Richtungsableitung
Die Richtungsableitung gibt die lokale Änderungsrate des Funktionswertes einer reellwertigen Funktion bei einer Änderung der Funktionsvariablen in eine vorgegebene Richtung an. Entspricht diese Richtung derjenigen, des -ten Basisvektors, so ist die Richtungsableitung gleich der -ten partiellen Ableitung. Im Falle der totalen Differenzierbarkeit lässt sich auch mithilfe des Gradienten die Richtungsableitung berechnen.
Das Wichtigste rund um dieses Thema haben wir für Dich in unserem Video zusammengefasst!
Inhaltsübersicht
Schreibweisen
Gelegentlich werden statt auch folgende Schreibweisen verwendet:
Richtungsableitung Beispiel
Zur Verdeutlichung soll in einem Beispiel konkret gezeigt werden, wie die Richtungsableitung einer Funktion anhand der Definition berechnet werden kann. Hierzu soll die Ableitung für die Funktion an der allgemeinen Stelle in Richtung bestimmt werden.
Einsetzen in die Definition liefert:
Einseitige Richtungsableitung
Analog zur einseitigen Ableitung reellwertiger Funktionen einer Variablen lassen sich auch einseitige Richtungsableitungen definieren:
Bedeutung der Richtungsableitung
Aus der Definition der Richtungsableitung lassen sich gewisse Ähnlichkeiten zum Differentialquotienten und zur Definition der partiellen Ableitung einer Funktion ablesen. Diese spiegeln sich auch in der Bedeutung der Richtungsableitung wieder.
Für Funktionen einer Variablen gibt der Differentialquotient bekannterweise die lokale Änderungsrate des Funktionswertes an der untersuchten Stelle an. Werden reellwertige Funktionen mehrerer Variablen untersucht, so geben die partiellen Ableitungen die lokale Änderungsrate bei einer Bewegung in eine der Koordinatenrichtungen an. Sie sind somit ein Spezialfall der Richtungsableitungen. Diese geben nämlich die lokale bzw. momentane Änderungsrate in eine durch den Vektor vorgegebene Richtung an.
Richtungsableitung und partielle Ableitungen
Ist dieser vorgegebene Richtungsvektor beispielsweise der -te Basisvektor , so gilt für die Ableitung in diese Richtung an der Stelle :
Dies entspricht gerade der -ten partiellen Ableitung von in :
Wird eine reellwertige Funktion betrachtet, die von zwei Variablen abhängt, so kann deren Graph als dreidimensionale Hügellandschaft angesehen werden und die Bedeutung der Richtungsableitung lässt sich in diesem Fall gut veranschaulichen. Die – und -Komponente des Graphen sind die beiden Variablen der Funktion und die -Komponente ist der Funktionswert an dieser Stelle. Die Richtungsableitung in Richtung gibt dann die Steigung der Hügellandschaft an, wenn man sich von der Stelle aus in die Richtung des Vektors bewegen würde. Wird der Funktionsgraph mit einer Ebene geschnitten, die den Punkt enthält, senkrecht auf der –-Ebene steht und in Richtung des Vektors verläuft, so ergibt sich eine Schnittkurve, deren Tangentensteigung an der Stelle gerade die gesuchte Richtungsableitung ist.
Richtungsableitung berechnen
In einem Beispiel wurde bereits gezeigt wie mittels der Definition die Richtungsableitung einer Funktion berechnet werden kann. Allerdings muss hierzu ein Grenzwert berechnet werden, was nicht immer so einfach gelingt, wie in dem gezeigten Beispiel. Daher wird die Richtungsableitung meist mithilfe des Gradienten der Funktion bestimmt. Es gilt nämlich ein sehr nützlicher Zusammenhang zwischen dem Gradienten der Funktion und den Richtungsableitungen.
Richtungsableitung und Gradient
Sei eine offene Menge und eine stetig total differenzierbare Funktion. Sei außerdem ein Punkt aus und ein Vektor mit . Dann gilt:
Dabei bezeichnet das gewöhnliche Skalarprodukt. Da der Gradient gerade die Transponierte der totalen Ableitung bzw. der Jacobi-Matrix von darstellt, kann diese Gleichung auch folgendermaßen geschrieben werden:
Mit diesem Wissen lässt sich immer auf dieselbe Art und Weise vorgehen, um die Ableitung einer Funktion an der Stelle in Richtung zu berechnen. Dabei könnte es der Fall sein, dass der vorgegebene Richtungsvektor noch nicht normiert ist, also noch nicht die Länge 1 besitzt. Um den richtigen Wert für die Ableitung zu erhalten, muss man diesen dann gegebenenfalls noch normieren. Die einzelnen Schritte zur Berechnung der Richtungsableitung sehen dann wie folgt aus:
I. Den Gradienten von an der Stelle bestimmen:
II. Den gegebenen Richtungsvektor normieren:
III. Das Skalarprodukt des Gradienten und des normierten Vektors berechnen:
Die Berechnung der Richtungsableitung soll anhand eines Beispiels im Folgenden einmal dargelegt werden.
Beispiel: Richtungsableitung berechnen
Es soll die Ableitung der Funktion an der Stelle in Richtung des Vektors berechnet werden. Dazu werden die oben beschriebenen Schritte abgearbeitet:
I. Dem Gradienten von an der Stelle bestimmen:
Der Gradient der Funktion an der allgemeinen Stelle lautet:
Durch einsetzen der Stelle ergibt sich der gesuchte Gradient:
II. Den gegebenen Richtungsvektor normieren:
III. Das Skalarprodukt des Gradienten und des normierten Vektors berechnen:
Die gesuchte Richtungsableitung der Funktion besitzt also den Wert 7,6.