Potenzregel und Faktorregel
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In diesem Artikel erklären wir dir, wie du mit der Potenzregel und der Faktorregel Ableitungen bestimmen kannst und rechnen viele Beispiele dazu.
Du möchtest gern alles über die Potenzregel Ableitung und die Faktorregel Ableitung erfahren, aber hast keine Lust den ganzen Artikel zu lesen? Dann schau dir einfach unser Video dazu an!
Inhaltsübersicht
Beispiel 1: positiver Exponent
Du hast die Funktion
gegeben. Da es sich hierbei um eine Potenzfunktion handelt, kannst du sie mithilfe der Potenzregel ableiten und erhältst so:
Beispiel 2: negativer Exponent
Nun hast du eine Potenzfunktion mit negativem Exponenten gegeben
und wendest erneut die Potenzregel an, um ihre Ableitung zu berechnen:
Vorsicht! Da dein Exponent negativ ist, darfst du das Minus nicht vergessen und ein Reduzieren um eins führt zu einer betraglich größeren Zahl. Das heißt dein Exponent wird noch kleiner ().
Beispiel 3: Bruch als Exponent
Diesmal steht im Exponenten von keine ganze Zahl, sondern ein Bruch:
Auch hier kannst du für die Ableitung einfach die Potenzregel anwenden:
Damit hast du gerade unwissentlich eine Wurzel abgeleitet. Denn du kannst auch als Wurzel darstellen:
Sieh dir unseren extra Beitrag zum Wurzel Ableiten an, falls du noch mehr darüber wissen möchtest.
Tatsächlich ist die Potenzregel nicht nur für ganze und rationale Exponenten anwendbar, sondern auch allgemein für reelle. Angenommen du hast die Funktion
gegeben. Dann liefert dir die sogenannte verallgemeinerte Potenzregel die Ableitung
Im nächsten Abschnitt sehen wir uns eine weitere wichtige Ableitungsregel an, die oft im Zusammenhang mit der Potenzregel steht: die Faktorregel.
Faktorregel einfach erklärt
Angenommen du hast eine Funktion mit einem Vorfaktor gegeben und möchtest ihre Ableitung bestimmen. Dann benötigst du die Faktorregel.
f(x) = a • g(x) → f'(x)= a • g'(x)
Das bedeutet, der Vorfaktor a bleibt einfach stehen und ändert sich bei der Ableitung der Funktion nicht.
Beispiel 1
Du hast die Funktion
gegeben. In diesem Fall ist der Vorfaktor und Für die Anwendung der Faktorregel musst du die Ableitung berechnen. Diese erhältst du mit der Potenzregel:
Die Faktorregel liefert dir schließlich die Ableitung
Beispiel 2
Schauen wir uns ein weiteres Beispiel an
Mit der oberen Potenzregel berechnest du die Ableitung von Das Ergebnis ist
Nun wendest du die Faktorregel an und bekommst für die Ableitung
Beispiel 3: Faktorregel e Funktion
Sieh dir im Folgenden die e Funktion mit Vorfaktor an:
Für die Faktorregel musst du ableiten und den Vorfaktor unverändert beibehalten. Die Ableitung der e Funktion ist wieder die Funktion selbst, deshalb gilt . Damit erhältst du als Ableitung von :
Hinweis Ableitung Konstante: Falls du eine konstante Funktion mit einer beliebigen Zahl hast, so ist ihre Ableitung gleich Null:
Du kannst dir also einfach merken, dass die Ableitung einer konstanten Funktion gleich null ist.
Weitere Ableitungsregeln
Neben der Potenzregel und der Faktorregel gibt es natürlich noch weitere wichtige Ableitungsregeln, die du kennen solltest:
Ableitungsregel | Funktion | Ableitung |
Summenregel | ||
Differenzregel | ||
Produktregel | ||
Quotientenregel | ||
Kettenregel | ||
Potenzregel | ||
Faktorregel |