Uneigentliche Integrale
In diesem Artikel erklären wir dir, was uneigentliche Integrale sind und zeigen dir anhand einer Reihe von Aufgaben, wie du sie berechnen kannst.
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Inhaltsübersicht
Uneigentliche Integrale einfach erklärt
Es gibt zwei Arten uneigentlicher Integrale :
- Erster Art: Die Integrationsgrenzen sind unbeschränkt. Das heißt und/oder sind gleich oder .
- Zweiter Art: ist an den Integrationsgrenzen nicht definiert. Das heißt und/oder ist nicht definiert.
Generell sind also uneigentliche Integrale, solche mit kritischen Werten in den Grenzen.
Uneigentliche Integrale berechnen
Ein uneigentliches Integral mit nur einer kritischen Grenze kann folgendermaßen berechnet werden:
1.) Ersetze die kritische Grenze durch eine Variable :
.
2.) Berechne das Integral in Abhängigkeit von :
mit als Stammfunktion von .
3.) Bestimme, falls vorhanden, den Grenzwert .
Analog kann auch das uneigentliche Integral mit als kritische Grenze berechnet werden, indem sie durch eine Variable ersetzt wird. Das heißt, berechne
und anschließend den Grenzwert
falls für konvergiert.
Für ein uneigentliches Integral mit zwei kritischen Grenzen und muss dieses in zwei Integrale mit jeweils einer kritischen Grenze aufgeteilt werden:
wobei gilt.
Dann berechnen wir das erste uneigentliche Integral mit als kritischer Grenze, sowie das zweite mit als kritischer Grenze entsprechend dem obigen Verfahren. Anschließend werden die Ergebnisse addiert.
Aufgabe 1
Überprüfe, ob das uneigentliche Integral
einen endlichen Wert besitzt.
Lösung:
Es handelt sich hier um ein uneigentliches Integral erster Art. Wir gehen im Folgenden die drei Schritte zur Berechnung durch.
1.) Die obere Integralgrenze wird durch eine Variable ersetzt:
2.) Berechne das Integral in Abhängigkeit von :
3.) Bilde den Grenzwert für :
Der Grenzwert ergibt sich, da gilt.
Damit erhalten wir als Lösung:
Aufgabe 2
Überprüfe, ob das uneigentliche Integral
einen endlichen Wert besitzt.
Lösung:
Es ist ein uneigentliches Integral erster Art.
1.) Ersetze durch eine Variable :
2.) Wir berechnen das Integral in Abhängigkeit von . Da im Zähler des Bruchs die Ableitung des Nenners steht, erhalten wir den Logarithmus als Stammfunktion:
3.) Nun müssen wir den Limes bilden
Jedoch konvergiert in diesem Fall nicht
da
Das uneigentliche Integral hat keinen endlichen Wert.
Dieses Beispiel zeigt, dass man mit der Anschauung der endlichen Fläche vorsichtig sein muss. Denn die Skizze lässt vermuten, dass die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse endlich ist. Tatsächlich ist dies jedoch nicht der Fall, wie die Berechnung zeigt.
Aufgabe 3
Überprüfe, ob das uneigentliche Integral
einen endlichen Wert besitzt.
Lösung:
Es handelt sich hierbei um ein uneigentliches Integral zweiter Art. Denn die zu integrierende Funktion ist für nicht definiert.
1.) Ersetze daher die untere Integrationsgrenze durch eine Variable :
2.) Berechne das Integral in Abhängigkeit von :
3.) Bestimme nun den Grenzwert
Allerdings konvergiert hier gegen keinen endlichen Wert, da
gilt. Deshalb besitzt das uneigentliche Integral keinen endlichen Wert als Lösung.
Aufgabe 4
Überprüfe, ob das uneigentliche Integral
einen endlichen Wert besitzt.
Lösung:
Das ist ein uneigentliches Integral erster Art mit zwei kritischen Integralgrenzen. In diesem Fall muss das Integral in zwei Integrale mit jeweils einer kritischen Grenze aufgeteilt werden:
Wir beginnen damit, das erste uneigentliche Integral
zu bestimmen.
1.) Ersetze die kritische Intervallgrenze durch eine Variable :
2.) Bestimme das Integral in Abhängigkeit von :
3.) Bestimme den Grenzwert für :
Das bedeutet für das erste uneigentliche Integral gilt:
Nun müssen wir noch den Wert des zweiten uneigentlichen Integrals
bestimmen.
1.) Ersetze die kritische Intervallgrenze durch die Variable :
2.) Bestimme das Integral in Abhängigkeit von :
3.) Bestimme den Grenzwert für :
Damit gilt:
Schließlich addieren wir die Ergebnisse, um den Wert des gesuchten uneigentlichen Integrals zu erhalten: