{"learningExerciseConfig":{"id":1519,"levels":[{"id":2333,"level":"level_1","label":"Level 1","units":[{"id":1047,"type":"multiple_choice","question":"Wähle die richtigen Antwortmöglichkeiten aus.","context":"Welche Aussagen zu Kugelkoordinaten \((r,\theta,\varphi)\) sind richtig? Wähle alle richtigen Antwortmöglichkeiten aus.","explanation":"In Kugelkoordinaten beschreibt \(r\) den Abstand des Punktes vom Ursprung. Darum ist die Aussage zu \(r\) als Abstand richtig. Der Winkel \(\theta\) heißt Polarwinkel. Er ist der Winkel zwischen der positiven Polachse und der Verbindung vom Ursprung zum Punkt. Darum ist auch diese Aussage richtig. Der Winkel \(\varphi\) heißt Azimutwinkel. Er wird in der Äquatorebene zwischen der Bezugsrichtung und der Verbindung zur Projektion des Punktes gemessen. Daher ist auch diese Aussage richtig. \(r\) ist kein Winkel, sondern eine Länge. Darum ist die letzte Aussage falsch. Im aktuellen Video findest du diese Definitionen ab Minute 01:35.","hint":"Erinnere dich daran, wie ein Punkt im Raum durch Kugelkoordinaten beschrieben wird. Du brauchst dafür einen Abstand und zwei Winkel. Schau dafür ab Minute 01:35 im aktuellen Video rein.","answers":[{"id":4086,"text":"\(r\) ist der Abstand des Punktes vom Ursprung.","correct":true},{"id":4087,"text":"\(\theta\) ist der Winkel zwischen der positiven Polachse und der Strecke vom Ursprung zum Punkt.","correct":true},{"id":4088,"text":"\(\varphi\) ist ein Winkel, der in der Äquatorebene zur Bezugsrichtung gemessen wird.","correct":true},{"id":4089,"text":"\(r\) ist immer ein Winkelmaß in Grad.","correct":false}]},{"id":1048,"type":"multiple_choice","question":"Wähle die richtigen Antwortmöglichkeiten aus.","context":"Welche Aussagen zur Polachse, Polrichtung und Äquatorebene sind richtig, wenn Du die \(z\)-Achse als Polachse wählst? Wähle alle richtigen Antwortmöglichkeiten aus.","explanation":"Wenn Du die \(z\)-Achse als Polachse wählst, dann ist die Polachse genau diese \(z\)-Achse. Die Polrichtung ist die Richtung der Polachse. Hier ist damit die positive \(z\)-Richtung gemeint. Die Äquatorebene steht senkrecht zur Polachse und geht durch den Ursprung. Bei einer Polachse entlang \(z\) ist das die \(xy\)-Ebene. Die \(yz\)-Ebene steht nicht senkrecht zur \(z\)-Achse und ist daher nicht die Äquatorebene. Im aktuellen Video wird das ab Minute 00:55 erklärt.","hint":"Überlege dir, welche Achse Du als Polachse auswählst. Überlege dann, welche Ebene senkrecht dazu durch den Ursprung verläuft. Schau dafür ab Minute 00:55 im aktuellen Video rein.","answers":[{"id":4090,"text":"Die Polachse ist dann die \(z\)-Achse.","correct":true},{"id":4091,"text":"Die Äquatorebene ist dann die \(xy\)-Ebene.","correct":true},{"id":4092,"text":"Die Polrichtung zeigt in Richtung der positiven \(z\)-Achse.","correct":true},{"id":4093,"text":"Die Äquatorebene ist dann die \(yz\)-Ebene.","correct":false}]},{"id":1049,"type":"multiple_choice","question":"Wähle die richtigen Antwortmöglichkeiten aus.","context":"Welche Aussagen zum Polarwinkel \(\theta\) sind richtig? Wähle alle richtigen Antwortmöglichkeiten aus.","explanation":"Der Polarwinkel \(\theta\) ist der Winkel zwischen der positiven Polachse und der Verbindung vom Ursprung zum Punkt. Er liegt nur zwischen \(0^\circ\) und \(180^\circ\). Wenn \(\theta\) fest ist, dann liegt der Punkt auf einer Kreislinie auf der Kugeloberfläche. Die Messung in der \(xy\)-Ebene zur positiven \(x\)-Achse beschreibt dagegen den Azimutwinkel \(\varphi\) und nicht \(\theta\). Im aktuellen Video wird das ab Minute 02:05 beschrieben.","hint":"Unterscheide Polarwinkel und Azimutwinkel. Der Polarwinkel gehört zur Polachse und hat einen festen Wertebereich. Schau dafür ab Minute 02:05 im aktuellen Video rein.","answers":[{"id":4094,"text":"\(\theta\) kann Werte von \(0^\circ\) bis \(180^\circ\) annehmen.","correct":true},{"id":4095,"text":"\(\theta\) ist der Winkel zwischen der positiven Polachse und der Strecke vom Ursprung zum Punkt.","correct":true},{"id":4096,"text":"\(\theta\) legt auf einer Kugeloberfläche eine Kreislinie fest.","correct":true},{"id":4097,"text":"\(\theta\) wird in der \(xy\)-Ebene zwischen der positiven \(x\)-Achse und der Projektion des Punktes gemessen.","correct":false}]},{"id":1050,"type":"multiple_choice","question":"Wähle die richtigen Antwortmöglichkeiten aus.","context":"Welche Aussagen zum Azimutwinkel \(\varphi\) sind richtig? Wähle alle richtigen Antwortmöglichkeiten aus.","explanation":"Der Azimutwinkel \(\varphi\) wird in der Äquatorebene gemessen. Er ist der Winkel zwischen der Bezugsrichtung in dieser Ebene und der Strecke vom Ursprung zur Projektion des Punktes auf die Äquatorebene. Als Bezugsrichtung nimmt man meistens die positive \(x\)-Achse. Der Abstand vom Ursprung ist \(r\) und nicht \(\varphi\). Darum ist die letzte Aussage falsch. Im aktuellen Video wird das ab Minute 02:30 erklärt.","hint":"Der Azimutwinkel gehört zur Projektion des Punktes in die Äquatorebene. Er wird zur Bezugsrichtung in dieser Ebene gemessen. Schau dafür ab Minute 02:30 im aktuellen Video