Mechanik: Dynamik

Raketengleichung

Inhaltsübersicht

Die Raketengleichung spiegelt die Bewegungsgleichung einer sonst kräftefreien Rakete wider. Sie beschleunigt durch einen kontinuierlichen Ausstoß des Treibstoffs und unterliegt keinem Luftwiderstand. Willst du wissen wie die Gleichung hergeleitet wird und Berechnungen dazu gemacht werden? Dann schau dir doch unser Video dazu an.

Impuls und Impulserhaltungssatz

Am Anfang wird kurz das Wichtigste zu den Themen Impuls und Impulserhaltungssatz zusammengefasst. Falls du genaueres zu dem Impulserhaltung wissen willst, ist hier der dazugehörige Artikel verlinkt. Der Impuls \vec{p} ist eine vektorielle Größe, die sich durch die Masse m und die Geschwindigkeit \vec{v} eines Körpers beschreiben lässt.

\vec{p} = m \cdot \vec{v}

Die Einheit für die Formel ist Newton mal Sekunde [Ns]. Impulserhaltung hingegen bedeutet, dass in einem kräftefreien abgeschlossenen System der Gesamtimpuls konstant bleibt. Also ist der Impuls vor einer Wechselwirkung gleich dem Impuls nach dieser. Außerdem ist der Zusammenhang mit der Kraft durch die zeitliche Ableitung des Impulses gegeben.

\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} = \frac{d(m \cdot \vec{v})}{dt}

Raketengrundgleichung

Die Raketengleichung ist eine Bewegungsgleichung einer idealisierten Rakete. Dabei werden kein Luftwiderstand, keine Gravitation und ein kontinuierlicher Ausstoß des Treibstoffes angenommen. Also ist die Rakete frei von äußeren Kräften und der Impulserhaltungssatz kann angewandt werden. Aus diesem kann dann die Raketengleichung hergeleitet werden.

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Impulserhaltungssatz anwenden

Raketengleichung Herleitung

Die Herleitung funktioniert über die Impulserhaltung der Rakete. Der gesamte Impuls für die Rakete setzt sich aus der Rakete selbst plus den Impuls, der durch den Ausstoß des Treibstoffes zustande kommt, zusammen. Durch den Ausstoß verändert sich die Masse der Rakete und es kommt daher zu einer Impulsänderung über die Zeit.

\frac{d\vec{p}}{dt} = \frac{d(m\cdot \vec{v})}{dt} = m \cdot \dot{\vec{v}} + \dot{m} \cdot \vec{v}

Die Masse verändert sich also mit der Zeit durch den Austritt des Treibstoffes. Der Ausstoß geschieht mit einer bestimmten Geschwindigkeit, der Austrittgeschwindigkeit oder auch Ausströmgeschwindigkeit. Diese Geschwindigkeit muss negativ sein, da sie entgegen der Bewegungsrichtung der Rakete verläuft. So kann festgehalten werden:

\dot{m} \cdot \vec{v} = -\vec{v_A} \cdot \dot{m}

Da ein kräftemäßig abgeschlossenes System betrachtet wird, muss aufgrund des Impulserhaltungssatzes die Veränderung des Gesamtimpulses über die Zeit null sein. So lässt sich schreiben:

\frac{d\vec{p}}{dt} = m \cdot \dot{\vec{v}} + (-\vec{v_A} \cdot \dot{m}) = 0

m \cdot \dot{\vec{v}} = -\vec{v_A} \cdot \dot{m}

Das ist eine Differentialgleichung 1. Ordnung, da Variablen und deren erste Ableitung in einer Gleichung vorkommen. Solche Gleichungen werden durch eine Trennung der Variablen und einer Integration gelöst. Zuerst wird aber noch die Bewegungsgleichung mit dt multipliziert.

m \cdot \frac{d\vec{v}}{dt} = -\vec{v_A} \cdot \frac{dm}{dt}

m \cdot d\vec{v} = -\vec{v_A} \cdot dm

Danach kommt die Trennung der Variablen:

\frac{dm}{m} = -\frac{d\vec{v}}{\vec{v_A}}

Jetzt wird die Gleichung integriert:

\int\frac{dm}{m}\ =\ \int{-\frac{d\vec{v}}{\vec{v_A}}}

Um eine Integration durchzuführen müssen die Integrationsgrenzen bestimmt werden. Für die Masse gilt, dass die Rakete eine Anfangs- m_0 und eine Endmasse m_E hat. Am Anfang ist sie mit Treibstoff beladen und am Ende ist dieser ausgestoßen und kann nicht mehr zum Gewicht der Rakete hinzugerechnet werden. Ebenfalls gibt es eine Anfangs- v_0 und Endgeschwindigkeit v_E. Im nächsten Schritt wird die Konstante aus der Integration gezogen und es ergeben sich die folgenden Integrale.

\int_{m_0}^{m_E}{\frac{1}{m}\ dm}\ =\ -\ \frac{1}{\vec{v_A}}\int_{v_0}^{v_E}dv

Mit den jeweiligen Stammfunktionen:

\left[ln\left(m\right)\right]\begin{matrix}m_E\\m_0\\\end{matrix} = -\frac{1}{\vec{v_A}}\cdot\left[v\right]\begin{matrix}v_E\\v_0\\\end{matrix}

Dies aufgelöst und umgeschrieben ergibt:

ln(\frac{m_E}{m_0})\ =\ -\frac{1}{\vec{v_A}}\ \cdot\ (\vec{v_E}\ -\ \vec{v_0})

Die Raketengleichung der idealisierten Rakete lautet nun:

-\vec{v_A} \cdot \ln(\frac{m_E}{m_0}) = (\vec{v_E} - \vec{v_0})

So kann aus einem Massenverhältnis die Endgeschwindigkeit der Rakete bestimmt werden, wenn die Anfangsgeschwindigkeit und die Ausströmungsgeschwindigkeit zusätzlich bekannt sind. Am Schluss kann noch das Erdschwerefeld mitberücksichtigt werden. Dabei wird der abgeleitete Impuls mit der Schwerkraft gleichgesetzt, da die Ableitung des Impulses eine Kraft ist. Hier lautet die Bewegungsgleichung:

\frac{d\vec{p}}{dt} = m \cdot \dot{\vec{v}} + \dot{m} \cdot \vec{v} = m \cdot g = \vec{F}

Diese Differentialgleichung wieder durch Variablentrennung, Integration und Umstellung aufgelöst, ergibt die Raketengleichung mit der Berücksichtigung des Schwerefeldes:

- \vec{v_A} \cdot ln(\frac{m_E}{m_0}) = \vec{v_E} + g \cdot T - \vec{v_0}

Die Variable g gibt dabei den Ortsfaktor und T die Zeit der Brenndauer wieder. Die Formel ist allerdings ungeeignet für genaue Berechnungen, da sich beispielsweise g mit der zunehmenden Höhe der Rakete verändert.

Geschwindigkeit Rakete

Als Beispiel wird die Endgeschwindigkeit einer Rakete mit Hilfe der Raketengleichung berechnet.

- \vec{v_A} \cdot ln(\frac{m_E}{m_0}) = (\vec{v_E} - \vec{v_0})

Die Rakete fliegt bereits im All und wiegt 50 t Tonnen. Zusätzlich hat sie noch Treibstoff mit der Masse von 80t an Bord. Da sich der Flugkörper schon im All befindet, hat er eine Anfangsgeschwindigkeit von 180\frac{m}{s} Meter pro Sekunde. Während des Fluges stößt die Rakete den Treibstoff mit einer konstanten Geschwindigkeit von 20\frac{m}{s} aus. Wird die obere Gleichung nach der Endgeschwindigkeit \vec{v_E} umgestellt, so erhalten wir:

\vec{v_E} = - \vec{v_A} \cdot ln(\frac{m_E}{m_0}) + \vec{v_0}

Die Werte eingesetzt ergeben:

\vec{v_E} = -20\frac{m}{s} \cdot ln(\frac{50000kg}{50000kg + 80000kg}) + 180\frac{m}{s} = 199,11\frac{m}{s}

So hat die Rakete nachdem der Treibstoff aufgebraucht wurde eine Geschwindigkeit von 199,11\frac{m}{s}.


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