Analysis

Uneigentliche Integrale

In diesem Artikel erklären wir dir, was uneigentliche Integrale sind und zeigen dir anhand einer Reihe von Aufgaben, wie du sie berechnen kannst.

Du möchtest wissen, wie man uneigentliche Integrale berechnet, aber hast nur wenig Zeit? Dann schau dir unser Video  dazu an. Hier wird dir alles Wichtige in kürzester Zeit erklärt.

Inhaltsübersicht

Uneigentliche Integrale einfach erklärt

Es gibt zwei Arten uneigentlicher Integrale \int\limits_{a}^{b} f(x) dx:

  • Erster Art: Die Integrationsgrenzen sind unbeschränkt. Das heißt a und/oder b sind gleich -\infty oder \infty.
  • Zweiter Art: f(x) ist an den Integrationsgrenzen nicht definiert. Das heißt f(a) und/oder f(b) ist nicht definiert.

Generell sind also uneigentliche Integrale, solche mit kritischen Werten in den Grenzen.

Uneigentliche Integrale berechnen

Ein uneigentliches Integral mit nur einer kritischen Grenze b kann folgendermaßen berechnet werden:

1.) Ersetze die kritische Grenze b durch eine Variable \beta:

\int \limits_{a}^{\beta} f(x)dx.

2.) Berechne das Integral in Abhängigkeit von \beta :

A(\beta) :=\int \limits_{a}^{\beta} f(x)dx = \left[F(x)\right]_{a}^{\beta}

      mit F(x) als Stammfunktion von f(x).

3.) Bestimme, falls vorhanden, den Grenzwert \lim \limits_{\beta \to b} A(\beta).

Analog kann auch das uneigentliche Integral mit a als kritische Grenze berechnet werden, indem sie durch eine Variable \alpha ersetzt wird. Das heißt, berechne

A(\alpha) = \int \limits_{\alpha}^{b} f(x)dx

und anschließend den Grenzwert

\lim \limits_{\alpha \to a} A(\alpha),

falls A(\alpha) für \alpha \to a konvergiert.

Für ein uneigentliches Integral mit zwei kritischen Grenzen a und b muss dieses in zwei Integrale mit jeweils einer kritischen Grenze aufgeteilt werden:

\int\limits_{a}^{b} f(x) dx = \int \limits_{a}^{c} f(x)dx + \int \limits_{c}^{b} f(x)dx,

wobei a<c<b gilt.

Dann berechnen wir das erste uneigentliche Integral mit a als kritischer Grenze, sowie das zweite mit b als kritischer Grenze entsprechend dem obigen Verfahren. Anschließend werden die Ergebnisse addiert.

Uneigentliche Integrale Aufgaben

Damit das Vorgehen klarer wird, wollen wir im Folgenden einige uneigentliche Integrale lösen.

Aufgabe 1

Überprüfe, ob das uneigentliche Integral

\int \limits_{1/2}^{\infty} e^{-2x+1}dx

einen endlichen Wert besitzt.

Lösung: 

Es handelt sich hier um ein uneigentliches Integral erster Art. Wir gehen im Folgenden die drei Schritte zur Berechnung durch.

1.) Die obere Integralgrenze \infty wird durch eine Variable \beta ersetzt:

\int \limits_{1/2}^{\beta} e^{-2x+1}dx.

2.) Berechne das Integral in Abhängigkeit von \beta:

A(\beta):=\int \limits_{1/2}^{\beta} e^{-2x+1}dx

= \left[-\frac{1}{2} e^{-2x+1}\right]_{1/2}^{\beta}

= -\frac{1}{2}e^{-2\beta+1}+\frac{1}{2}.

3.) Bilde den Grenzwert für \beta \to \infty:

\lim \limits_{\beta \to \infty} A(\beta) = \lim \limits_{\beta \to \infty} \left(-\frac{1}{2}e^{-2\beta+1}+\frac{1}{2} \right)= \frac{1}{2}

Der Grenzwert ergibt sich, da \lim \limits_{\beta \to \infty} e^{-2\beta +1} = 0 gilt.

Damit erhalten wir als Lösung:

\int \limits_{1/2}^{\infty} e^{-2x+1}dx = \frac{1}{2}.

Aufgabe 2 

Überprüfe, ob das uneigentliche Integral

\int \limits_{0}^{\infty} \frac{2x}{x^2+1}dx

einen endlichen Wert besitzt.

Lösung: 

Es ist ein uneigentliches Integral erster Art.

1.) Ersetze \infty durch eine Variable \beta:

\int \limits_{0}^{\beta} \frac{2x}{x^2+1}dx.

2.) Wir berechnen das Integral in Abhängigkeit von \beta. Da im Zähler des Bruchs die Ableitung des Nenners steht, erhalten wir den Logarithmus \ln(x^2+1) als Stammfunktion:

A(\beta):=\int \limits_{0}^{\beta} \frac{2x}{x^2+1}dx

=\left[\ln(x^2+1)\right]\limits_{0}^{\beta}

=\ln(\beta^2+1)-\ln(1)

=\ln(\beta^2+1).