rein.","answers":[{"id":4098,"text":"\(\varphi\) wird in der Äquatorebene gemessen.","correct":true},{"id":4099,"text":"\(\varphi\) ist der Winkel zwischen der Bezugsrichtung in der Äquatorebene und der Verbindung zur Projektion des Punktes auf diese Ebene.","correct":true},{"id":4100,"text":"Als Bezugsrichtung wird meistens die positive \(x\)-Achse gewählt.","correct":true},{"id":4101,"text":"\(\varphi\) ist der Abstand des Punktes vom Ursprung.","correct":false}]},{"id":1051,"type":"multiple_choice","question":"Wähle die richtigen Antwortmöglichkeiten aus.","context":"Ein Punkt \(P\) hat Kugelkoordinaten \((r,\theta,\varphi)\). Welche Formeln zur Umrechnung in kartesische Koordinaten \((x,y,z)\) sind richtig? Wähle alle richtigen Formeln aus.","explanation":"Bei der Umrechnung aus Kugelkoordinaten gilt zuerst der Abstand der Projektion in die \(xy\)-Ebene. Er ist \(r\sin(\theta)\). Dieser wird für \(x\) mit \(\cos(\varphi)\) und für \(y\) mit \(\sin(\varphi)\) multipliziert. Damit erhältst du \(x=r\sin(\theta)\cos(\varphi)\) und \(y=r\sin(\theta)\sin(\varphi)\). Für die Höhe gilt \(z=r\cos(\theta)\). Die Summe \(r+\theta+\varphi\) ist keine Umrechnungsformel für \(x\). Im aktuellen Video werden die Formeln ab Minute 03:05 hergeleitet.","hint":"Nutze die Standardformeln für Kugelkoordinaten. Bei \(x\) und \(y\) steht jeweils der Faktor \(r\sin(\theta)\). Bei \(z\) steht der Faktor \(r\cos(\theta)\). Schau dafür ab Minute 03:05 im aktuellen Video rein.","answers":[{"id":4102,"text":"\(x=r\sin(\theta)\cos(\varphi)\)","correct":true},{"id":4103,"text":"\(y=r\sin(\theta)\sin(\varphi)\)","correct":true},{"id":4104,"text":"\(z=r\cos(\theta)\)","correct":true},{"id":4105,"text":"\(x=r+\theta+\varphi\)","correct":false}]},{"id":981,"type":"single_choice","question":"Wähle die richtige Antwortmöglichkeit aus.","context":"Welche Größe beschreibt in Kugelkoordinaten die Koordinate \(r\), also den Abstand eines Punktes vom Koordinatenursprung?","explanation":"In Kugelkoordinaten gibt \(r\) den Abstand des Punktes vom Koordinatenursprung an. Deshalb nennt man \(r\) auch den Radius der Kugel, auf deren Oberfläche der Punkt liegen würde. Im aktuellen Video zu Kugelkoordinaten wird das ab Minute 01:43 erklärt.","hint":"\(r\) ist in Kugelkoordinaten direkt als Abstand vom Ursprung definiert. Achte darauf, dass es um eine Länge geht und nicht um einen Winkel oder eine Fläche. Im aktuellen Video zu Kugelkoordinaten findest du das ab Minute 01:43.","answers":[{"id":3922,"text":"Die Steigung einer Geraden durch den Punkt","correct":false},{"id":3923,"text":"Die Fläche der Kugeloberfläche","correct":false},{"id":3924,"text":"Die Länge der x-Achse","correct":false},{"id":3921,"text":"Der Radius \(r\)","correct":true}]},{"id":982,"type":"single_choice","question":"Wähle die richtige Antwortmöglichkeit aus.","context":"Welche Ebene ist die Äquatorebene, wenn du die z-Achse als Polachse festlegst?","explanation":"Die Äquatorebene ist per Definition orthogonal zur Polachse und sie geht durch den Ursprung. Wenn du die z-Achse als Polachse nimmst, dann ist die dazu senkrechte Ebene durch den Ursprung die xy-Ebene. Im aktuellen Video zu Kugelkoordinaten wird das ab Minute 01:04 erklärt.","hint":"Die Äquatorebene steht senkrecht zur Polachse und geht durch den Ursprung. Wenn die Polachse die z-Achse ist, dann ist die gesuchte Ebene die Ebene mit \(z=0\). Im aktuellen Video zu Kugelkoordinaten findest du das ab Minute 01:04.","answers":[{"id":3925,"text":"Die yz-Ebene","correct":false},{"id":3926,"text":"Die xz-Ebene","correct":false},{"id":3927,"text":"Die xy-Ebene","correct":true},{"id":3928,"text":"Eine Ebene parallel zur x-Achse und ohne Ursprung","correct":false}]},{"id":983,"type":"single_choice","question":"Wähle die richtige Antwortmöglichkeit aus.","context":"Welche Bezugsrichtung in der Äquatorebene wird meistens als Startlinie für den Azimutwinkel \(\varphi\) verwendet?","explanation":"Für den Azimutwinkel \(\varphi\) legst du in der Äquatorebene eine Bezugsrichtung fest. Diese Bezugsrichtung ist meistens die positive x-Achse. Von dort wird \(\varphi\) bis zur Projektion des Punktes gemessen. Im aktuellen Video zu Kugelkoordinaten wird das ab Minute 01:16 erklärt.","hint":"Der Azimutwinkel \(\varphi\) wird in der Äquatorebene von einer festgelegten Halbgeraden aus gemessen. In vielen Definitionen nimmt man dafür die Standardrichtung entlang der x-Achse. Im aktuellen Video zu Kugelkoordinaten findest du das ab Minute 01:16.","answers":[{"id":3929,"text":"Die negative z-Achse","correct":false},{"id":3930,"text":"Die positive x-Achse","correct":true},{"id":3931,"text":"Die Gerade durch den Ursprung und den Punkt \(P\)","correct":false},{"id":3932,"text":"Die Diagonale eines Einheitswürfels","correct":false}]},{"id":984,"type":"single_choice","question":"Wähle die richtige Antwortmöglichkeit aus.","context":"In welchem Wertebereich liegt der Polarwinkel \(\theta\)?","explanation":"Der Polarwinkel \(\theta\) wird zwischen der positiven Polachse und der Verbindungsstrecke vom Ursprung zum Punkt gemessen. Deshalb kann \(\theta\) nur Werte von \(0^\circ\) bis \(180^\circ\) annehmen. Im aktuellen Video zu Kugelkoordinaten wird das ab Minute 02:07 erklärt.","hint":"Der Polarwinkel \(\theta\) ist der Winkel zwischen der positiven Polachse und der Strecke vom Ursprung zum Punkt. Dieser Winkel ist nicht größer als eine halbe Umdrehung. Im aktuellen Video zu Kugelkoordinaten findest du das ab Minute 02:07.","answers":[{"id":3933,"text":"Nur zwischen \(\pi\) und \(2\pi\)","correct":false},{"id":3934,"text":"Nur zwischen \(-180^\circ\) und \(0^\circ\)","correct":false},{"id":3935,"text":"Nur zwischen \(0^\circ\) und \(180^\circ\)","correct":true},{"id":3936,"text":"Nur bei \(\theta=360^\circ\)","correct":false}]},{"id":985,"type":"single_choice","question":"Wähle die richtige Antwortmöglichkeit aus.","context":"Was erhältst du, wenn \(r\) fest ist und du nur \(\theta\) und \(\varphi\) veränderst?","explanation":"\(r\) ist der Abstand vom Ursprung. Wenn \(r\) fest ist, dann liegen alle möglichen Punkte im Abstand \(r\) vom Ursprung. Das ist genau die Oberfläche einer Kugel mit Radius \(r\). Die Winkel \(\theta\) und \(\varphi\) bestimmen dann nur noch, wo auf dieser Kugeloberfläche der Punkt liegt. Im aktuellen Video zu Kugelkoordinaten wird das ab Minute 01:49 erklärt.","hint":"Wenn \(r\) als Abstand vom Ursprung fest ist, dann änderst du nur noch die Richtung zum Punkt. \(\theta\) und \(\varphi\) legen diese Richtung fest. Im aktuellen Video zu Kugelkoordinaten findest du das ab Minute 01:49.","answers":[{"id":3937,"text":"Alle Punkte auf der Oberfläche einer Kugel mit Radius \(r\)","correct":true},{"id":3938,"text":"Alle Punkte auf einer Geraden parallel zur y-Achse","correct":false},{"id":3939,"text":"Alle Punkte in der xy-Ebene mit \(z=0\)","correct":false},{"id":3940,"text":"Genau einen einzelnen Punkt","correct":false}]},{"id":973,"type":"question_and_answer","question":"Gib die richtige Antwort ein.","context":"Ein Punkt hat Kugelkoordinaten mit dem Radius \(r=9\). Wie groß ist der Abstand dieses Punktes vom Ursprung? Gib nur die Zahl an.","explanation":"In Kugelkoordinaten ist der Radius \(r\) immer der Abstand des Punktes vom Ursprung. Hier ist \(r=9\) gegeben. Deshalb ist der Abstand vom Ursprung gleich \(9\). Das passt zu der Stelle im Video, an der \(r\) als Abstand vom Ursprung erklärt wird. Das ist ab Minute 01:35.","hint":"In Kugelkoordinaten ist der Radius \(r\) direkt der Abstand vom Ursprung. Du musst also nur den Wert von \(r\) ablesen. Wenn du das noch einmal nachschauen willst, sieh dir im Video den Teil an, in dem \(r\) als Abstand erklärt wird. Das ist ab Minute 01:35.","answer":"9"},{"id":974,"type":"question_and_answer","question":"Gib die richtige Antwort ein.","context":"In einem Kugelkoordinatensystem ist die Polachse die \(z\)-Achse. Welche Ebene ist dann die Äquatorebene? Antworte mit 1 für \(xy\)-Ebene, 2 für \(xz\)-Ebene oder 3 für \(yz\)-Ebene.","explanation":"Die Äquatorebene ist per Definition senkrecht zur Polachse und sie geht durch den Ursprung. Hier ist die Polachse die \(z\)-Achse. Eine Ebene, die senkrecht zur \(z\)-Achse ist, ist die Ebene mit \(z=0\). Das ist die \(xy\)-Ebene. In der Antwortauswahl steht \(xy\)-Ebene für 1. Also ist die richtige Zahl 1. Das passt zu der Videostelle, an der die Äquatorebene als \(xy\)-Ebene beschrieben wird, wenn die \(z\)-Achse die Polachse ist. Das ist ab Minute 01:05.","hint":"Die Äquatorebene steht senkrecht auf der Polachse und geht durch den Ursprung. Wenn die Polachse die \(z\)-Achse ist, dann ist die dazu senkrechte Ebene die Ebene mit \(z=0\). Schau dazu im Video den Abschnitt zu Polachse und Äquatorebene an. Das ist ab Minute 01:05.","answer":"1"},{"id":975,"type":"question_and_answer","question":"Gib die richtige Antwort ein.","context":"In Kugelkoordinaten ist der Polarwinkel \(\theta\) so definiert, dass er nur Werte zwischen \(0^\circ\) und \(180^\circ\) annehmen kann. Wie groß ist die größte mögliche Gradzahl für \(\theta\)? Gib nur die Zahl an.","explanation":"Der Polarwinkel \(\theta\) ist so festgelegt, dass er nur Werte zwischen \(0^\circ\) und \(180^\circ\) annehmen kann. Die größte mögliche Gradzahl ist daher \(180\). Das findest du im Video in dem Abschnitt, in dem der Wertebereich des Polarwinkels genannt wird. Das ist ab Minute 02:10.","hint":"Der Polarwinkel \(\theta\) hat einen festen Wertebereich. Du sollst nur den größten erlaubten Wert als Zahl angeben. Im Video wird das direkt beim Polarwinkel genannt. Das ist ab Minute 02:10.","answer":"180"},{"id":976,"type":"question_and_answer","question":"Gib die richtige Antwort ein.","context":"Ein Punkt hat Kugelkoordinaten mit \(r=9\) und \(\theta=90^\circ\). Nutze die Formel für die \(z\)-Koordinate: \(z=r\cos(\theta)\). Wie groß ist \(z\)? Gib nur die Zahl an.","explanation":"Du sollst \(z\) mit \(z=r\cos(\theta)\) berechnen. Setze \(r=9\) und \(\theta=90^\circ\) ein: \(z=9\cos(90^\circ)\) Da \(\cos(90^\circ)=0\), folgt: \(z=9\cdot 0=0\) Also ist \(z\) gleich 0. Das passt zu der Videostelle, an der \(z=r\cos(\theta)\) gezeigt wird. Das ist