Mechanik: Dynamik

Mechanik: Dynamik I
Der Impuls II

Was genau ist der Impuls in der Mechanik? Das erklären wir diesem Beitrag!

Berechnung des Impulses üben

Am Anfang fassen wir noch einmal kurz zusammen worum es beim Impuls überhaupt geht: Dieser bildet sich durch das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit:

\vec{p}=m\vec{v}

Weiterhin gilt der sogenannte Impulssatz. Dieser besagt, dass die zeitliche Änderung, und damit die zeitliche Ableitung, der am Massenpunkt angreifende Kraft entspricht:

\vec{F}=\frac{d\vec{p}}{dt}=\frac{d(m\vec{v})}{dt}

Der Impulssatz gilt auch für Körper, die wir uns in der Mechanik ja als ein System aus unendlich vielen Massenpunkten vorstellen. So kann daraus der Schwerpunktsatz gebildet werden. Dieser besagt, dass die im Schwerpunkt angreifende resultierende Kraft R gleich der Änderung des Impulses bezüglich des Schwerpunkts p S ist:

\vec{R}=\frac{d\vec{p_S}}{dt}=\frac{d\left(m{\vec{v}}_S\right)}{dt}

Beispiel Rakete

Nachdem wir die Grundlagen noch einmal aufgefrischt haben, betrachten wir als Beispiel eine Rakete, die im All fliegt. Wir wollen nun herausfinden, wie hoch die Geschwindigkeit v der Rakete ist, wenn der gesamte Treibstoff ausgestoßen wurde. Da wir uns im All befinden, haben wir kein Erdschwerefeld, und somit keine äußere angreifende Kraft. Folglich ist der Impuls nach dem Impulssatz konstant, da dessen Änderung Null ist. Wir verwenden also den Impulserhaltungssatz.

Impulserhaltungssatz anwenden
Impulserhaltungssatz anwenden

Die Rakete selbst hat die Masse M ist 50 Tonnen. Zusätzlich hat diese noch Treibstoff mit der Masse m a ist gleich 80 Tonnen an Bord. Da die Rakete bereits gestartet ist, fliegt sie zu Beginn des betrachteten Zeitraums schon mit der Geschwindigkeit v0 ist 180 Meter pro Sekunde. Während des Fluges stößt die Rakete den Treibstoff mit einer konstanten Geschwindigkeit von 20 Meter pro Sekunde aus.
Wir beginnen damit, dass wir die Masse m zu Beginn berechnen:

M_0=M+m_a=130t=130000Kg

Als nächstes wollen wir nur den Ausstoß des Treibstoffes betrachten: Dieser wird mit v_A ausgestoßen, sodass wir die absolute Geschwindigkeit des Treibstoffes zu v_0 minus v_A bestimmen können. Nachdem wir die Gegebenheiten betrachtet haben, bilden wir nun den Impuls zu Beginn der Betrachtung und nachdem ein infinitesimales Treibstoffelement ausgestoßen wurde:

m\vec{v}=\left(m-dm_a\right)\left(\vec{v}+d\vec{v}\right)+dm_a(\vec{v}-{\vec{v}}_a)

Die Raketengleichung

Doch woher kommt diese Gleichung jetzt? Der linke Teil der Gleichung ist der Impuls, bevor die Rakete den Treibstoff ausstößt. Im rechten Teil haben wir die Rakete, die um die Masse dma leichter, aber auch um dv schneller wird. Da wir vorher aber die gesamte Masse betrachtet haben, müssen wir das jetzt auch machen. Wir schauen uns also zusätzlich den Impuls des Masseteilchens an. Dieser ergibt sich aus seiner Masse und der vorher bestimmen Absolutgeschwindigkeit.
Wichtig ist, dass wir die Änderung zwischen zwei Zeitpunkten betrachten. Das heißt m mal v muss nicht der Impuls der Rakete vor dem Ausstoß von Treibstoff sein, sondern kann ein Zeitpunkt sein, kurz nachdem ein Partikel ausgestoßen wurde. Dementsprechend sind sowohl v als auch m hier nicht konstant.

Jetzt müssen wir noch die Klammern auflösen und erhalten:

m\vec{v}=m\vec{v}-dm_a\vec{v}+md\vec{v}-dm_ad\vec{v}+dm_a\vec{v}-dm_a{\vec{v}}_a

Geschwindigkeit berechnen
Geschwindigkeit berechnen

Wir sehen nun, dass sich das m v0 auf der linken mit dem auf der rechten Seite aufhebt. Auch dma v können wir wegkürzen. Weiterhin können wir dma dv vernachlässigen, da wir ein Produkt aus zwei infinitesimalen Betrachtungen haben. Dieses wird damit noch einmal deutlich kleiner. Wenn wir dma auf die andere Seite bringen, ergibt sich dann:

dm_a{\vec{v}}_a=md\vec{v}

Nachdem wir nun eine vergleichsweise einfache Formel haben, müssen wir noch den Zusammenhang zwischen dma und der gesamten Masse der Rakete herstellen. Wie du dir denken kannst, entspricht die Zunahme der ausgeströmten Masse dma genau der Abnahme der gesamten Masse dm. Wir erhalten also:

dm=-dm_a

Geschwindigkeit berechnen

Als letztes müssen wir nur noch nach den Variablen trennen und integrieren. Variablen trennen heißt, dass Geschwindigkeiten auf die eine Seite der Gleichung und Massen auf die andere Seite gebracht werden. Dabei müssen wir beachten, dass m nicht konstant ist. Daraus ergibt sich:

\frac{1}{{\vec{v}}_a}\int_{\vec{v_0}}^{\vec{v}}{d\vec{v}}=-\int_{m_0}^{M}\frac{dm}{m}

Jetzt lösen wir das Integral auf und multiplizieren V_a auf die andere Seite. Dann erhalten wir:

\vec{v}-\vec{v_0}=-{\vec{v}}_a\ln{\left(\frac{M}{m_0}\right)}={\vec{v}}_a\ln{\left(\frac{m_0}{M}\right)}

Jetzt müssen wir nur noch v_0 auf die andere Seite bringen. So erhalten wir die Geschwindigkeit, wenn der gesamte Treibstoff ausgestoßen wurde:

\vec{v}=\vec{v_0}+{\vec{v}}_a\ln{\left(\frac{m_0}{M}\right)}=180\frac{m}{s}+20\frac{m}{s}\ln{\left(\frac{130000kg}{50000kg}\right)}=199,11\frac{m}{s}

So, mit diesem Beispiel hast du gesehen, dass man den Impuls Schritt für Schritt einfach errechnen kann. Jetzt kannst du beruhigt in den Kinoabend mit deinen Freunden starten. Bis bald!

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