Analysis

Definitheit

Definitheit und insbesondere, herauszufinden wann eine Matrix positiv definit ist, ist sowohl in der Physik als auch in der Mathematik sehr wichtig. Deswegen erklären wir dir die verschiedenen Möglichkeiten zur Bestimmung  ausführlich anhand von Matrizen.

Du möchtest ohne große Anstrengung direkt sehen, wann eine Matrix positiv definit ist? Schau dir dazu einfach unser Video %Link zum Video an!

Inhaltsübersicht

Definitheit von Matrizen einfach erklärt

Ist eine Matrix positiv definit, so kannst du daran verschiedene Aussagen der Physik oder der Mathematik ableiten. Ein Beispiel sind die Extremwertaufgaben . Ist die Hesse-Matrix einer Funktion f  an einem kritischen Punkt positiv definit, so hat f in diesem Punkt ein lokales Minimum.

Sei x \in \mathbb{R}^n ein n-zeiliger Spaltenvektor und x^T der zugehörige transponierte Zeilenvektor. Eine quadratische Matrix A \in \mathbb{R}^{n\times n} heißt

positiv definit,                          falls x^TAx > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}^n, x \neq 0

positiv semidefinit,                 falls x^TAx \geq 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}^n, x \neq 0

negativ definit,                        falls x^TAx < 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}^n, x \neq 0

negativ semidefinit,               falls x^TAx \leq 0  \quad \forall x \in \mathbb{R}^n, x \neq 0.

Ist die Matrix weder positiv noch negativ (semi-)definit, so heißt sie indefinit.

Allgemein definiert man Definitheit nicht nur für Matrizen, sondern für symmetrische Bilinearformen

\langle \cdot,\cdot \rangle : V \times V \rightarrow \mathbb{R}.

Da jede reelle Matrix aber als solche auf \mathbb{R}^n aufgefasst werden kann, reicht es uns, die Kriterien hier nur für Matrizen darzustellen. (In \mathbb{C}^n klappt das analog, wenn du hermitesche Matrizen betrachtest und anstelle des transponierten x^T von x das transponiert-konjungierte x^*= \overline{x}^T verwendest.)

Jetzt weißt du zwar, was es bedeutet, wenn eine Matrix als positiv definit, negativ definit oder indefinit bezeichnet wird. Wie man die Definitheit konkret bestimmt, zeigen wir dir im nächsten Abschnitt.

Kriterien zur Bestimmung der Definitheit

Um zu bestimmen, ob eine Matrix positiv definit, negativ definit, semidefinit oder gar indefinit ist, gibt es verschiedene Möglichkeiten. Hier stellen wir dir alle Kriterien zur Bestimmung der Definitheit mit jeweils einem kurzen Beispiel vor.

Eigenwerte

Ob eine Matrix A \in \mathbb{R}^{n \times n} positiv definit ist, kannst du direkt an ihren Eigenwerten  \lambda_i, i = 1, \ldots, n} ablesen, denn es gilt:

alle  \lambda_i > 0  \quad \quad\Longleftrightarrow \quad\quad A ist positiv definit,

alle  \lambda_i \geq 0 \quad \quad \Longleftrightarrow \quad \quad A ist positiv semidefinit,

alle  \lambda_i < 0 \quad \quad \Longleftrightarrow\quad \quad A  ist negativ definit,

alle  \lambda_i \leq 0\quad \quad \Longleftrightarrow \quad \quad A ist negativ semidefinit.

Hat A sowohl positive als auch negative Eigenwerte, so ist die Matrix indefinit.

  • Beispiel 1: Definitheit bestimmen über Eigenwerte

Die Matrix A = \left( \begin{matrix} 1 & 4 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix} \right) hat die drei Eigenwerte \lambda_1 = 1, \lambda_2 = 2 und \lambda_3 = 3. Da alle Eigenwerte größer Null sind, ist die Matrix positiv definit.

Hauptminoren

Wenn du nur die Hauptminoren betrachtest, musst du nicht alle Eigenwerte explizit berechnen.  Die führenden Hauptminoren \Delta_1, \ldots, \Delta_n einer n×n-Matrix sind dabei die Determinanten %Video verlinken, wenn vorhanden der Untermatrizen, die dadurch entstehen, dass man sukzessive die letzte Zeile und Spalte der Matrix streicht.

Für die Definitheit der Matrix A bedeutet das

alle \Delta_i > 0 \quad \quad \Longleftrightarrow \quad \quad A ist positiv definit

alle \Delta_{2i} > 0 und alle \Delta_{2i+1} < 0 \quad \quad \Longleftrightarrow \quad \quad A ist negativ definit,

wobei \Delta_{2i} die geraden führenden Hauptminoren bezeichnen und \Delta_{2i+1} die ungeraden.

Bemerkung: Um dieses Kriterium auf semidefinite Matrizen zu verallgemeinern, musst du alle Hauptminoren berücksichtigen, nicht nur die führenden.