ab Minute 03:40.","hint":"Setze \(r=9\) und \(\theta=90^\circ\) in die Formel \(z=r\cos(\theta)\) ein. Nutze dabei, dass \(\cos(90^\circ)=0\). Wenn du die Formel noch einmal sehen willst, schau im Video den Teil zur Umrechnung auf die \(z\)-Koordinate an. Das ist ab Minute 03:40.","answer":"0"},{"id":977,"type":"question_and_answer","question":"Gib die richtige Antwort ein.","context":"Ein Punkt hat Kugelkoordinaten mit \(r=4\) und \(\theta=90^\circ\). Nutze die Formel für den Abstand der Projektion in die \(xy\)-Ebene: \(r\sin(\theta)\). Wie groß ist dieser Abstand? Gib nur die Zahl an.","explanation":"Gesucht ist der Abstand der Projektion in die \(xy\)-Ebene. Dafür gilt \(r\sin(\theta)\). Setze \(r=4\) und \(\theta=90^\circ\) ein: \(4\sin(90^\circ)\) Da \(\sin(90^\circ)=1\), ergibt sich: \(4\cdot 1=4\) Der Abstand ist also 4. Das passt zu der Videostelle, an der zuerst \(r\sin(\theta)\) als Abstand der Projektion erklärt wird. Das ist ab Minute 03:05.","hint":"Setze \(r=4\) und \(\theta=90^\circ\) in \(r\sin(\theta)\) ein. Nutze dabei, dass \(\sin(90^\circ)=1\). Wenn du die Stelle zur Projektion in die \(xy\)-Ebene suchst, schau im Video beim Beginn der Umrechnungsformeln. Das ist ab Minute 03:05.","answer":"4"}]},{"id":2334,"level":"level_2","label":"Level 2","units":[{"id":1052,"type":"multiple_choice","question":"Wähle die richtigen Antwortmöglichkeiten aus.","context":"Ein Punkt im Raum hat Kugelkoordinaten \(r=4\), \(\theta=60^\circ\) und \(\varphi=225^\circ\). Welche der folgenden Aussagen über seine kartesischen Koordinaten \((x,y,z)\) sind richtig?","explanation":"Du wandelst von Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten um. Dafür gelten \(x=r\sin(\theta)\cos(\varphi)\), \(y=r\sin(\theta)\sin(\varphi)\), \(z=r\cos(\theta)\). Zuerst berechnest du \(z\): \(z=4\cos(60^\circ)=4\cdot\frac{1}{2}=2\). Damit ist „\(z=2\)“ richtig. Dann brauchst du die Projektion in die \(xy\)-Ebene. Ihr Abstand vom Ursprung ist \(\rho=r\sin(\theta)=4\sin(60^\circ)=4\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}\). Jetzt zerlegst du \(\rho\) mit \(\varphi=225^\circ\): \(\cos(225^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\) und \(\sin(225^\circ)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\). Damit ist \(x=\rho\cos(\varphi)=2\sqrt{3}\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\sqrt{6}\) und \(y=\rho\sin(\varphi)=2\sqrt{3}\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=-\sqrt{6}\). Also sind „\(x=-\sqrt{2}\)“ und „\(y=\sqrt{2}\)“ beide falsch. Zum Schluss prüfst du noch „\(x^2+y^2=12\)“. Hier gilt allgemein \(x^2+y^2=\rho^2\). Also \(x^2+y^2=(2\sqrt{3})^2=12\). Das ist richtig. Richtig sind daher: * \(z=2\) * \(x^2+y^2=12\) Wenn du die Umrechnungsschritte nochmal kompakt sehen willst, schau im Video ab Minute 03:05 weiter.","hint":"Rechne zuerst \(z\) aus. Danach bestimmst du den Abstand der Projektion in der \(xy\)-Ebene. Dafür nutzt du \(\rho=r\sin(\theta)\). Zum Schluss zerlegst du \(\rho\) mit \(\cos(\varphi)\) und \(\sin(\varphi)\) in \(x\) und \(y\). Schau dir dazu im Video den Teil ab Minute 03:05 an.","answers":[{"id":4106,"text":"\(z=2\)","correct":true},{"id":4107,"text":"\(x=-\sqrt{2}\)","correct":false},{"id":4108,"text":"\(y=\sqrt{2}\)","correct":false},{"id":4109,"text":"\(x^2+y^2=12\)","correct":true}]},{"id":1053,"type":"multiple_choice","question":"Wähle die richtigen Antwortmöglichkeiten aus.","context":"Ein Punkt \(P\) hat Kugelradius \(r=10\). Außerdem gilt in kartesischen Koordinaten \(z=6\). Welche der folgenden Aussagen über Kugelkoordinaten \((r,\theta,\varphi)\) von \(P\) sind richtig?","explanation":"Du weißt \(r=10\) und \(z=6\). In Kugelkoordinaten gilt immer \(z=r\cos(\theta)\). Also \(\cos(\theta)=\frac{z}{r}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}\). Damit ist \(\theta=\arccos\left(\frac{3}{5}\right)\) möglich. Aussage 1 ist richtig. Für die Projektion in die \(xy\)-Ebene gilt \(x^2+y^2=r^2-z^2\). Also \(x^2+y^2=10^2-6^2=100-36=64\) und damit ist der Abstand \(\rho=\sqrt{x^2+y^2}=8\). Aussage 2 ist richtig. Was ist mit \(\varphi\)? Der Winkel \(\varphi\) beschreibt die Richtung der Projektion in der \(xy\)-Ebene. Aus \(r\) und \(z\) kennst du nur die Länge \(\rho=8\), aber nicht die Richtung. Daher kann die Projektion irgendwo auf dem Kreis mit Radius \(8\) liegen. Somit gibt es unendlich viele \(\varphi\)-Werte im Bereich \(0^\circ\le\varphi<360^\circ\). Aussage 3 ist falsch und Aussage 4 ist richtig. Richtig sind daher: * \(\theta=\arccos\left(\frac{3}{5}\right)\) ist möglich. * Der Abstand der Projektion von \(P\) auf die \(xy\)-Ebene vom Ursprung ist \(8\). * Jeder Winkel \(\varphi\) ist möglich, solange \(0^\circ\le\varphi<360^\circ\). Wenn du die Formeln für \(z\) und für die Projektion in die \(xy\)-Ebene nachsehen willst, schau im Video ab Minute 03:35 an.","hint":"Nutze die Beziehungen \(z=r\cos(\theta)\) und \(x^2+y^2=r^2-z^2\). Überlege dann, was \(r\) und \(z\) über \(\theta\) festlegen. Überlege auch, was \(r\) und \(z\) über \(\varphi\) nicht festlegen. Schau dir im Video den Abschnitt ab Minute 03:35 an.","answers":[{"id":4110,"text":"\(\theta=\arccos\left(\frac{3}{5}\right)\) ist möglich.","correct":true},{"id":4111,"text":"Der Abstand der Projektion von \(P\) auf die \(xy\)-Ebene vom Ursprung ist \(8\).","correct":true},{"id":4112,"text":"Es gibt genau zwei mögliche Werte für \(\varphi\).","correct":false},{"id":4113,"text":"Jeder Winkel \(\varphi\) ist möglich, solange \(0^\circ\le\varphi<360^\circ\).","correct":true}]},{"id":1054,"type":"multiple_choice","question":"Wähle die richtigen Antwortmöglichkeiten aus.","context":"Ein Punkt hat Kugelkoordinaten \((r,\theta,\varphi)\) mit \(0^\circ<\theta<180^\circ\). Welche der folgenden Aussagen sind richtig?","explanation":"Für die Umrechnung gilt \(x=r\sin(\theta)\cos(\varphi)\), \(y=r\sin(\theta)\sin(\varphi)\), \(z=r\cos(\theta)\). Aussage 1: \(z\) hängt nur von \(r\) und \(\theta\) ab. Wenn du nur \(\varphi\) änderst, bleibt \(z=r\cos(\theta)\) gleich. Das ist richtig. Aussage 2: Wenn du \(\theta\) änderst, dann ändert sich der Faktor \(r\sin(\theta)\). Der steckt in \(x\) und \(y\) drin. Also bleiben \(x\) und \(y\) nicht unverändert. Das ist falsch. Aussage 3: Bei \(\theta=90^\circ\) gilt \(z=r\cos(90^\circ)=0\). Damit liegt der Punkt in der \(xy\)-Ebene. Das ist richtig. Aussage 4: Bei \(\varphi=0^\circ\) ist \(y=r\sin(\theta)\sin(0^\circ)=0\) und \(x=r\sin(\theta)\cos(0^\circ)=r\sin(\theta)\). Der Punkt liegt dann zwar in der Ebene \(y=0\), aber er liegt nur dann auf der positiven \(x\)-Achse, wenn zusätzlich \(z=0\) gilt, also \(\theta=90^\circ\). Da das nicht gegeben ist, ist die Aussage falsch. Richtig sind daher: * Wenn du \(\varphi\) änderst und \(r\) und \(\theta\) gleich lässt, bleibt \(z\) unverändert. * Wenn \(\theta=90^\circ\) gilt, dann liegt der Punkt in der \(xy\)-Ebene. Die Abhängigkeiten von \(\theta\) und \(\varphi\) siehst du im Video ab Minute 03:00.","hint":"Schreib dir die Umrechnungsformeln auf. Überlege dann, welche Koordinate von welchem Winkel abhängt. Nutze außerdem, dass \(\theta\) über \(z=r\cos(\theta)\) festlegt, wie groß \(z\) ist. Schau im Video dazu ab Minute 03:00 nach.","answers":[{"id":4114,"text":"Wenn du \(\varphi\) änderst und \(r\) und \(\theta\) gleich lässt, bleibt \(z\) unverändert.","correct":true},{"id":4115,"text":"Wenn du \(\theta\) änderst und \(r\) und \(\varphi\) gleich lässt, bleiben \(x\) und \(y\) unverändert.","correct":false},{"id":4116,"text":"Wenn \(\theta=90^\circ\) gilt, dann liegt der Punkt in der \(xy\)-Ebene.","correct":true},{"id":4117,"text":"Wenn \(\varphi=0^\circ\) gilt, dann liegt der Punkt auf der positiven \(x\)-Achse.","correct":false}]},{"id":1055,"type":"multiple_choice","question":"Wähle die richtigen Antwortmöglichkeiten aus.","context":"Ein Punkt \(P\) hat kartesische Koordinaten \((x,y,z)=(-3,3,3\sqrt{2})\). Welche der folgenden Aussagen über Kugelkoordinaten \((r,\theta,\varphi)\) von \(P\) sind richtig?","explanation":"Zuerst berechnest du den Radius: \(r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{(-3)^2+3^2+(3\sqrt{2})^2}=\sqrt{9+9+18}=\sqrt{36}=6\). Damit ist „\(r=6\)“ richtig. Für den Polarwinkel gilt \(\cos(\theta)=\frac{z}{r}\). Also \(\cos(\theta)=\frac{3\sqrt{2}}{6}=\frac{\sqrt{2}}{2}\). Das ergibt \(\theta=45^\circ\). Aussage 2 ist richtig. Jetzt der Azimutwinkel \(\varphi\). Dafür schaust du auf die Projektion in die \(xy\)-Ebene: \((x,y)=(-3,3)\). Das liegt im 2. Quadranten, weil \(x<0\) und \(y>0\). Ein passender Winkel ist \(\varphi=135^\circ\). Aussage 3 ist richtig. \(\varphi=315^\circ\) liegt im 4. Quadranten. Das passt zu \(x>0\) und \(y<0\). Das stimmt hier nicht. Aussage 4 ist falsch. Richtig sind daher: * \(r=6\) * \(\theta=45^\circ\) * \(\varphi=135^\circ\) Wie du \(r\), \(\theta\) und \(\varphi\) zusammenbringst, siehst du im Video ab Minute 03:10.","hint":"Bestimme zuerst \(r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\). Danach nutzt du \(\cos(\theta)=\frac{z}{r}\). Für \(\varphi\) hilft dir das Vorzeichen von \(x\) und \(y\). Schau im Video dazu ab Minute 03:10 an.","answers":[{"id":4118,"text":"\(r=6\)","correct":true},{"id":4119,"text":"\(\theta=45^\circ\)","correct":true},{"id":4120,"text":"\(\varphi=135^\circ\)","correct":true},{"id":4121,"text":"\(\varphi=315^\circ\)","correct":false}]},{"id":1056,"type":"multiple_choice","question":"Wähle die richtigen Antwortmöglichkeiten aus.","context":"Ein Punkt \(P\) liegt auf einer Kugel um den Ursprung mit Radius \(r\). Außerdem gilt \(x=y\) und \(z>0\). Welche der folgenden Aussagen zu Kugelkoordinaten \((r,\theta,\varphi)\) von \(P\) sind richtig, wenn du \(0^\circ\le\varphi<360^\circ\) verwendest?","explanation":"Aus den Umrechnungsformeln folgt \(x=r\sin(\theta)\cos(\varphi)\), \(y=r\sin(\theta)\sin(\varphi)\), \(z=r\cos(\theta)\). Die Bedingung \(x=y\) bedeutet \(r\sin(\theta)\cos(\varphi)=r\sin(\theta)\sin(\varphi)\). Für einen Punkt, der nicht auf der \(z\)-Achse liegt, ist \(r\sin(\theta)\neq 0\). Dann kannst du kürzen und bekommst \(\cos(\varphi)=\sin(\varphi)\). Das gilt genau für \(\varphi=45^\circ\) und \(\varphi=225^\circ\) im