Normale

In diesem Beitrag erklären wir dir, was eine Normale ist und wie du sie berechnest.

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Inhaltsübersicht

Normale einfach erklärt
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Was ist eine Normale?
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Normale berechnen: Schritt-für-Schritt Anleitung
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Normale berechnen Aufgaben
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Normale einfach erklärt

Stell dir vor, du hast an einem Punkt einer Funktion eine Tangente und drehst sie jetzt an diesem Punkt um 90°. Die Gerade die dadurch entsteht, wird als Normale bezeichnet und steht senkrecht zur Tangente. Das heißt, dass zwischen den beiden Geraden ein rechter Winkel besteht.

Normale, Normalengleichung — Normale einer Funktion

Was ist eine Normale?

Die Normale ist eine lineare Funktion , die senkrecht zur Tangente steht, das heißt, dass der Winkel, den die beiden Funktionen einspannen, 90° beträgt.

Da du die Normale erhältst, indem du die Tangente am Berührpunkt $(x_0 \vert y_0)$ um 90° drehst, entspricht die Steigung der Normale

$m = -\frac{1}{f'(x_0)}.$

Zur Bestimmung der Normalengleichung verwendest du die Punktsteigungsform der Geradengleichung:

Allgemeine Normalengleichung

$y_N (x) = -\frac{1}{f^{\prime}(x_0)} \cdot (x - x_0) + y_0$

Wobei $(x_0 \vert y_0)$ die Koordinaten der Betrachtungsstelle sind.

Normale berechnen: Schritt-für-Schritt Anleitung

Nun folgt eine ausführliche Schritt-für-Schritt Anleitung zur Berechnung einer Normalengleichung.

Hast du eine Funktion f und eine Stelle x_0 gegeben und sollst nun eine Normale an der Stelle x_0 bestimmen, dann gehst du wie folgt vor:

Schritt 1: Berechne die erste Ableitung $f^{\prime}(x)$ .

Schritt 2: Setze x_0 in die erste Ableitung ein, um so die Steigung der Funktion an der Stelle x_0 zu berechnen.

Schritt 3: Falls die y-Koordinate noch nicht bekannt ist, setzt du x_0 in die Funktion f ein.

Schritt 4: Jetzt setzt du die Koordinaten der Betrachtungsstelle $(x_0 \vert y_0)$ und die Steigung $f^{\prime}(x_0)$ in die Normalengleichung ein

$y_N (x) = -\frac{1}{f^{\prime}(x_0)} \cdot (x - x_0) + y_0$

und du erhältst die gesuchte Normale.

Beispiel 1: Lineare Funktionen

Wir wollen für die lineare Funktion

f(x) = 4x +1

die Normale an der Stelle x_0 = 1 bestimmen.

Schritt 1: Zunächst benötigst du die erste Ableitung der Funktion f

$f^{\prime}(x) = 4.$

Schritt 2: Nun willst du die Steigung an der Stelle x_0=1 wissen. Dazu setzt du x_0 = 1 in $f^{\prime}$ ein

$f^{\prime}(1) = 4.$

Schritt 3: Da die y-Koordinate des Betrachtungspunkts noch nicht bekannt ist, setzt du dafür x_0 in die Funktion f ein

$f(1) = 4 \cdot 1 + 1 = 5.$

Schritt 4: Jetzt, da du alles Wichtige hast, kannst du die Werte in die Normalengleichung einsetzen

$y_N(x) = -\frac{1}{4} \cdot (x - 1) + 5$

$= -\frac{1}{4}x + \frac{21}{4}$

Beispiel 2: Polynomfunktionen

Schauen wir uns jetzt eine Polynomfunktion höheren Grades an. Dazu sei die Funktion

$f(x) = -\frac{5}{8}x^3 +\frac{9}{4}x^2$

gegeben. Wir wollen die Normale an der Stelle x_0 = 2 berechnen.

Schritt 1: Mithilfe der Potenz- und Faktorregel berechnest du die Ableitung

$f^{\prime}(x) = -\frac{15}{8}x^2 + \frac{9}{2}x.$

Schritt 2: Nun benötigst du den Wert der Ableitung an der Stelle x_0 = 2 . Dafür setzt du x_0 einfach in $f^{\prime}(x)$ ein und erhältst somit

$f^{\prime}(2) = -\frac{15}{8} \cdot 2^2 + \frac{9}{2} \cdot 2 = \frac{3}{2}.$

Schritt 3: Jetzt fehlt nur noch die y-Koordinate der Betrachtungsstelle. Diese erhältst du indem du x_0 in die Funktion f einsetzt

$f(2) = -\frac{5}{8} \cdot 2^3 +\frac{9}{4} \cdot 2^2 = 4.$

Schritt 4: Zum Schluss setzt du alle Werte in die Normalengleichung und erhältst somit die Normale

$y_N (x) = -\frac{1}{\frac{3}{2}} \cdot (x - 2) +4$

$= -\frac{2}{3}x + \frac{16}{3}.$

Normale berechnen Aufgaben

Zum Üben findest du nun im Folgenden zwei Aufgaben mit Lösungen.

Aufgabe 1: Normale einer quadratischen Funktion

Berechne die Normalengleichung an der Stelle x_0 = 0 der quadratischen Funktion

f(x) = x^2-x+2.

Lösung: Aufgabe 1

Um erst einmal die Steigung an der Stelle x_0 zu berechnen, brauchst du die erste Ableitung

$f^{\prime}(x) = 2x -1.$

Nun kannst du x_0 = 0 in $f^{\prime}(x)$ einsetzen und erhältst somit

$f^{\prime}(0) = 2 \cdot 0 -1 = -1.$

Um noch die fehlende Koordinate y_0 zu berechnen, setzt du einfach x_0 in die Funktion f ein

f(0) = 0^2-0+2 = 2.

Somit hast du nun alles, was du für die Normale brauchst. Das heißt, du setzt x_0 , y_0 und $f^{\prime}(x_0)$ in die allgemeine Normalengleichung ein

$y_N(x) = -\frac{1}{-1} \cdot (x - 0) + 2$

= x + 2.

Aufgabe 2: Normale einer Polynomfunktion vom Grad 4

Berechne die Normalengleichung an der Stelle x_0 = -1 der Polynomfunktion

$f(x) = x^4+ \frac{1}{3}x^3-x^2+3.$

Lösung: Aufgabe 2

Berechne zuerst die erste Ableitung von f

$f^{\prime}(x) = 4x^3+x^2-2x,$

damit du die Steigung an der Stelle x_0 bekommst, indem du x_0 = -1 in $f^{\prime}$ einsetzt

$f^{\prime}(-1) = 4 \cdot (-1)^3+ (-1)^2-2 \cdot (-1) = -1.$

Setze jetzt einfach x_0 in die Funktion f ein, um die noch fehlende y-Koordinate zu erhalten

$f(-1) = (-1)^4+ \frac{1}{3} \cdot (-1)^3- (-1)^2+3 = \frac{8}{3}.$

Somit hast du nun alles, was du zur Berechnung der Normalengleichung brauchst. Mit x_0=-1 , $y_0=\frac{8}{3}$ und $f^{\prime}(x_0)=-1$ erhältst du die Normale

$y_N(x) = -\frac{1}{-1} \cdot (x - (-1)) + \frac{8}{3}$

$= x + \frac{11}{3}.$

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