Normale

Normale einfach erklärt  

Stell dir vor, du hast an einem Punkt einer Funktion eine Tangente und drehst sie jetzt an diesem Punkt um 90°. Die Gerade die dadurch entsteht, wird als Normale bezeichnet und steht senkrecht zur Tangente. Das heißt, dass zwischen den beiden Geraden ein rechter Winkel besteht.

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Was ist eine Normale?  

Die Normale ist eine lineare Funktion , die senkrecht zur Tangente steht, das heißt, dass der Winkel, den die beiden Funktionen einspannen, 90° beträgt.

Da du die Normale erhältst, indem du die Tangente am Berührpunkt um 90° drehst, entspricht die Steigung der Normale 

Zur Bestimmung der Normalengleichung verwendest du die Punktsteigungsform der Geradengleichung:

Normale berechnen: Schritt-für-Schritt Anleitung  

Nun folgt eine ausführliche Schritt-für-Schritt Anleitung zur Berechnung einer Normalengleichung.

Hast du eine Funktion f und eine Stelle gegeben und sollst nun eine Normale an der Stelle bestimmen, dann gehst du wie folgt vor:

Schritt 1:  Berechne die erste Ableitung .

Schritt 2: Setze in die erste Ableitung ein, um so die Steigung der Funktion an der Stelle zu berechnen.

Schritt 3: Falls die y-Koordinate noch nicht bekannt ist, setzt du in die Funktion f ein.

Schritt 4: Jetzt setzt du die Koordinaten der Betrachtungsstelle und die Steigung in die Normalengleichung ein

und du erhältst die gesuchte Normale.

Beispiel 1: Lineare Funktionen

Wir wollen für die lineare Funktion

die Normale an der Stelle  bestimmen.

Schritt 1: Zunächst benötigst du die erste Ableitung der Funktion f

Schritt 2: Nun willst du die Steigung an der Stelle  wissen. Dazu setzt du in ein

Schritt 3: Da die y-Koordinate des Betrachtungspunkts noch nicht bekannt ist, setzt du dafür in die Funktion f ein

Schritt 4:  Jetzt, da du alles Wichtige hast, kannst du die Werte in die Normalengleichung einsetzen

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Beispiel 2: Polynomfunktionen  

Schauen wir uns jetzt eine Polynomfunktion höheren Grades an. Dazu sei die Funktion 

gegeben. Wir wollen die Normale an der Stelle berechnen.

Schritt 1: Mithilfe der Potenz- und Faktorregel berechnest du die Ableitung 

Schritt 2: Nun benötigst du den Wert der Ableitung an der Stelle . Dafür setzt du einfach in ein und erhältst somit

Schritt 3: Jetzt fehlt nur noch die y-Koordinate der Betrachtungsstelle. Diese erhältst du indem du in die Funktion f einsetzt

Schritt 4: Zum Schluss setzt du alle Werte in die Normalengleichung und erhältst somit die Normale

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Normale berechnen Aufgaben

Zum Üben findest du nun im Folgenden zwei Aufgaben mit Lösungen.

Aufgabe 1: Normale einer quadratischen Funktion

Berechne die Normalengleichung an der Stelle der quadratischen Funktion 

Lösung: Aufgabe 1

Um erst einmal die Steigung an der Stelle zu berechnen, brauchst du die erste Ableitung

Nun kannst du in einsetzen und erhältst somit

Um noch die fehlende Koordinate zu berechnen, setzt du einfach in die Funktion f ein

Somit hast du nun alles, was du für die Normale brauchst. Das heißt, du setzt , und in die allgemeine Normalengleichung ein

Aufgabe 2: Normale einer Polynomfunktion vom Grad 4

Berechne die Normalengleichung an der Stelle der Polynomfunktion 

Lösung: Aufgabe 2

Berechne zuerst die erste Ableitung von f

damit du die Steigung an der Stelle bekommst, indem du in einsetzt

Setze jetzt einfach in die Funktion f ein, um die noch fehlende y-Koordinate zu erhalten

Somit hast du nun alles, was du zur Berechnung der Normalengleichung brauchst. Mit , und erhältst du die Normale