  • Beispiel 2: Definitheit bestimmen über Hauptminoren

Die drei führenden Hauptminoren der Matrix  A = \left( \begin{matrix} -1 & 0 & 3 \\ 3 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{matrix} \right) sind die Determinanten der Untermatrizen

A_3 = \left( \begin{matrix} -1 & 0 & 0 \\ 3 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{matrix} \right), A_2 = \left( \begin{matrix} -1 & 0  \\ 3 & -2   \end{matrix} \right) und A_1 = \left(-1\right), d.h.

\Delta_1 = \det(A_1) = -1, \quad \Delta_2 = \det(A_2) = 2, \quad \Delta_3 =  \det(A_3) = -2.

Die Matrix ist somit negativ definit. %Habe das Beispiel hier auch noch abgeändert, dass zumindest einmal auch negativ definit auftaucht.

Cholesky Zerlegung

Ist A eine symmetrische Matrix, so können wir über die Cholesky-Zerlegung sehr einfach zeigen, ob A positiv definit ist. Eine Matriv A ist genau dann positiv definit, wenn es eine obere Dreiecksmatrix D gibt, sodass A = D^TD. %Verlinken, wenn Video kommt

  • Beispiel 3: Definitheit bestimmen mittels Cholesky-Zerlegung

Finden wir die Cholesky-Zerlegung der symmetrischen Matrix A = \left( \begin{matrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c&e&f \end{matrix} \right), so ist sie positiv definit.

Sei dazu die obere Dreiecksmatrix D = \left( \begin{matrix} d_{11} & d_{12} & d_{13} \\ 0 & d_{22} & d_{23} \\ 0 & 0 & d_{33} \end{matrix}\right) und D^T = \left( \begin{matrix} d_{11} & 0 & 0 \\ d_{12} & d_{22} & 0 \\ d_{13} & d_{23} & d_{33} \end{matrix}\right) die Transponierte von D.

Existiert eine Cholesky-Zerlegung von A, muss also gelten

D^TD = A,

\left( \begin{matrix} d_{11}^2 & d_{11} d_{12} & d_{11} d_{13} \\ d_{12}d_{11} & d_{22}^2 + d_{12}^2 & d_{12}d_{13} + d_{22}d_{23} \\ d_{13}d_{11} & d_{13}d_{12}+d_{22}d_{23} & d_{33}^2 + d_{23}^2+d_{13}^2 \end{matrix}\right) = \left( \begin{matrix} a & b & c \\ b & d & e \\ c&e&f \end{matrix} \right) .

Ein konkretes Beispiel hierfür wäreA =  \left( \begin{matrix} 4 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 4 \\ 0&4&5 \end{matrix} \right) mit dem zugehörigen D = \left( \begin{matrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0&0&1 \end{matrix} \right) und D^T = \left( \begin{matrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0&2&1 \end{matrix} \right).

Gaußsches Eliminationsverfahren

Eine Matrix A \in \mathbb{R}^{n \times n} ist genau dann positiv definit, wenn du sie mithilfe des Gaußschen Eliminationsverfahren ohne Zeilenvertauschungen und mit n positiven Pivot-Elementen auf Zeilenstufenform bringen kannst.

Diagonaldominante Matrizen

Sind alle Diagonaleinträge einer symmetrischen Matrix A positiv und ist A zusätzlich streng diagonal dominant, so ist A positiv definit. Diagonal dominant bedeutet, dass die Diagonalelemente der Matrix betragsmäßig größer sind als die Summe der Beträge der restlichen Einträge dieser Zeile. D.h. für alle i  \in \{1, \ldots, n\} muss gelten:

\sum \limits_{i=1, i \neq k}^n  \left|a_{ki}\right| < \left|a_{kk}\right|.

  • Beispiel 4: Definitheit für diagonaldominante Matrizen

Die Matrix A = \left( \begin{matrix} 3 & 1 & 1 \\ 1&4&2\\1&2&5 \end{matrix}\right) ist streng diagonaldominant, da  3>1+1  und  4>1+2  und  5>1+2. Sie ist somit positiv definit. Du kannst dies gerne z.B. über die Eigenwerte verifizieren.

Achtung: Die Umkehrung dieser Aussage gilt nicht! Das kannst du dir leicht am Beispiel A = \left( \begin{matrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{matrix} \right) überlegen.

Symmetrischer Anteil von Matrizen

Ist die Matrix A (nicht) symmetrisch, reicht es für Definitheit, ihren symmetrischen Teil zu untersuchen. A ist genau dann positiv / negativ (semi-)definit, wenn ihr symmetrischer Anteil A_s = \frac{1}{2}\left( A + A^T \right) positiv / negativ (semi-)definit ist.

  • Beispiel 5: Definitheit über Symmetrie

Die Matrix A = \left( \begin{matrix}4& 1\\3&6\end{matrix}\right) ist positiv definit, da ihr symmetrischer Teil

A_s = \frac{1}{2}\left(A+A^T\right) = \left( \begin{matrix}4& 2\\2&6\end{matrix}\right)

positiv definit ist. Dies wiederum lässt sich leicht z.B. mithilfe der Cholesky-Zerlegung zeigen.

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