Sattelpunkt berechnen
Du möchtest wissen, was Sattelpunkte sind und wie du sie bestimmst? Im folgenden Artikel erklären wir dir Schritt für Schritt wie du einen Sattelpunkt berechnen kannst.
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Inhaltsübersicht
Sattelpunkt einfach erklärt
Stell dir vor du fährst mit dem Fahrrad einen Hügel hinunter und zwischendurch gibt es einen Punkt, an dem du ohne Probleme stehen bleiben kannst, bevor du dann weiter hinunterfährst. Das ist der Punkt der als Sattelpunkt oder als Terrassenpunkt bezeichnet wird.
Das heißt, beim Sattelpunkt hat die Funktion eine Steigung von 0, während der Graph sowohl davor als auch danach fällt (oder steigt).
Ein Sattelpunkt ist ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente. Das bedeutet, dass zu den Bedingungen eines Wendepunktes und noch zusätzlich die erste Ableitung null sein muss:
- und
Sattelpunkt berechnen: Schritt-für-Schritt Anleitung
Nun erklären wir dir Schritt für Schritt, wie du die Sattelpunkte einer Funktion f(x) berechnen kannst.
Schritt 1: Berechne die ersten drei Ableitungen der Funktion f(x).
Schritt 2: Ermittle die Nullstellen der zweiten Ableitung .
Schritt 3: Setze die Nullstellen der zweiten Ableitung in die dritte Ableitung ein. Ist , so handelt es sich um Wendestellen.
Schritt 4: Setze die Wendestellen in die erste Ableitung ein. Ist , so hat f an der Stelle einen Sattelpunkt. (Dieser Schritt ist der einzige Unterschied zum Wendepunkt berechnen )
Schritt 5: Nun setzt du die x-Werte aus Schritt 4 in die Funktion f(x) ein, um die y-Koordinaten zu bestimmen.
Beispiel
Um die Herangehensweise besser zu verstehen, schauen wir uns ein konkretes Beispiel dazu an.
Betrachte dazu die Funktion
Schritt 1: Zuerst berechnest du die Ableitungen der Funktion f
Schritt 2: Nun benötigst du die Nullstellen der zweiten Ableitung. Dafür setzt du und bekommst dafür
Schritt 3: Setze die ermittelten Werte in die dritte Ableitung ein. Dabei erhältst du
Da beide Werte ungleich 0 sind, befinden sich an den Stellen Wendepunkte.
Schritt 4: Jetzt überprüfst du noch, ob es sich dabei um Terrassenpunkte handelt. Dafür setzt du die ermittelten Werte und in ein
Das bedeutet also, dass du für einen Sattelpunkt hast, aber nicht für .
Schritt 5: Nun kannst du noch die y-Koordinate vom Sattelpunkt berechnen. Dafür wertest du einfach f an der Stelle aus
Somit hast du den Sattelpunkt berechnet.
Was ist ein Sattelpunkt?
Jetzt weißt du, wie du einen Sattelpunkt berechnen kannst, aber was genau passiert da?
Angenommen die Funktion f fällt vor dem Terrassenpunkt. Da der Sattelpunkt eine Steigung von 0 hat, muss die Steigung vor dem Terrassenpunkt zunehmen, das heißt die Funktion ist in dem Bereich linksgekrümmt. Nach dem Sattelpunkt fällt die Funktion und hat somit eine Rechtskrümmung. Das bedeutet, dass wir an der Stelle des Sattelpunktes eine Änderung des Krümmungsverhaltens haben und somit einen Wendepunkt. Daher überprüfst du für die Berechnung der Sattelpunkte die Bedingungen für einen Wendepunkt. Zusätzlich musst du dann bei den Wendepunkten noch überprüfen, ob hier die Steigung null ist. Trifft dies zu, dann handelt es sich um einen Sattelpunkt:
Um einen Sattelpunkt zu bestimmen, musst du die Sattelpunkt Bedingungen
- ,
überprüfen.
Hinweis: Die oberen Bedingungen sind hinreichend, aber nicht notwendig. Ist die dritte Ableitung , so gibt es trotzdem bestimmte Funktionen, die bei einen Sattelpunkt haben können. Um das zu überprüfen, setzt du x-Werte links und rechts von der kritischen Stelle in die zweite Ableitung ein. Ist ein Wert positiv und einer negativ, so handelt es sich um einen Sattelpunkt.
