Polarkoordinaten
In diesem Artikel behandeln wir die Polarkoordinaten. Du erhältst zunächst eine Einführung und anschließend zeigen wir dir wie sie in kartesische Koordinaten umgerechnet werden können und umgekehrt. Zudem werden das Flächen- und Linienelement sowie die Einheitsvektoren thematisiert. Außerdem wird auf die Darstellung komplexer Zahlen in diesen Koordinaten eingegangen und die räumlichen Polarkoordinaten werden kurz dargestellt.
Um dir die viele Lesearbeit zu ersparen und das ganze Thema etwas anschaulicher aufzubereiten, haben wir für dich ein Video dazu erstellt.
Inhaltsübersicht
Ebene Polarkoordinaten Definition
Polar- und kartesische Koordinaten können ineinander umgerechnet werden. Die Polarkoordinaten werden auch als Kreiskoordinaten bezeichnet.
Polarkoordinatensystem
Das Polarkoordinatensystem wird durch seinen Koordinatenursprung, einen Punkt in der Ebene, den sogenannten Pol, und durch einen von diesem Pol fortlaufenden Strahl, der sogenannten Polachse, ausgezeichnet. Bezüglich dieses Punktes und des Strahls lassen sich dann die Polar- bzw. Kreiskoordinaten eines beliebigen Punktes in der Ebene angeben.
Polarkoordinatendarstellung
Soll ein beliebiger Punkt der Ebene in Polarkoordinaten beschrieben werden, so kann eine Strecke zwischen dem Punkt und dem Pol des Koordinatensystems betrachtet werden. Die erste Koordinate in der Polarkoordinatendarstellung ist der Abstand r des Punktes zum Pol, also die Länge der betrachteten Strecke. Dieser Abstand r wird auch als Radius bezeichnet.
Die zweite Koordinate ist gegeben durch den Winkel, den die betrachtete Strecke überstreicht, wenn sie im Uhrzeigersinn um den Pol bis zur Polachse gedreht wird. Dieser Winkel wird auch als Polarwinkel oder Azimut bezeichnet. Die Angabe der beiden Koordinaten r und eines Punktes der Ebene als Zahlenpaar wird als Polarkoordinatendarstellung bezeichnet.
Kartesische Koordinaten in Polarkoordinaten umrechnen
Um von den kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten umzurechnen, müssen aus den gegebenen Koordinaten und des kartesischen Systems der Radius r und der Polarwinkel berechnet werden. Der Einfachheit halber soll als Pol des Polarkoordinatensystems der Ursprung des kartesischen Systems und als Polachse die positive -Achse gewählt werden.
Der Radius r lässt sich dann ganz einfach mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnen:
Die Bestimmung des Polarwinkels bringt hingegen ein paar Besonderheiten mit sich.
Zum einen kann der Winkel für den Fall, dass r=0 gilt, jeden beliebigen Wert annehmen. In diesem Fall wird meist verwendet.
Zum anderen ist der Winkel auch für nicht eindeutig definiert. Wird nämlich zu einem gegebenen Winkel der Wert addiert, so wird durch den dadurch erhaltenen Winkel derselbe Punkt in der Ebene beschrieben. Um eine eindeutige Transformationsvorschrift zu erhalten wird die Angabe des Winkels auf ein halboffenes Intervall der Länge wie beispielsweise das Intervall beschränkt.
Für den ersten Quadranten lässt sich der Winkel dann ganz einfach mithilfe des Arkustangens berechnen. Für die anderen Quadranten muss jeweils noch ein Wert dazu addiert werden. Es ergibt sich folgende Fallunterscheidung:
Für den Fall, dass x=0 gilt, ergeben sich folgende Winkel:
Flächenelement
Mit den Transformationsgleichungen und gilt für die Funktionaldeterminante in Kreiskoordinaten:
Somit ergibt sich für das Flächenelement dA:
Linienelement
Ebenso ergibt sich aus den genannten Transformationsgleichungen und folgender Zusammenhang:
Da in den kartesischen Koordinaten der Zusammenhang
gilt, folgt mit obigen Gleichungen in Kreiskoordinaten für das Linienelement ds:
Durch Vereinfachen ergibt sich:
Einheitsvektoren
Mit dem Richtungsvektor gilt für die Basisvektoren bzw. die Einheitsvektoren und in Kreiskoordinaten:
Die Einheitsbasisvektoren in Kreiskoordinaten sind also davon abhängig, welcher Punkt der Ebene betrachtet wird. Während der eine Einheitsvektor vom Pol in Richtung des betrachteten Punktes zeigt, steht der zweite Einheitsvektor gegen den Uhrzeigersinn senkrecht auf dem Vektor .
Geschwindigkeit und Beschleunigung in Polarkoordinaten
Mit den Einheitsvektoren lässt sich eine Bewegung in Kreiskoordinaten in eine radiale und eine transversale Komponente zerlegen. Es gilt nämlich für die Geschwindigkeit :
Analog gilt für die Beschleunigung :
Durch Zusammenfassen ergibt sich:
Polarkoordinaten und komplexe Zahlen
Eine komplexe Zahl kann mit ihrem Realteil und ihrem Imaginärteil auf folgende Art und Weise dargestellt werden:
Dies kommt einer Darstellung der komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten gleich, wobei der Realteil der x-Koordinate und der Imaginärteil der y-Koordinate entspricht. Eine andere Darstellung der Zahl gleicht dann einer Darstellung in Kreiskoordinaten:
Mit der Eulerschen Formel gleicht dies folgender Schreibweise:
Durch Vergleich mit der Darstellung der komplexen Zahl in kartesischen Koordinaten ergeben sich wieder die bekannten Transformationsgleichungen:
Räumliche Polarkoordinaten
Werden die Kreiskoordinaten um eine dritte Koordinate ergänzt, so ergeben sich sogenannte räumliche Polarkoordinaten. Hierzu zählen Zylinderkoordinaten oder die Kugelkoordinaten.