Analysis

Differentialrechnung

In diesem Artikel gehen wir auf alle wichtigen Begriffe zur Differentialrechnung ein. Dabei klären wir die Zusammenhänge zwischen den einzelnen Themen und verschaffen dir so einen guten Gesamtüberblick zur Differentialrechnung.

Du hättest gern alle wichtigen Themen zur Differentialrechnung kurz und kompakt zusammengefasst? Dann schau dir einfach unser Video  zur Differentialrechnung an. Dort erklären wir dir anschaulich alle Zusammenhänge.

Inhaltsübersicht

Differentialrechnung einfach erklärt

Die Differentialrechnung ist ein mathematisches Themengebiet aus dem Bereich der Analysis und beschäftigt sich mit den Änderungsraten von Funktionen. Im Mittelpunkt steht dabei die Ableitung .

Die Ableitung einer Funktion an einer Stelle entspricht geometrisch gesehen der dortigen Tangentensteigung. Diese kannst du anhand des Differentialquotienten bestimmen. Bei der Tangente handelt es sich dabei um den Graph der Linearisierung an dieser Stelle.

Differenzenquotient

Bevor wir auf den Begriff des Differentialquotienten weiter eingehen, betrachten wir zunächst einmal den Differenzenquotient

Differenzenquotient

Der Differenzenquotient 

\frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0} 

beschreibt die Steigung der Sekante durch den Punkt P(x_0,f(x_0)) und Q(x_1, f(x_1)).

Sekante Steigung Differentialrechnung
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Differenzenquotient

 

Diese bestimmst du mit Hilfe des Steigungsdreiecks unterhalb der Sekante. Das heißt du rechnest die Höhe des Dreiecks geteilt durch seine Länge und erhältst so die obige Formel. 

Als nächstes sehen wir uns den bereits erwähnten zentralen Begriff der Differentialrechnung, den Differentialquotienten, an.  

Differentialquotient

Für den Differentialquotient  betrachtest du den Grenzwert des Differenzenquotienten für x_1 \to x_0. 

Differentialquotient

Der Differentialquotient

\lim \limits_{x_1 \to x_0} \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1-x_0}

beschreibt die Steigung der Tangente an der Stelle x_0.

Was bei dieser Grenzwertbetrachtung passiert ist folgendes:

Sekante Tangente Differentialrechnung
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Differentialquotient: Von der Sekante zur Tangente

 

x_1 bewegt sich auf x_0 zu. Dadurch nähert sich auch der Funktionswert f(x_1) dem Wert f(x_0). Insgesamt wird also der Punkt Q entlang dem Funktionsgraphen von f in Richtung P geschoben. Die Punkte P und Q bleiben dabei die ganze Zeit über eine Gerade verbunden. Wenn schließlich der Abstand zwischen x_1 und x_0 gegen null geht, entspricht die Sekante durch P und Q der Tangente an der Stelle x_0 und du hast somit über den Differenzenquotient ihre Steigung berechnet. 

Im Folgenden betrachten wir einen Begriff, der sehr häufig in der Differentialrechnung verwendet wird. 

h Methode

Eine andere Interpretation des Differentialquotienten – jedoch mit dem gleichen Ergebnis – ist die h Methode .

h Methode

Die h Methode

\lim \limits_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

beschreibt die Steigung der Tangente an der Stelle x_0.

Du kannst das im Abschnitt Differentialquotient beschriebene Vorgehen auch so auffassen, dass, wenn x_1 auf x_0 zu läuft, sich der Abstand zwischen x_0 und x_1 immer mehr verringert. In diesem Fall betrachtest du nicht mehr den Grenzwert für x_1 \to x_0, sondern du lässt den Abstand 

h=x_1-x_0 

gegen Null laufen, also h \to 0. Dementsprechend ersetzt du nun in der Formel für den Differentialquotienten x_1-x_0 durch h und f(x_1) durch f(x_0+h). Das Ergebnis ist die h Methode.  

Auch der folgende Begriff der Differentialrechnung beruht auf dem Differentialquotienten. 

Differenzierbarkeit

Angenommen du hast eine Funktion f(x) und eine Stelle x_0 gegeben.

f heißt differenzierbar in x_0, wenn der Grenzwert  

\lim \limits_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

existiert. 

In diesem Fall kannst du den Differentialquotient an der Stelle x_0 berechnen. Das Ergebnis ist dann f'(x_0), also die Ableitung von f an der Stelle x_0. 

Ableitungsfunktion und Ableitungsregeln

Wenn eine Funktion f(x) an jeder Stelle x ihres Definitionsbereichs differenzierbar ist, besitzt sie eine Ableitungsfunktion f'(x).

Die Ableitungsfunktion f'(x) ordnet jeder Stelle x den Wert des Differentialquotienten an dieser Stelle zu.

Allerdings wäre es sehr aufwändig, wenn du jedes mal den Differentialquotient bestimmen müsstest, wenn du die Ableitung an einer Stelle wissen möchtest. 