Bereich \([0^\circ,360^\circ)\). Aussage 1 ist richtig. Die Winkel \(135^\circ\) und \(315^\circ\) liefern \(\cos(\varphi)=-\sin(\varphi)\). Dann wäre \(x=-y\) statt \(x=y\). Aussage 2 ist falsch. Aus \(z>0\) folgt \(r\cos(\theta)>0\). Da \(r>0\) ist, muss \(\cos(\theta)>0\) gelten. Das ist genau bei \(0^\circ\le\theta<90^\circ\) der Fall. Weil \(z>0\) strikt ist, darf \(\theta\) nicht \(90^\circ\) sein. Also ist \(0^\circ<\theta<90^\circ\) notwendig. Aussage 3 ist richtig. \(\theta=90^\circ\) würde \(z=0\) bedeuten. Das passt nicht zu \(z>0\). Aussage 4 ist falsch. Richtig sind daher: * \(\varphi=45^\circ\) oder \(\varphi=225^\circ\) ist möglich. * \(0^\circ<\theta<90^\circ\) ist notwendig. Die Zusammenhänge zwischen \(x,y,z\) und \((r,\theta,\varphi)\) findest du im Video ab Minute 03:00.","hint":"Nutze \(x=r\sin(\theta)\cos(\varphi)\) und \(y=r\sin(\theta)\sin(\varphi)\). Setze dann \(x=y\) ein und überlege, was das für \(\varphi\) bedeutet. Das Vorzeichen von \(z=r\cos(\theta)\) entscheidet über \(\theta\). Im Video findest du das ab Minute 03:00.","answers":[{"id":4122,"text":"\(\varphi=45^\circ\) oder \(\varphi=225^\circ\) ist möglich.","correct":true},{"id":4123,"text":"\(\varphi=135^\circ\) oder \(\varphi=315^\circ\) ist möglich.","correct":false},{"id":4124,"text":"\(0^\circ<\theta<90^\circ\) ist notwendig.","correct":true},{"id":4125,"text":"\(\theta=90^\circ\) ist möglich.","correct":false}]},{"id":986,"type":"single_choice","question":"Wähle die richtige Antwortmöglichkeit aus.","context":"Ein Punkt hat Kugelkoordinaten \(r=5\), \(\theta=60^\circ\), \(\varphi=135^\circ\). Welche kartesischen Koordinaten \((x,y,z)\) hat dieser Punkt? Wähle genau eine Antwort.","explanation":"Du rechnest von Kugelkoordinaten \((r,\theta,\varphi)\) in kartesische Koordinaten \((x,y,z)\) um. Dafür nutzt du die Formeln \(x=r\sin(\theta)\cos(\varphi)\), \(y=r\sin(\theta)\sin(\varphi)\), \(z=r\cos(\theta)\). Gegeben ist \(r=5\), \(\theta=60^\circ\), \(\varphi=135^\circ\). 1. Schritt: Trigonometrische Werte bestimmen \(\sin(60^\circ)=\frac{\sqrt3}{2}\), \(\cos(60^\circ)=\frac{1}{2}\) \(\cos(135^\circ)=-\frac{\sqrt2}{2}\), \(\sin(135^\circ)=\frac{\sqrt2}{2}\) 2. Schritt: \(z\) berechnen \(z=r\cos(\theta)=5\cdot\frac{1}{2}=\frac{5}{2}\) 3. Schritt: \(x\) berechnen \(x=r\sin(\theta)\cos(\varphi)=5\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)=-\frac{5\sqrt6}{4}\) 4. Schritt: \(y\) berechnen \(y=r\sin(\theta)\sin(\varphi)=5\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2}=\frac{5\sqrt6}{4}\) Damit ist die richtige Antwort: \(\left(-\frac{5\sqrt6}{4},\;\frac{5\sqrt6}{4},\;\frac{5}{2}\right)\) Wenn du die Umrechnungsformeln nochmal in Ruhe sehen willst, schau ab Minute 03:05 im aktuellen Video.","hint":"Überlege zuerst, welche Koordinate durch den Polarwinkel \(\theta\) festgelegt wird. Setze dann die Kugelkoordinaten in die Umrechnungsformeln ein: \(x=r\sin(\theta)\cos(\varphi)\), \(y=r\sin(\theta)\sin(\varphi)\), \(z=r\cos(\theta)\). Ab Minute 03:05 im aktuellen Video findest du genau diese Umrechnungsformeln.","answers":[{"id":3941,"text":"\(\left(-\frac{5\sqrt6}{4},\;\frac{5\sqrt6}{4},\;\frac{5}{2}\right)\)","correct":true},{"id":3942,"text":"\(\left(-\frac{5\sqrt6}{4},\;\frac{5\sqrt6}{4},\;-\frac{5}{2}\right)\)","correct":false},{"id":3943,"text":"\(\left(\frac{5\sqrt6}{4},\;-\frac{5\sqrt6}{4},\;\frac{5}{2}\right)\)","correct":false},{"id":3944,"text":"\(\left(-\frac{5\sqrt2}{4},\;\frac{5\sqrt2}{4},\;\frac{5}{2}\right)\)","correct":false}]},{"id":987,"type":"single_choice","question":"Wähle die richtige Antwortmöglichkeit aus.","context":"Für einen Punkt \(P\) im Raum gilt: Er hat Kugelradius \(r=7\) und den Polarwinkel \(\theta=120^\circ\). Der Azimutwinkel \(\varphi\) ist unbekannt. Welche Aussage über die kartesische \(z\)-Koordinate ist korrekt? Wähle genau eine Antwort.","explanation":"Hier ist \(\varphi\) unbekannt. Du suchst deshalb eine Aussage, die ohne \(\varphi\) auskommt. Bei Kugelkoordinaten gilt für die Umrechnung: \(z=r\cos(\theta)\). In dieser Formel kommt \(\varphi\) nicht vor. Die Höhe hängt nur von Radius und Polarwinkel ab. Mit \(r=7\) und \(\theta=120^\circ\) gilt deshalb: \(z=7\cos(120^\circ)\). Damit ist die richtige Antwort: \(z=7\cos(120^\circ)\) Wenn du sehen willst, warum \(z\) nur von \(\theta\) abhängt, schau ab Minute 03:15 im aktuellen Video.","hint":"Überlege, welche Kugelkoordinate nur von \(r\) und \(\theta\) abhängt und nicht von \(\varphi\). Nutze dann die passende Umrechnungsformel. Ab Minute 03:15 im aktuellen Video wird erklärt, wie \(z\) aus \(r\) und \(\theta\) entsteht.","answers":[{"id":3945,"text":"\(z=7\sin(120^\circ)\)","correct":false},{"id":3946,"text":"\(z=7\cos(120^\circ)\)","correct":true},{"id":3947,"text":"\(z=7\tan(120^\circ)\)","correct":false},{"id":3948,"text":"\(z=7\cos(\varphi)\)","correct":false}]},{"id":988,"type":"single_choice","question":"Wähle die richtige Antwortmöglichkeit aus.","context":"Ein Punkt \(P\) hat Kugelkoordinaten \((r,\theta,\varphi)\) mit \(r>0\) und \(0^\circ<\theta<180^\circ\). Du weißt außerdem: \(x=y\) und \(x\neq 0\). Welche Bedingung muss dann für den Azimutwinkel \(\varphi\) gelten? Wähle genau eine Antwort.","explanation":"Du nutzt die Umrechnung von Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten: \(x=r\sin(\theta)\cos(\varphi)\) \(y=r\sin(\theta)\sin(\varphi)\) Gegeben ist \(x=y\) und zusätzlich \(x\neq 0\). Außerdem gilt \(r>0\) und \(0^\circ<\theta<180^\circ\). Damit ist \(\sin(\theta)>0\) und somit \(r\sin(\theta)\neq 0\). 