Gradient berechnen
Funktionen in der mehrdimensionalen Analysis können von verschiedenster Form sein. Funktionen, die aus dem in den abbilden, werden als Vektorfeld bezeichnet. Bilden sie hingegen von dem in die Menge der reellen Zahlen ab, heißen sie Skalarfeld. Für ein solches Skalarfeld ist der Gradient in der Mathematik definiert.
Inhaltsübersicht
Definition: Gradient
Sei eine offene Menge und die Funktion partiell differenzierbar. Dann ist der Gradient von an der Stelle der folgende Vektor:
Schreibweise – Nabla-Operator
Häufig wird der Gradient einer Funktion auch mithilfe des Nabla-Operators notiert. Der Nabla-Operator ist folgendermaßen definiert:
Wird der Nabla-Operator auf eine Funktion angewandt, so ergibt das den Gradienten der Funktion:
Häufig wird demzufolge der Gradient von an der Stelle auch als Nabla f von bezeichnet.
Gradient und Totale Ableitung
Zunächst einmal fällt auf, dass der Gradient der Funktion als Spaltenvektor dieselben Einträge besitzt wie die totale Ableitung (bzw. die Jacobi-Matrix von . Diese ist allerdings streng genommen ein Zeilenvektor und so ist der Gradient gerade Transponierte der totalen Ableitung :
Gradientenvektor als Richtung des stärksten Anstiegs
Der Gradient der Funktion an der Stelle gibt außerdem die Richtung an, in welche der Funktionswert von ausgehend vom Punkt am stärksten ansteigt.
Dies lässt sich mithilfe des Zusammenhangs zwischen Gradienten und den Richtungsableitungen zeigen, welcher im Folgenden erläutert werden soll.
Gradient und Richtungsableitungen
Die Richtungsableitung der Funktion an der Stelle in die Richtung mit ist definiert als:
Es lässt sich folgender Zusammenhang zwischen Gradienten und den Richtungsableitungen zeigen:
Ist die Funktion stetig differenzierbar, so gilt für alle und jeden Vektor mit :
Die Richtungsableitung von an der Stelle in Richtung lässt sich also als Skalarprodukt von und dem Gradienten von an der Stelle berechnen.
Um die Richtung zu erhalten, in die die Ableitung am größten ist, muss also dieses Skalarprodukt maximal sein. Das ist genau dann der Fall, wenn parallel zum Gradienten ist. Das bedeutet gerade, dass der Gradient in die Richtung des maximalen Anstiegs zeigt.
Beispiel 1 – Gradient berechnen
Wie die Berechnung des Gradienten einer Funktion konkret aussieht, soll anhand der Funktion
gezeigt werden. Der Gradient soll hierbei allgemein an der Stelle bestimmt werden. Für die Einträge des Gradienten müssen also die partiellen Ableitungen der Funktion an dieser Stelle berechnet werden. Diese lauten wie folgt:
Das bedeutet, dass der Gradient folgendermaßen aussieht:
Anhand dieses Beispiels soll nochmal die Bedeutung des Gradienten verdeutlicht werden. Der Graph der betrachteten Funktion kann nämlich als dreidimensional Hügellandschaft interpretiert werden.
Hier wird ein Graph der Funktion (blau) mit Veranschaulichung des Gradientenvektors (rot) an der Stelle gezeigt.
Wird dann der Gradient beispielsweise an der Stelle betrachtet, so gilt:
Das bedeutet, dass vom Ursprung ausgehend die Hügellandschaft in Richtung des Vektors am stärksten ansteigt.
Beispiel 2 – Gradient berechnen
Nun soll ein weiteres Beispiel aus der Praxis betrachtet werden. Es soll das elektrische Potential im Inneren eines Plattenkondensators betrachtet werden. Die beiden Platten sollen dabei die Fläche besitzen un die eine Platte in der -Ebene liegen, während die andere in -Richtung dazu verschoben ist. Außerdem soll der Kondensator die Ladung tragen. Für das elektrische Potential im Inneren der Platten gilt dann:
Der Gradient berechnet sich zu:
Das bedeutet, dass das elektrische Potential des Plattenkondensators in -Richtung am stärksten ansteigt. Da die elektrische Feldstärke der negative Gradient des elektrischen Potentials ist, zeigt dieses im betrachteten Plattenkondensator in negative -Richtung.