Stattdessen gibt es in der Differentialrechnung Ableitungsregeln , die dir direkt die Ableitungsfunktion f'(x) liefern. Wenn du dann die Ableitung an einer bestimmten Stelle x_0 wissen möchtest, musst du lediglich x_0 in den Funktionsterm von f'(x) einsetzen. 

Es gibt folgende wichtige Ableitungsregeln: 

Ableitungsregel Funktion Ableitung
Potenzregel f(x)=x^n f'(x)=n\cdot x^{n-1}
Faktorregel f(x)=a\cdot g(x) f'(x)=a \cdot g'(x)
Summenregel f(x)=g(x)+h(x) f'(x)=g'(x)+h'(x)
Differenzregel f(x)=g(x)-h(x) f'(x)=g'(x)-h'(x)
Produktregel f(x)=g(x)\cdot h(x) f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)
Quotientenregel f(x)=\frac{g(x)}{h(x)} f'(x)=\frac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{[h(x)]^2}
Kettenregel f(x)=g(h(x)) f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)

Zudem gibt es noch bestimmte Funktionen, deren Ableitungen du unbedingt kennen solltest. Wir behandeln dabei jede Funktion in einem extra Artikel und zeigen dir viele Beispiele. Schau dir dazu die folgenden Artikel und Videos an:

Höhere Ableitungen

Wenn du eine Funktion öfter als nur einmal ableitest, spricht man von einer höheren Ableitung

Angenommen du hast eine Funktion f(x) und berechnest mit den eben erwähnten Ableitungsregeln die Ableitungsfunktion f'(x). Wenn f'(x) differenzierbar ist, kannst du auch f'(x) nochmals ableiten. Das Ergebnis ist die zweite Ableitung f''(x). Solange die Ableitungsfunktion differenzierbar ist, kannst du sie beliebig oft ableiten. Sieh dir zum Beispiel die Funktion 

f(x)=x^3+2x^2+4

an. Diese Funktion kannst du beliebig oft ableiten: 

f'(x)=3x^2+4x

f''(x)=6x+4

f^{(3)}(x)=6

f^{(4)}(x)=0

f^{(5)}(x)=0

\vdots

Wie du siehst, schreibt man bei höheren Ableitungen in den Exponent von f die Zahl der Ableitung in eine Klammer. In diesem Beispiel erhältst du ab der vierten Ableitung immer die Nullfunktion, wenn du erneut ableitest. 

Solche unendlich oft differenzierbare Funktionen werden in der Differentialrechnung glatt genannt. 

Extremwertaufgaben

Vielleicht fragst du dich wozu du die Differentialrechnung, insbesondere die Ableitung und höhere Ableitungen benötigst? 

Eine Antwort darauf sind Extremwertaufgaben. Das heißt Aufgaben, in denen du Hochpunkte und Tiefpunkte oder eventuell Terrassenpunkte bestimmen sollst. 

Häufig führst du für Aufgaben dieser Art eine sogenannte Kurvendiskussion%Verweis durch. Mit den daraus gewonnenen Informationen kannst du den Verlauf des Funktionsgraphen skizzieren und erhältst so Informationen über die gesuchten Extremwerte. 

Funktion Ableitung Hochpunkt Tiefpunkt Terrassenpunkt
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Funktion und Ableitung

 

Ableitungen finden natürlich nicht nur im Rahmen von Extremwertaufgaben ihre Anwendung, sondern spielen auch in den folgenden zwei zentralen Sätzen der Differentialrechnung eine zentrale Rolle. 

Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Der Mittelwertsatz zählt zu den wichtigsten Sätzen der Differentialrechnung.

Angenommen du betrachtest eine stetige Funktion f(x) auf einem abgeschlossenen Intervall [a,b], welche auf (a,b) differenzierbar ist.

Mittelwertsatz

Dann gibt es eine Stelle x_0 \in [a,b], die eine Ableitung  

f'(x_0)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}

besitzt. 

Das heißt es gibt eine Stelle x_0, an der die Tangente die selbe Steigung besitzt, wie die Sekante durch die Punkte A(a, f(a)) und B(b,f(b)).

Tangente Sekante Mittelwertsatz
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Mittelwertsatz

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) 

Die Differentialrechnung ist eng verwandt mit der Integralrechnung , wie auch der folgende Hauptsatz der Differentialrechnung verdeutlicht. 

Angenommen du hast eine auf einem Intervall I \subseteq \mathbb{R} stetige Funktion f(x) und einen beliebigen Punkt a \in [a,b] gegeben. 

Dann ist die Funktion

F(x)=\int \limits_{a}^{x} f(t) dt

auf I differenzierbar und für ihre Ableitung gilt F'(x)=f(x).

Man nennt in der Differentialrechnung F eine Stammfunktion von f. 

Damit ergibt sich die bekannte Formel zum Berechnen bestimmter Integrale , nämlich: 

\int \limits_{a}^{b} f(t) dt= F(b)-F(a).