1. Schritt: Gleichung \(x=y\) einsetzen \(r\sin(\theta)\cos(\varphi)=r\sin(\theta)\sin(\varphi)\) 2. Schritt: Gemeinsamen Faktor kürzen Da \(r\sin(\theta)\neq 0\) gilt, darfst du durch \(r\sin(\theta)\) teilen: \(\cos(\varphi)=\sin(\varphi)\) 3. Schritt: Winkelbedingung lösen \(\cos(\varphi)=\sin(\varphi)\) gilt genau dann, wenn \(\varphi=45^\circ\) oder \(\varphi=225^\circ\). Damit ist die richtige Antwort: \(\varphi=45^\circ\) oder \(\varphi=225^\circ\) Die nötigen Umrechnungsformeln findest du ab Minute 03:05 im aktuellen Video.","hint":"Schreibe \(x\) und \(y\) mit Kugelkoordinaten als \(x=r\sin(\theta)\cos(\varphi)\) und \(y=r\sin(\theta)\sin(\varphi)\). Setze dann \(x=y\) ein und nutze, dass \(r\sin(\theta)\neq 0\) gilt. Ab Minute 03:05 im aktuellen Video werden die Formeln für \(x\) und \(y\) gezeigt.","answers":[{"id":3949,"text":"\(\varphi=0^\circ\) oder \(\varphi=180^\circ\)","correct":false},{"id":3950,"text":"\(\varphi=45^\circ\) oder \(\varphi=225^\circ\)","correct":true},{"id":3951,"text":"\(\varphi=90^\circ\) oder \(\varphi=270^\circ\)","correct":false},{"id":3952,"text":"\(\varphi=135^\circ\) oder \(\varphi=315^\circ\)","correct":false}]},{"id":989,"type":"single_choice","question":"Wähle die richtige Antwortmöglichkeit aus.","context":"Ein Punkt \(P\) hat die kartesischen Koordinaten \((x,y,z)=(3,\,-3,\,3)\). Du beschreibst ihn mit Kugelkoordinaten. Dabei ist \(\theta\) der Polarwinkel zur positiven \(z\)-Achse. Welchen exakten Wert hat \(\cos(\theta)\)? Wähle genau eine Antwort.","explanation":"Du suchst \(\cos(\theta)\). Dafür nutzt du die Beziehung zwischen Kugelkoordinaten und der \(z\)-Koordinate: \(z=r\cos(\theta)\). Daraus folgt \(\cos(\theta)=\frac{z}{r}\). 1. Schritt: Radius \(r\) berechnen \(r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{3^2+(-3)^2+3^2}=\sqrt{9+9+9}=\sqrt{27}=3\sqrt3\) 2. Schritt: \(\cos(\theta)\) berechnen \(\cos(\theta)=\frac{z}{r}=\frac{3}{3\sqrt3}=\frac{1}{\sqrt3}\) Damit ist die richtige Antwort: \(\frac{1}{\sqrt3}\) Wenn du die Formel \(z=r\cos(\theta)\) nochmal nachschlagen willst, schau ab Minute 03:15 im aktuellen Video.","hint":"Berechne zuerst den Abstand \(r\) des Punkts vom Ursprung mit \(r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\). Nutze danach \(z=r\cos(\theta)\), damit du \(\cos(\theta)\) ausrechnen kannst. Ab Minute 03:15 im aktuellen Video wird die Beziehung \(z=r\cos(\theta)\) erklärt.","answers":[{"id":3953,"text":"\(\frac{1}{\sqrt2}\)","correct":false},{"id":3954,"text":"\(\frac{1}{\sqrt3}\)","correct":true},{"id":3955,"text":"\(\frac{1}{3}\)","correct":false},{"id":3956,"text":"\(\frac{\sqrt2}{3}\)","correct":false}]},{"id":990,"type":"single_choice","question":"Wähle die richtige Antwortmöglichkeit aus.","context":"Ein Punkt hat Kugelkoordinaten \((r,\theta,\varphi)\) mit \(r>0\). Er liegt in der \(xy\)-Ebene. Welche Bedingung muss dann für den Polarwinkel \(\theta\) gelten? Wähle genau eine Antwort.","explanation":"Ein Punkt liegt in der \(xy\)-Ebene, wenn \(z=0\) gilt. In Kugelkoordinaten ist \(z=r\cos(\theta)\). Da \(r>0\) ist, kann \(r\cos(\theta)=0\) nur gelten, wenn \(\cos(\theta)=0\). Das ist genau bei \(\theta=90^\circ\) der Fall. Damit ist die richtige Antwort: \(\theta=90^\circ\) Die Beziehung \(z=r\cos(\theta)\) findest du ab Minute 03:15 im aktuellen Video.","hint":"Ein Punkt liegt in der \(xy\)-Ebene genau dann, wenn seine \(z\)-Koordinate null ist. Schreibe \(z\) in Kugelkoordinaten als \(z=r\cos(\theta)\) und nutze \(r>0\). Ab Minute 03:15 im aktuellen Video wird diese Formel hergeleitet.","answers":[{"id":3957,"text":"\(\theta=0^\circ\)","correct":false},{"id":3958,"text":"\(\theta=45^\circ\)","correct":false},{"id":3959,"text":"\(\theta=90^\circ\)","correct":true},{"id":3960,"text":"\(\theta=180^\circ\)","correct":false}]},{"id":978,"type":"question_and_answer","question":"Gib die richtige Antwort ein.","context":"Ein Satellit wird in einem 3D-Modell durch Kugelkoordinaten beschrieben. Seine Position hat den Radius \(r=10\), den Polarwinkel \(\theta=60^\circ\) und den Azimutwinkel \(\varphi=30^\circ\). Berechne die kartesische \(y\)-Koordinate. Gib nur den Zahlenwert an. Runde dein Endergebnis auf 2 Nachkommastellen.","explanation":"Gesucht ist die kartesische \(y\)-Koordinate zu den Kugelkoordinaten \((r,\theta,\varphi)\). 1) Zuerst bestimmst du den Abstand der Punktprojektion in der \(xy\)-Ebene vom Ursprung. Dieser Abstand ist \(r\sin(\theta)\). \(r\sin(\theta)=10\cdot\sin(60^\circ)=10\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 8{,}66\). 