Wenn du zum Beispiel die Funktion betrachtest, so fällt dir auf, dass an der Stelle gilt
Also setzt du Werte links und rechts von in die zweite Ableitung ein und erhältst
Das heißt, wir haben an der Stelle einen Sattelpunkt.
Unterschied Sattelpunkt Wendepunkt
Der einzige Unterschied zwischen Sattel- und Wendepunkten ist die Steigung. Während am Wendepunkt eine beliebige Steigung vorliegen kann, ist es für Terrassenpunkte wichtig, dass die Steigung dort gleich 0 ist. Deshalb prüfst du, ob die erste Ableitung am Wendepunkt null ergibt.
Wichtige Begriffe der Kurvendiskussion
Bevor wir uns den Aufgaben widmen, geben wir dir an dieser Stelle eine kleine Übersicht wichtiger Begriffe, die du im Zusammenhang mit der Kurvendiskussion beherrschen solltest:
- Kurvendiskussion
- Kurvendiskussion Aufgaben
- Ableitung
- Ableitungsregeln
- Extrempunkte berechnen
- Hoch- und Tiefpunkte
- Monotonie
- Wendepunkt berechnen
- Wendetangente
- y Achsenabschnitt berechnen
- Symmetrie
- Punktsymmetrie
- Achsensymmetrie
Sattelpunkt berechnen Aufgaben
Im Folgenden geben wir dir zwei Beispielaufgaben, womit du das Sattelpunkt Berechnen üben kannst.
Aufgabe 1: Sattelpunkt berechnen einer e Funktion
Betrachte die Funktion
Berechne die Koordinaten der Sattelpunkte, falls welche existieren.
Lösung Aufgabe 1
Als erstes berechnest du mithilfe der Produktregel die ersten drei Ableitungen. Damit erhältst du
Nun bestimmst du die Nullstellen der zweiten Ableitung, das heißt, du setzt
womit du die Nullstellen
bekommst. Setzt du jetzt und in ein, so erhältst du
Damit hat die Funktion an beiden Stellen Wendepunkte. Du willst aber wissen, ob die Funktion Terrassenpunkte besitzt. Also setzt du noch zusätzlich die Werte und in die erste Ableitung ein
Damit hast du einen Sattelpunkt für , aber nicht für . Jetzt kannst du die Koordinaten vom Sattelpunkt berechnen, indem du in die Funktion f einsetzt
Damit erhältst du .
Aufgabe 2: Sattelpunkt einer gebrochenrationalen Funktion
Du hast folgende gebrochenrationale Funktion gegeben
Bestimme die Sattelpunkte der Funktion.
Lösung Aufgabe 2
Mithilfe der Quotienten – und Kettenregel berechnest du die Ableitungen der Funktion f
Jetzt musst du erstmal überprüfen, ob die Funktion Wendepunkte besitzt. Dazu setzt du die zweite Ableitung gleich null
und ermittelst somit die Nullstelle
Um zu überprüfen, ob f bei einen Wendepunkt hat, setzt du den Wert in ein und erhältst
Da es sich somit um eine Wendestelle handelt, kannst du nun die erste Ableitung überprüfen. Setzt du den Wert in ein, bekommst du
Damit handelt es sich um einen Sattelpunkt. Indem du nun in die Funktion f einsetzt, kannst du den Sattelpunkt berechnen
Damit ist bei ein Terrassenpunkt.
Wendetangente
Super! Die Berechnung und Unterscheidung von Wende- und Sattelpunkten bereitet dir jetzt keine Probleme mehr. Du fragst dich was du damit jetzt machen sollst? Du kannst zum Beispiel die Wendetangente berechnen. Die Wendetangente ist eine lineare Funktion, die die Funktion f am Wendepunkt berührt. Dafür setzt du einfach den Wende- bzw. Sattelpunkt in die allgemeine Formel ein.
Damit du keine Probleme mehr mit Aufgaben zur Kurvendiskussion hast, musst du dir auf jeden Fall unser Video zum Wendetangente berechnen anschauen!