Im Folgenden werden wir uns ansehen, wie in der Differentialrechnung mit mehrdimensionalen Funktionen umgegangen wird.  

Partielle Ableitungen

Bisher haben wir nur eindimensionale reellwertige Funktionen betrachtet, also solche die von einem Intervall I in die reellen Zahlen \mathbb{R} abbilden. Das heißt die Funktion hing nur von einer Variable x ab.

Jetzt sehen wir uns Funktionen an, die von einer Teilmenge des \mathbb{R}^n nach \mathbb{R} abbilden. Das heißt Funktionen, die von mehreren Variablen x_1, ..., x_n abhängen. Sei also 

f:U\to \mathbb{R}, \quad U\subseteq \mathbb{R}^n 

eine solche Funktion. Wie leitest du f(x_1, ..., x_n) nun ab? 

Du kannst die partiellen Ableitungen von f(x) bilden. In so einem Fall nimmst du eine Variable x_i, und leitest dann deine Funktion nach dieser Variablen ab. Alle anderen n-1 Variablen behandelst du wie Konstanten.

Das Ergebnis ist die i-te partielle Ableitung von f:

\frac{\partial f}{\partial x_i} (x_1, ..., x_n).

Sie gibt dir die lokale Änderungsrate entlang der i-ten Koordinatenachse an. Für eine geometrische Anschauung sieh dir den extra Artikel zu den partiellen Ableitungen an. 

Damit klarer wird, wie du diese Ableitungen bestimmst, rechnen wir ein Beispiel. Gegeben ist die Funktion 

f(x_1, x_2, x_3)= 2x_1+4x_2^3-5x_3 \cdot x_1.

Du bestimmst nun all ihre partiellen Ableitungen

\frac{\partial f}{\partial x_1}= 2-5x_3

\frac{\partial f}{\partial x_2}= 12x_2^2

\frac{\partial f}{\partial x_3}= -5x_1.

Diese berechnest du mit den üblichen Ableitungsregeln  der Differentialrechnung. 

Nun kannst du deine Ergebnisse noch als Spaltenvektor, den sogenannten Gradienten von f,  festhalten: 

\nabla f(x) = \left(\begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x_1} \\[0.5em] \frac{\partial f}{\partial x_2}\\[0.5em] \frac{\partial f}{\partial x_3}\end{array}\right)= \left(\begin{array}{c} 2-5x_3 \\[0.5em] 12x_2^2\\[0.5em] -5x_1\end{array}\right).

Dieser Vektor zeigt in die Richtung des größten Anstiegs der Funktion f an der Stelle x.

Die partiellen Ableitungen sind ein Spezialfall des nun folgenden Ableitungsbegriffs der Differentialrechnung. 

Richtungsableitungen

Wir bleiben bei Funktionen, die von mehreren Variablen abhängen und betrachten deren Richtungsableitungen

Also angenommen du hast erneut eine reellwertige Funktion 

f:U\to \mathbb{R}, \quad U\subseteq \mathbb{R}^n 

und dazu noch eine Richtung, nämlich den Vektor v \in \mathbb{R}^n, ||v||=1 mit Länge eins, gegeben.

Richtungsableitung

Dann lautet die Richtungsableitung von f an der Stelle x

D_v f(x)=\lim \limits_{h \to 0} \frac{f(x+h\cdot v)-f(x)}{h}.

Diese Richtungsableitung D_v f(x) gibt die lokale Änderungsrate bei einer Bewegung in Richtung v im Punkt P(x,f(x)) an.  

Wählst du also als v einen Einheitsvektor e_i, dann erhältst du die lokale Änderungsrate entlang einer Koordinatenrichtung, also die partielle Ableitung

Schließlich sehen wir uns noch einen letzten Begriff der Differentialrechnung an, nämlich die totale Differenzierbarkeit

Totale Differenzierbarkeit

Bis hierhin haben wir nur Funktionen betrachtet, die in den eindimensionalen reellen Raum, also \mathbb{R}, abbilden. Jetzt sehen wir uns auch Funktionen an, die nicht nur von mehreren Variablen abhängen, sondern auch noch in den mehrdimensionalen reellen Raum \mathbb{R}^m abbilden. 

Wir betrachten also eine Funktion der Form: 

f:U\to \mathbb{R}^m, \quad U\subseteq \mathbb{R}^n. 

f ist an der Stelle x total differenzierbar, wenn es eine lineare Abbildung A:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m gibt, sodass 

\lim \limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)-A(h)}{||h||}=0 

gilt.

Die lineare Abbildung A kann als m \times n- Matrix dargestellt werden. Die Ableitung von f wird in der Differentialrechnung Jacobi-Matrix genannt und entspricht in diesem Fall der totalen Ableitung

Angenommen du hast eine total differenzierbare Funktion f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R} gegeben. Dann kannst du ihr sogenanntes totales Differential :

df=\sum \limits_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i} dx_i

berechnen. Dieser Begriff der Differentialrechnung verrät dir, wie sich die Funktion bei kleinen Abweichungen in den Variablen verändert. 

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