2) Der \(y\)-Anteil ist diese Länge mal \(\sin(\varphi)\). \(y=(r\sin\theta)\sin\varphi=8{,}66\cdot\sin(30^\circ)=8{,}66\cdot 0{,}5=4{,}33\). Die \(y\)-Koordinate ist also \(4{,}33\). Wenn du die Schritte nochmal nachsehen willst, schau im Video die Umrechnung in kartesische Koordinaten ab Minute 03:05 an.","hint":"Überlege zuerst, wie lang die Projektion des Radiusvektors in der \(xy\)-Ebene ist. Diese Länge berechnest du aus \(r\) und \(\theta\). Danach zerlegst du diese Länge mit dem Winkel \(\varphi\) in einen \(x\)- und einen \(y\)-Anteil. Wenn du festhängst, schau dir im Video die Umrechnungsformeln ab Minute 03:05 an.","answer":"4,33"},{"id":979,"type":"question_and_answer","question":"Gib die richtige Antwort ein.","context":"In einem Computermodell ist ein Punkt durch Kugelkoordinaten gegeben: \(r=12\), \(\theta=45^\circ\), \(\varphi=120^\circ\). Bestimme den Wert von \(x+z\) in kartesischen Koordinaten. Gib nur den Zahlenwert an. Runde dein Endergebnis auf 2 Nachkommastellen.","explanation":"Du suchst \(x+z\). Dafür berechnest du zuerst \(x\) und \(z\) aus den Kugelkoordinaten. 1) Berechne \(z\): \(z=r\cos(\theta)=12\cdot\cos(45^\circ)=12\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 8{,}49\). 2) Berechne \(x\): Zuerst \(r\sin(\theta)=12\cdot\sin(45^\circ)=12\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 8{,}49\). Dann \(x=r\sin(\theta)\cos(\varphi)=8{,}49\cdot\cos(120^\circ)=8{,}49\cdot(-0{,}5)=-4{,}25\). 3) Addiere: \(x+z=-4{,}25+8{,}49=4{,}24\). Damit ist \(x+z=4{,}24\). Zum Nachvollziehen hilft im Video die Stelle mit den Umrechnungsformeln ab Minute 03:05.","hint":"Rechne den Punkt in kartesische Koordinaten um. Dafür berechnest du getrennt \(x=r\sin(\theta)\cos(\varphi)\) und \(z=r\cos(\theta)\). Addiere danach beide Ergebnisse. Wenn du die Formeln suchst, schau im Video ab Minute 03:05 nach.","answer":"4,24"},{"id":980,"type":"question_and_answer","question":"Gib die richtige Antwort ein.","context":"Ein Punkt \(P\) liegt im Raum. Du kennst seine kartesischen Koordinaten: \(x=3\), \(y=3\), \(z=3\). Bestimme den Polarwinkel \(\theta\) in Grad. Dabei ist \(\theta\) der Winkel zwischen der positiven \(z\)-Achse und der Strecke vom Ursprung zu \(P\). Runde dein Endergebnis auf 2 Nachkommastellen und gib nur den Zahlenwert an.","explanation":"Der Polarwinkel \(\theta\) erfüllt in Kugelkoordinaten \(z=r\cos(\theta)\). Daraus folgt \(\cos(\theta)=\frac{z}{r}\). 1) Abstand \(r\) vom Ursprung berechnen: \(r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{3^2+3^2+3^2}=\sqrt{27}\approx 5{,}20\). 2) \(\cos(\theta)\) bestimmen: \(\cos(\theta)=\frac{z}{r}=\frac{3}{5{,}20}\approx 0{,}58\). 3) Winkel berechnen: \(\theta=\arccos(0{,}58)\approx 54{,}74^\circ\). Der Polarwinkel ist also \(54{,}74\). Wenn du den Zusammenhang \(z=r\cos(\theta)\) wiederholen willst, schau im Video ab Minute 03:20 nach.","hint":"Berechne zuerst den Radius \(r\) als Abstand vom Ursprung. Dann nutzt du \(\cos(\theta)=\frac{z}{r}\). Danach bestimmst du \(\theta\) mit \(\arccos\). Wenn du den Zusammenhang von \(z\), \(r\) und \(\theta\) suchst, schau im Video ab Minute 03:20 nach.","answer":"54,74"},{"id":981,"type":"question_and_answer","question":"Gib die richtige Antwort ein.","context":"Ein Sensor zeigt für einen Punkt im Raum die Kugelkoordinaten \(r=9\) und \(\theta=60^\circ\). Wie groß ist der Abstand der Projektion dieses Punktes in die \(xy\)-Ebene vom Ursprung? Drücke ihn in kartesischen Koordinaten als \(\sqrt{x^2+y^2}\) aus. Gib nur den Zahlenwert an. Runde dein Endergebnis auf 2 Nachkommastellen.","explanation":"Gesucht ist \(\sqrt{x^2+y^2}\). Das ist der Abstand der Punktprojektion in der \(xy\)-Ebene vom Ursprung. In Kugelkoordinaten ist genau dieser Abstand \(\rho=r\sin(\theta)\). Einsetzen: \(\rho=9\cdot\sin(60^\circ)=9\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 7{,}79\). Der Abstand der Projektion in die \(xy\)-Ebene ist also \(7{,}79\). Wenn du sehen willst, warum das \(r\sin(\theta)\) ist, schau im Video ab Minute 03:00 nach.","hint":"Der gesuchte Abstand in der \(xy\)-Ebene ist nicht \(r\), sondern die „Grundkreis-Länge“. Diese Länge berechnest du mit \(r\sin(\theta)\). Die passende Stelle dazu findest du im Video ab Minute 03:00.","answer":"7,79"},{"id":982,"type":"question_and_answer","question":"Gib die richtige Antwort ein.","context":"Ein Punkt im Raum ist durch Kugelkoordinaten gegeben: \(r=8\), \(\theta=120^\circ\), \(\varphi=45^\circ\). Berechne die kartesische \(z\)-Koordinate. Gib nur den Zahlenwert an.","explanation":"Für die Umrechnung in kartesische Koordinaten gilt für die Höhe: \(z=r\cos(\theta)\). Einsetzen: \(z=8\cdot\cos(120^\circ)=8\cdot(-0{,}5)=-4\). Die \(z\)-Koordinate ist also \(-4\). Wenn du die Formel nochmal nachsehen willst, schau im Video ab Minute 03:18 nach.","hint":"Für \(z\) brauchst du nur \(r\) und \(\theta\). Nutze \(z=r\cos(\theta)\). Achte darauf, dass \(\theta\) größer als \(90^\circ\) ist. Dann ist \(\cos(\theta)\) negativ. Die passende Stelle findest du im Video ab Minute 03:18.","answer":"-4"}]}]},"resultConfig":{"nextVideoPath":"/mathematik/kollinear-3772"},"sessionKey":"video-1519"}