Betrachtungsstelle in die erste Ableitung einsetzen.
Zur Bestimmung der Tangentengleichung verwendest du die Punktsteigungsform der Geradengleichung.
,
wobei 
die Koordinaten des Berührpunkts sind.
Tangente berechnen: Schritt-für-Schritt Anleitung
Schauen wir uns mal an, wie du die Tangente einer Funktion am Punkt 
berechnen kannst.
Schritt 1: Berechne die erste Ableitung 
.
Schritt 2: Setze den Wert in ein und ermittle so die Steigung der Tangente.
Schritt 3: Falls die y-Koordinate noch nicht bekannt ist, setzt du in die Funktion f ein.
Schritt 4: Jetzt setzt du die Koordinaten des Berührpunkts und die Steigung 
in die Punktsteigungsform ein
und kannst so die gesuchte Tangente berechnen.
Beispiel
Schauen wir uns dazu ein Beispiel an. Wir möchten für die Funktion
an der Stelle 
die Tangente berechnen.
Schritt 1: Als erstes berechnest du mithilfe der Potenz- und Faktorregel die erste Ableitung
Schritt 2: Um die Steigung der Tangente an der Stelle zu ermitteln, setzt du in die Ableitung ein und erhältst so
Schritt 3: Da du die y-Koordinate des Betrachtungspunkts noch nicht kennst, musst du diesen erst berechnen und setzt dafür 
in die Funktion f ein
Damit haben wir die Koordinaten des Berührpunkts 
.
Schritt 4: Nun kannst du die Tangente berechnen, indem du alle Bausteine in die Tangentengleichung einsetzt.
Waagrechte Tangente
Eine besondere Art der Tangente ist die, die ihren Berührpunkt mit der Funktion an einem Extrempunkt
oder Sattelpunkt
hat. Da bei diesen Punkten die Eigenschaft 
gilt, besitzen sie eine waagerechte Tangente, also eine Tangente mit der Steigung null.
Damit lautet die Tangentengleichung an einem Extrempunkt oder Sattelpunkt
Beispiel
Betrachte zum Beispiel die Funktion 
. Sie hat einen Extrempunkt am Punkt 
. Mit der Steigung 
lässt sich die Tangente berechnen.
Wendetangente
Eine weitere Art der Tangente ist die Wendetangente
, die ihren Berührpunkt an einem Wendepunkt
hat. Die allgemeine Tangentengleichung der Wendetangente lautet
Beispiel
Die Funktion
besitzt den Wendepunkt 
und hat an der Stelle 
die Steigung 
. Somit kannst du am Punkt W die Tangente berechnen.
Taylorreihe Tangentengleichung
Die Taylorreihe
wird genutzt um Funktionen bestmöglich zu approximieren. Dabei stellt die Taylorreihe mit zwei Summanden die Tangente an der Stelle dar.
Steigung einer Tangente in Grad
Manchmal wird nach dem Winkel gefragt, den die Tangente mit der x-Achse einspannt. Dabei wird die inverse Tangensfunktion
verwendet, um die Steigung der Funktion an der Stelle x in Grad umzurechnen. Es gilt also
Steigung in Grad 
Herleitung der Tangente
Wenn man eine Sekante mit den Schnittpunkten 
und 
betrachtet, so lässt sich die Steigung der Sekante mit dem Differenzenquotient
wie folgt darstellen.
Lässt du nun h immer kleiner werden, so nähert sich die Sekante immer weiter der Tangente an und du erhältst mit dem Differentialquotient
die Steigung der Tangente an der Stelle x.
Tangente berechnen: Aufgaben
Schauen wir uns zum Schluss noch ein paar Aufgaben zu diesem Thema an.
Aufgabe 1: Tangente berechnen mit vorgegebener Steigung
Bestimme für die Funktion
alle Tangenten mit der Steigung 1.
Lösung Aufgabe 1
Zunächst berechnest du die erste Ableitung
Jetzt möchtest du wissen, an welchen Stellen die erste Ableitung den Wert 1 annimmt. Dafür setzt du 
gleich 1
und berechnest mithilfe der pq Formel die Nullstellen
und 
Damit hast du schon mal die x-Koordinaten der Berührpunkte. Jetzt fehlen noch die y-Koordinaten. Dafür setzt du die x-Werte in die Funktion f ein
Nun kennst du alle Bausteine der Tangentengleichung und kannst somit die Tangente berechnen.
Aufgabe 2: Tangentengleichung bestimmen
Bestimme für die Funktion
die Tangentengleichung an der Stelle 
Lösung Aufgabe 2
Zunächst benötigst du die erste Ableitung
um die Steigung der Tangente an der Stelle 
zu bestimmen. Dazu setzt du 
in ein
Da du die y-Koordinate 
des Berührpunkts noch nicht hast, setzt du nun in die Funktion f ein
Jetzt hast du alle Bausteine damit du die Tangente berechnen kannst. Setze dafür einfach 
und 
in die Tangentengleichung ein und du erhältst