3.) Nun müssen wir den Limes bilden

\lim \limits_{\beta \to \infty} A(\beta) .

Jedoch konvergiert A(\beta) in diesem Fall nicht

\lim \limits_{\beta \to \infty} A(\beta) =\lim \limits_{\beta \to \infty} \ln(\beta^2+1)=\infty,

da

\ln(\beta^2+1) \xrightarrow{\beta \to \infty} \infty.

Das uneigentliche Integral hat keinen endlichen Wert.

Dieses Beispiel zeigt, dass man mit der Anschauung der endlichen Fläche vorsichtig sein muss. Denn die Skizze lässt vermuten, dass die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse endlich ist. Tatsächlich ist dies jedoch nicht der Fall, wie die Berechnung zeigt.

Aufgabe 3

Überprüfe, ob das uneigentliche Integral

\int \limits_{0}^{4} \frac{1}{2x^2}dx

einen endlichen Wert besitzt.

Lösung: 

Es handelt sich hierbei um ein uneigentliches Integral zweiter Art. Denn die zu integrierende Funktion ist für x=0 nicht definiert.

1.) Ersetze daher die untere Integrationsgrenze durch eine Variable \alpha:

\int \limits_{\alpha}^{4} \frac{1}{2x^2}dx.

2.) Berechne das Integral in Abhängigkeit von \alpha:

A(\alpha) :=\int \limits_{\alpha}^{4} \frac{1}{2x^2}dx

= \left[-\frac{1}{2x}\right] \limits_{\alpha}^{4}

= - \frac{1}{8}+ \frac{1}{2\alpha}.

3.) Bestimme nun den Grenzwert

\lim \limits_{\alpha \to 0} A(\alpha) = \lim \limits_{\alpha \to 0} \left(- \frac{1}{8}+ \frac{1}{2\alpha}\right) = \infty .

Allerdings konvergiert hier A(\alpha) gegen keinen endlichen Wert, da

\frac{1}{2\alpha} \xrightarrow{\alpha \to 0} \infty

gilt. Deshalb besitzt das uneigentliche Integral keinen endlichen Wert als Lösung.

Aufgabe 4

Überprüfe, ob das uneigentliche Integral

\int \limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} dx

einen endlichen Wert besitzt.

Lösung: 

Das ist ein uneigentliches Integral erster Art mit zwei kritischen Integralgrenzen. In diesem Fall muss das Integral in zwei Integrale mit jeweils einer kritischen Grenze aufgeteilt werden:

\int \limits_{-\infty}^{0}\frac{1}{1+x^2} dx + \int \limits_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} dx.

Wir beginnen damit, das erste uneigentliche Integral

\int \limits_{-\infty}^{0}\frac{1}{1+x^2} dx

zu bestimmen.

1.) Ersetze die kritische Intervallgrenze -\infty durch eine Variable \alpha:

\int \limits_{\alpha}^{0}\frac{1}{1+x^2} dx.

2.) Bestimme das Integral in Abhängigkeit von \alpha:

A(\alpha) := \int \limits_{\alpha}^{0}\frac{1}{1+x^2} dx

= \left[ \arctan(x)\right]_{\alpha}^{0}

= \arctan(0) - \arctan(\alpha)

= -\arctan(\alpha).

3.) Bestimme den Grenzwert für \alpha \to -\infty:

\lim \limits_{\alpha \to -\infty} A(\alpha)=\lim \limits_{\alpha \to -\infty} -\arctan(\alpha) = \frac{\pi}{2}.

Das bedeutet für das erste uneigentliche Integral gilt:

\int \limits_{-\infty}^{0}\frac{1}{1+x^2} dx = \frac{\pi}{2}.

Nun müssen wir noch den Wert des zweiten uneigentlichen Integrals

 \int \limits_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} dx

bestimmen.

1.) Ersetze die kritische Intervallgrenze \infty durch die Variable \beta:

\int \limits_{0}^{\beta} \frac{1}{1+x^2} dx.

2.) Bestimme das Integral in Abhängigkeit von \beta:

A(\beta) :=\int \limits_{0}^{\beta} \frac{1}{1+x^2} dx

= \left[ \arctan(x)\right]_{0}^{\beta}

= \arctan(\beta).

3.) Bestimme den Grenzwert für \beta \to \infty:

\lim \limits_{\beta \to \infty} A(\beta)=\lim \limits_{\beta \to \infty}  \arctan(\beta) = \frac{\pi}{2}.

Damit gilt:

 \int \limits_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} dx = \frac{\pi}{2}.

Schließlich addieren wir die Ergebnisse, um den Wert des gesuchten uneigentlichen Integrals zu erhalten:

\int \limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} dx =\underbrace{\int \limits_{-\infty}^{0}\frac{1}{1+x^2} dx}_{\frac{\pi}{2}} + \underbrace{\int \limits_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} dx}_{\frac{\pi}{2}}= \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = \pi.


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