Jacobi-Matrix
Die Jacobi-Matrix (oder Jacobimatrix aber nicht Jakobi-Matrix) ist nach dem deutschen Mathematiker Carl Gustav Jacob Jacobi benannt und ist von großer Bedeutung für die Differentialrechnung im Mehrdimensionalen. Man bezeichnet sie auch als Funktionalmatrix oder Ableitungsmatrix.
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Inhaltsübersicht
Definition: Jacobi-Matrix bzw. Funktionalmatrix
Sei offen und f eine Funktion von folgender Form:
Existieren alle partiellen Ableitungen der Komponentenfunktionen , so lautet die Jacobi-Matrix im Punkt :
Häufig sieht man auch die Schreibweise bzw. für die Jacobi-Matrix.
Jacobi-Matrix als totale Ableitung
Dies soll im Folgenden bewiesen werden:
Ist f in total differenzierbar, so gilt mit der totalen Ableitung A:
,
wobei für die Restfunktion r(h) gilt:
Hierbei ist eine Matrix und ein n-dimensionaler Vektor.
Nun soll die i-te Komponente von betrachtet werden:
Behält man in nur die j-te Komponente ungleich null, wird daraus der Vektor und es ergibt sich:
Nun lässt sich damit und mit die partielle Ableitung der i-ten Komponente von f nach berechnen:
Es wurde also gezeigt, dass gilt:
Das bedeutet gerade, dass die Jacobi-Matrix die totale Ableitung von f im Punkt ist.
Beispiel 1 – Jacobi-Matrix berechnen
Die Berechnung der Jacobi-Matrix soll am Beispiel der Funktion
illustriert werden.
Für die Jacobi-Matrix werden die partiellen Ableitungen der drei Komponenten , und nach x und y bestimmt. Diese lauten:
Durch richtiges Anordnen dieser partiellen Ableitungen ergibt sich bereits die Jacobi-Matrix bzw. die Funktionalmatrix:
Beispiel 2 – Jacobi-Matrix berechnen
Nun soll die Funktion
betrachtet werden, welche eine Transformation der kartesischen in die Kugelkoordinaten beschreibt.
Die partiellen Ableitungen der einzelnen Komponenten lauten:
Die Jacobi-Matrix hat demzufolge folgende Form:
Da diese Jacobi-Matrix eine quadratische Matrix ist, lässt sich deren Determinante berechnen. Diese wird Jacobi-Determinante genannt. Sie spielt bei der Koordinatentransformation von Integralen eine wichtige Rolle. Im vorliegenden Fall lautet sie: