Tangente

Wenn du wissen möchtest, wie du die Tangente einer Funktion berechnest, dann bist du hier genau richtig. Wir erklären dir Schritt für Schritt, wie du die Geradengleichung einer Tangente berechnen kannst.

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Tangente einfach erklärt  

Betrachtest du eine Funktion f an der Stelle , so ist eine Tangente eine Gerade, die die gleiche Steigung und den gleichen Funktionswert wie die Funktion f an der Stelle hat. Also eine Gerade, die die Funktion f an der Stelle nicht schneidet, sondern nur berührt.

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Was ist eine Tangente?  

Eine Tangente ist eine lineare Funktion  , die die Funktion f an einem Punkt berührt. Dadurch, dass die Tangente die Funktion f an diesem Punkt nicht schneidet, sondern nur berührt, ist die Steigung der Tangente und die Steigung des Funktionsgraphen von f am Berührpunkt gleich. Deshalb musst du für die Ermittlung der Steigung der Tangente die x-Koordinate der Betrachtungsstelle in die erste Ableitung einsetzen.

Zur Bestimmung der Tangentengleichung verwendest du die Punktsteigungsform der Geradengleichung.

Tangente berechnen: Schritt-für-Schritt Anleitung  

Schauen wir uns mal an, wie du die Tangente einer Funktion am Punkt berechnen kannst.

Schritt 1: Berechne die erste Ableitung .

Schritt 2: Setze den Wert in ein und ermittle so die Steigung der Tangente.

Schritt 3: Falls die y-Koordinate noch nicht bekannt ist, setzt du in die Funktion f ein.

Schritt 4: Jetzt setzt du die Koordinaten des Berührpunkts und die Steigung in die Punktsteigungsform ein

und kannst so die gesuchte Tangente berechnen.

Beispiel  

Schauen wir uns dazu ein Beispiel an. Wir möchten für die Funktion

an der Stelle die Tangente berechnen.

Schritt 1: Als erstes berechnest du mithilfe der Potenz- und Faktorregel die erste Ableitung

Schritt 2: Um die Steigung der Tangente an der Stelle zu ermitteln, setzt du in die Ableitung ein und erhältst so

Schritt 3:  Da du die y-Koordinate des Betrachtungspunkts noch nicht kennst, musst du diesen erst berechnen und setzt dafür in die Funktion f ein

Damit haben wir die Koordinaten des Berührpunkts .

Schritt 4: Nun kannst du die Tangente berechnen, indem du alle Bausteine in die Tangentengleichung einsetzt.

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Waagrechte Tangente  

Eine besondere Art der Tangente ist die, die ihren Berührpunkt mit der Funktion an einem Extrempunkt  oder Sattelpunkt  hat. Da bei diesen Punkten die Eigenschaft gilt, besitzen sie eine waagerechte Tangente, also eine Tangente mit der Steigung null.

Damit lautet die Tangentengleichung an einem Extrempunkt oder Sattelpunkt

Beispiel

Betrachte zum Beispiel die Funktion . Sie hat einen Extrempunkt am Punkt . Mit der Steigung lässt sich die Tangente berechnen.

Wendetangente  

Eine weitere Art der Tangente ist die Wendetangente , die ihren Berührpunkt an einem Wendepunkt hat. Die allgemeine Tangentengleichung der Wendetangente lautet

 

Beispiel

Die Funktion

besitzt den Wendepunkt und hat an der Stelle die Steigung . Somit kannst du am Punkt W die Tangente berechnen.

Taylorreihe Tangentengleichung

Die Taylorreihe wird genutzt um Funktionen bestmöglich zu approximieren. Dabei stellt die Taylorreihe mit zwei Summanden die Tangente an der Stelle dar.

Steigung einer Tangente in Grad

Manchmal wird nach dem Winkel gefragt, den die Tangente  mit der x-Achse einspannt. Dabei wird die inverse Tangensfunktion   verwendet, um die Steigung der Funktion an der Stelle x in Grad umzurechnen. Es gilt also

Steigung in Grad

Herleitung der Tangente

Wenn man eine Sekante mit den Schnittpunkten und betrachtet, so lässt sich die Steigung der Sekante mit dem Differenzenquotient wie folgt darstellen.

Lässt du nun h immer kleiner werden, so nähert sich die Sekante immer weiter der Tangente an und du erhältst mit dem Differentialquotient 

die Steigung der Tangente an der Stelle x.

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Tangente berechnen: Aufgaben

Schauen wir uns zum Schluss noch ein paar Aufgaben zu diesem Thema an.

Aufgabe 1: Tangente berechnen mit vorgegebener Steigung

Bestimme für die Funktion 

alle Tangenten mit der Steigung 1.

Lösung Aufgabe 1

Zunächst berechnest du die erste Ableitung 

Jetzt möchtest du wissen, an welchen Stellen die erste Ableitung den Wert 1 annimmt. Dafür setzt du gleich 1 

und berechnest mithilfe der pq Formel die Nullstellen

und

Damit hast du schon mal die x-Koordinaten der Berührpunkte. Jetzt fehlen noch die y-Koordinaten. Dafür setzt du die x-Werte in die Funktion f ein

Nun kennst du alle Bausteine der Tangentengleichung und kannst somit die Tangente berechnen.

Aufgabe 2: Tangentengleichung bestimmen

Bestimme für die Funktion

die Tangentengleichung an der Stelle

Lösung Aufgabe 2

Zunächst benötigst du die erste Ableitung

um die Steigung der Tangente an der Stelle  zu bestimmen. Dazu setzt du in ein

Da du die y-Koordinate des Berührpunkts noch nicht hast, setzt du nun in die Funktion f ein

Jetzt hast du alle Bausteine damit du die Tangente berechnen kannst. Setze dafür einfach und in die Tangentengleichung ein und du erhältst