Extremwerte berechnen

Extremwerte berechnen — einfach erklärt

Eine Funktion sieht oft ein bisschen aus wie ein Gebirge. Da gibt es Gipfel — sogenannte Hochpunkte (HP) — und Täler. Das sind die Tiefpunkte (TP). 

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Wenn du solche Funktionen untersuchen sollst (Kurvendiskussion ), begegnen dir oft die drei Begriffe Extrempunkt, Extremstelle und Extremwert. Sie haben etwas unterschiedliche Bedeutungen: 

• Extrempunkte sind die Hochpunkte (HP) und Tiefpunkte (TP) einer Funktion. Sie bestehen jeweils aus einer x-Koordinate und einer y-Koordinate: TP(x_T|y_T),  HP(x_H|y_H)
• Die x-Koordinaten x_T, x_H der Extrempunkte nennst du Extremstellen.
• Die y-Koordinaten y_T, y_H bezeichnest du als Extremwerte.

Aber wie kannst du nun solche Extremstellen und die zugehörigen Extremwerte berechnen? Schau dafür gleich mal in unser Video rein! Dort bekommst du das Vorgehen Schritt für Schritt erklärt!

Extremstellen und Extremwerte berechnen — Vorgehen

Willst von einer Funktion f die Extremstellen und die Extremwerte berechnen, kannst du dich an folgenden Schritten orientieren: 

1. f zweimal ableiten : f‘, f“
2. Nullstellen der 1. Ableitung berechnen:  f'(x) = 0
   Die x-Werte, die du herausbekommst, sind dann mögliche Kandidaten für Extremstellen x_E
3. Nullstellen aus Schritt 2 in die 2. Ableitung f“ einsetzen.
   Dabei gilt:
   • f“(x_E) < 0 → Hochpunkt
   • f“(x_E) > 0 → Tiefpunkt
   • f“(x_E) = 0 → möglicherweise Sattelpunkt
4. Extremwerte y_E berechnen. Setze dafür die Extremstellen x_E aus Schritt 3 in die Funktion f ein:  y_E = f(x_E) 
5. Extrempunkte (EP) angeben : EP(x_E|y_E)

Schau dir das gleich mal an einem Beispiel an!

Extremwerte berechnen — Beispiel

Deine Aufgabe ist es, die Extremwerte der Funktion f(x) = -x³ + 3x² + 3 zu berechnen. Halte dich dabei einfach an die Schritt-für-Schritt-Anleitung: 

1. f zweimal ableiten: 
   • f'(x) = -3x² + 6x
   • f“(x) = -6x + 6
     
     
2. Nullstellen der 1. Ableitung berechnen: -3x² + 6x = 0 
   Um diese quadratische Gleichung zu lösen , kannst du zum Beispiel die Mitternachtsformel verwenden.
   
   

      

   
   Die Kandidaten für unsere Extremstellen sind also x₁ = 0 und x₂ = 2. Die überprüfst du nun mit der 2. Ableitung.
   
   
3. Nullstellen x₁ = 0 und x₂ = 2 aus Schritt 2 in die 2. Ableitung f“(x) = -6x + 6 einsetzen: 
   • f“(0)= -6 · 0 + 6 = 6 > 0 → Tiefpunkt
   • f“(2) = -6 · 2 + 6 = -6 < 0 → Hochpunkt
     
     
4. Extremwerte berechnen: Extremstellen x₁ = 0 und x₂ = 2 in f(x) = -x³ + 3x² + 3  einsetzen:
   • y_T = f(0) = –0³ + 3 · 0² + 3 = 3
   • y_H = f(2) = –2³ + 3 · 2² + 3 = 7
     
     
5. Extrempunkte angeben: 
   • TP(0|3)
   • HP(2|7)

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Tipp: Um die Nullstellen in Schritt 2 zu berechnen, gibt es neben der Mitternachtsformel noch weitere Möglichkeiten, wie die pq-Formel , den Satz von Vieta oder den Satz vom Nullprodukt . In manchen Fällen bist du damit sogar schneller als mit der Mitternachtsformel. Im Beispiel wäre etwa der Satz vom Nullprodukt eine geschickte Abkürzung:
-3x² + 6x = 0 ⇔ x · (-3x + 6) = 0 ⇔ x= 0 oder (-3x + 6) = 0 also: x₁ = 0 und x₂ = 2.

Extremwerte berechnen — Die wichtigsten Fragen

• Was ist ein Extremwert?
  Ein Extremwert ist die y-Koordinate eines Hochpunkts (Maximum) oder Tiefpunkts (Minimum) einer Funktion. Er ist zu unterscheiden von der Extremstelle (x-Koordinate) und dem Extrempunkt (x- und y-Koordinate zusammen).
  
  
• Wie berechnet man Extremwerte?
  Die Extremwerte einer Funktion f berechnest du in folgenden fünf Schritten:
  1. Leite die Funktion einmal ab.
  2. Setze die Ableitung gleich 0 und löse nach x auf.
  3. Berechne die zweite Ableitung.
  4. Setze die x-Werte in die zweite Ableitung ein, um Hochpunkte, Tiefpunkte und Sattelpunkte zu unterscheiden.
  5. Du kannst nun die Extremwerte berechnen, indem du die x-Werte in die Funktion f einsetzt.
     
     
• Was brauchst du, um Extremwerte zu berechnen?
  Um Extremwerte zu berechnen, brauchst du die erste und zweite Ableitung der Funktion. Beim Ableiten helfen dir die Ableitungsregeln. Auch deine Fähigkeiten im Gleichungen lösen sind hier gefragt, um die x-Werte herauszubekommen, die du dann in die Funktion f einsetzen kannst. 

Ableitungsregeln

Spitze! Jetzt weißt du, wie du vorgehst, um Extremwerte zu berechnen. Aber wie ging das nochmal mit dem Ableiten? Wenn du einen Überblick über die wichtigsten Ableitungsregeln bekommen willst, ist dieses Video genau das Richtige für dich!