Satz von Stokes
In diesem Artikel wird der Satz von Stokes behandelt. Dabei wird zunächst der allgemeine Stokessche Satz formuliert bevor kurz auf dessen Spezialfälle den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) sowie den Gaußschen Integralsatz eingegangen wird. Darüber hinaus soll der klassische Integralsatz von Stokes als weiterer Spezialfall des allgemeinen etwas genauer beleuchtet werden. Abschließend erfolgt die Berechnung zweier Beispiele.
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Inhaltsübersicht
Allgemeiner Integralsatz von Stokes
Wenn vom Satz von Stokes die Rede ist, so ist damit in den meisten Fällen der klassische Stokessche Integralsatz gemeint. Er stellt einen Spezialfall des allgemeinen Integralsatzes von Stokes dar, welcher wie folgt lautet:
Sei offen und eine orientierte -dimensionale Untermannigfaltigkeit mit sowie eine stetig differenzierbare -Form in . Dann gilt für jede kompakte Menge mit glattem Rand
,
wobei die induzierte Orientierung trägt und die äußere Ableitung von bezeichnet.
Zugrundeliegendes topologisches Prinzip
Dem Satz von Stokes liegt das topologische Prinzip zugrunde, dass bei der Pflasterung eines Flächenstücks durch gleichorientierte „Pflastersteine“ die inneren Wege in entgegengesetzter Richtung durchlaufen werden, was dazu führt, dass sich ihre Beiträge zum Linienintegral gegenseitig aufheben und nur noch der Beitrag der Randkurve übrig bleibt.
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung als Spezialfall
Für entartet der allgemeine Integralsatz von Stokes zum Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung: Sei ein offenes Intervall und eine stetig differenzierbare Funktion. Dann gilt:
Integralsatz von Gauß als Spezialfall
Als weiterer Spezialfall folgt aus dem allgemeinen Integralsatz von Stokes der Gaußsche Integralsatz. Um das zu zeigen wird gewählt und es sei
,
d.h. mit dem stetig differenzierbaren Vektorfeld . Dabei zeigt das Dach über an, dass dieser Faktor weggelassen werden muss. Sei außerdem das äußere Einheits-Normalenfeld, so gilt
Mit ergibt sich außerdem
Letztlich ergibt dies den Gaußschen Integralsatz
Satz von Stokes als klassischer Integralsatz von Stokes
Häufig und vor allem in technischen Studiengängen und der Physik ist die Rede vom Satz von Stokes. Hiermit ist in der Regel der klassische Integralsatz von Stokes gemeint, welcher auch Satz von Kelvin-Stokes oder Rotationssatz genannt wird. Gemeinsam mit dem Gaußschen Integralsatz spielt er eine wesentliche Rolle bei der Formulierung der Maxwell-Gleichungen in der Integralform.
Spezialfall des allgemeinen Integralsatzes von Stokes
Der klassische Satz von Stokes ergibt sich wie der HDI und der Gaußsche Integralsatz als Spezialfall des allgemeinen Integralsatzes von Stokes. In diesem Fall wird die offene Menge sowie das stetig differenzierbare Vektorfeld betrachtet. stelle eine zweidimensionale Untermannigfaltigkeit dar, dessen Orientierung durch das Einheits-Normalen-Feld gegeben sei. Auf der Untermannigfaltigkeit sei weiter ein Kompaktum gegeben, welches einen glatten Rand besitze. Dieser wiederum sei durch das Einheits-Tangenten-Feld orientiert. Mit der in stetig differenzierbaren Pfaffschen Form
und
ergibt sich somit der Satz von Stokes:
In einer anderen Schreibweise lautet er:
Satz von Stokes Formulierung
Es lässt sich folgendes ablesen:
Der Satz von Stokes besagt, dass ein Flächenintegral über die Rotation eines Vektorfeldes unter bestimmten Voraussetzungen in ein geschlossenes Kurvenintegral über die zur Kurve tangentiale Komponente des Vektorfeldes umgewandelt werden kann. Die durchlaufene Kurve muss dabei dem Rand der betrachteten Fläche entsprechen.
Satz von Stokes Beweis
Im Folgenden soll der Satz von Stokes bewiesen werden. Für diesen Beweis wird allerdings eine kleine Bedingung an die Fläche gestellt. Diese soll der Graph einer Funktion sein, welche über einem Gebiet in der -Ebene definiert ist. Mit und seien die Projektionen von und dem im Gegenuhrzeigersinn orientierten Rand auf die -Ebene bezeichnet. sei durch
parametrisiert, woraus mithilfe der Kettenregel folgt:
Das bedeutet für das im Satz von Stokes betrachtete Kurvenintegral:
Durch Zusammenfassen ergibt sich:
Wird nun
gesetzt, so kann das Integral folgendermaßen geschrieben werden:
Mit dem Satz von Green in der -Ebene kann dieses Integral umgeschrieben werden zu:
Da für die partiellen Ableitungen von und mithilfe der Ketten- und Produktregel
gilt, ergibt sich folgendes Integral:
Für die andere Seite des Satzes von Stokes gilt in dem betrachteten Fall:
sowie
Dadurch ist die Gleichheit der beiden Seiten und der Satz von Stokes für diesen Fall bewiesen:
Satz von Stokes Beispiel
Im Folgenden soll der Satz von Stokes beispielhaft für zwei gegebene Problemstellungen angewandt werden.
Satz von Stokes Beispiel Halbkugelschale
Im ersten Beispiel sei das Vektorfeld sowie die Halbkugelschale für gegeben.
Um die Gleichheit der beiden Seiten im klassischen Integralsatz von Stokes zu zeigen, werden ein paar Vorarbeiten erledigt. Es lässt sich leicht nachrechnen, dass gilt:
Außerdem gilt für das Flächenelement in Kugelkoordinaten:
Die Randkurve kann des Weiteren wie folgt parametrisiert werden:
Somit ergibt sich für die eine Seite:
Die andere Seite berechnet sich zu:
Somit ist gezeigt, dass die separate Berechnung beider Seiten zum selben Ergebnis führt.
Da die Kreisscheibe mit und den selben Rand besitzt wie die eben betrachtete Halbkugelschale, ist auch der Wert des Integrals derselbe.
Satz von Stokes Beispiel Zylindermantel
Im zweiten Beispiel soll der Fluss der Rotation des Vektorfeldes von innen nach außen durch den Zylindermantel für berechnet werden. Hierzu wird nach dem klassichen Stokesschen Satz das Kurvenintegral entlang des Randes von über das Vektorfeld bestimmt.
Das Kurvenintegral teilt sich auf in das Integral über die obere Umrandung und die untere Umrandung des Zylindermantels.
Diese werden wie folgt parametrisiert:
Somit berechnet sich der Fluss der Rotation von durch zu: