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Gradient berechnen

Wichtige Inhalte in diesem Video

Definition: Gradient

Schreibweise – Nabla-Operator

Bedeutung des Gradienten

Gradient und Totale Ableitung

Gradientenvektor als Richtung des stärksten Anstiegs

Beispiel 1 – Gradient berechnen

Funktionen in der mehrdimensionalen Analysis können von verschiedenster Form sein. Funktionen, die aus dem $\mathbb{R}^n$ in den $\mathbb{R}^m$ abbilden, werden als Vektorfeld bezeichnet. Bilden sie hingegen von dem $\mathbb{R}^n$ in die Menge der reellen Zahlen $\mathbb{R}$ ab, heißen sie Skalarfeld. Für ein solches Skalarfeld ist der Gradient in der Mathematik definiert.

Inhaltsübersicht

Definition: Gradient

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Sei $U\subset\mathbb{R}^n$ eine offene Menge und die Funktion $f:U\longrightarrow\mathbb{R}$ partiell differenzierbar. Dann ist der Gradient von an der Stelle $x_0\in U$ der folgende Vektor:

$grad(f)\left(x_0\right) = \left( \begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x_1}\left(x_0\right)\\\ \vdots\\\ \frac{\partial f}{\partial x_n}\left(x_0\right)\end{array}\right)$

Merke

Er ist also der Spaltenvektor, dessen Einträge die ersten partiellen Ableitungen der Funktion

nach den

verschiedenen Variablen an der Stelle x_0

x_0

sind.

Schreibweise – Nabla-Operator

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Häufig wird der Gradient einer Funktion auch mithilfe des Nabla-Operators notiert. Der Nabla-Operator ist folgendermaßen definiert:

$\nabla = \left( \begin{array}{c} \frac{\partial}{\partial x_1} \\\ \vdots \\\ \frac{\partial}{\partial x_n} \end{array}\right)$

Wird der Nabla-Operator auf eine Funktion angewandt, so ergibt das den Gradienten der Funktion:

$grad(f)\left(x_0\right)=\nabla f\left(x_0\right) = \left( \begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x_1}\left(x_0\right) \\\ \vdots \\\ \frac{\partial f}{\partial x_n}\left(x_0\right) \end{array}\right)$

Häufig wird demzufolge der Gradient von an der Stelle x_0 auch als Nabla f von bezeichnet.

Bedeutung des Gradienten

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Dem Gradienten einer Funktion kommen mehrere Bedeutungen zu, die allerdings eng miteinander verknüpft sind.

Gradient und Totale Ableitung

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Zunächst einmal fällt auf, dass der Gradient $\nabla f\left(x_0\right)$ der Funktion $f:\mathbb{R}^n\supset\ U\longrightarrow\mathbb{R}$ als Spaltenvektor dieselben Einträge besitzt wie die totale Ableitung $Df\left(x_0\right)\$ (bzw. die Jacobi-Matrix $J_f\left(x_0\right)$ von . Diese ist allerdings streng genommen ein Zeilenvektor und so ist der Gradient $\nabla f\left(x_0\right)$ gerade Transponierte der totalen Ableitung $Df\left(x_0\right)$ :

$\mathrm{\nabla\ f}\left(x_0\right)=\left(Df\left(x_0\right)\right)^T$

Gradientenvektor als Richtung des stärksten Anstiegs

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Der Gradient der Funktion $f:\mathbb{R}^n\supset\ U\longrightarrow\mathbb{R}$ an der Stelle x_0 gibt außerdem die Richtung an, in welche der Funktionswert von ausgehend vom Punkt x_0 am stärksten ansteigt.

Gradient einer Funktion, Gradientenfelnd, mehrdimensionale Funktion, mehrdimensionaler Graph, dreidimensionaler Graph — Gradientenvektor als Richtung des steilsten Anstiegs (rote Pfeile) einer Funktion (blauer Graph)

Dies lässt sich mithilfe des Zusammenhangs zwischen Gradienten und den Richtungsableitungen zeigen, welcher im Folgenden erläutert werden soll.

Gradient und Richtungsableitungen

Die Richtungsableitung der Funktion $f:\mathbb{R}^n\supset\ U\longrightarrow\mathbb{R}$ an der Stelle $x_0\in\ U$ in die Richtung $v{\in\mathbb{R}}^n$ mit $\parallel\ v\parallel=1$ ist definiert als:

$D_vf\left(x\right):=\lim\limits_{t\rightarrow0}{\frac{f\left(x_0+tv\right)-f\left(x_0\right)}{t}}$

Es lässt sich folgender Zusammenhang zwischen Gradienten und den Richtungsableitungen zeigen:

Ist die Funktion $f:\mathbb{R}^n\supset\ U\longrightarrow\mathbb{R}$ stetig differenzierbar, so gilt für alle $x_0\in\ U$ und jeden Vektor $v{\in\mathbb{R}}^n$ mit $\parallel\ v\parallel=1$ :

$D_vf\left(x\right)=<v,\ \mathrm{\nabla\ f}\left(x_0\right)>$

Die Richtungsableitung von an der Stelle x_0 in Richtung lässt sich also als Skalarprodukt von und dem Gradienten $\mathrm{\nabla\ f}\left(x_0\right)$ von an der Stelle x_0 berechnen.

Um die Richtung $v_{max}$ zu erhalten, in die die Ableitung am größten ist, muss also dieses Skalarprodukt maximal sein. Das ist genau dann der Fall, wenn parallel zum Gradienten $\mathrm{\nabla\ f}\left(x_0\right)$ ist. Das bedeutet gerade, dass der Gradient in die Richtung des maximalen Anstiegs zeigt.

Beispiel 1 – Gradient berechnen

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Wie die Berechnung des Gradienten einer Funktion konkret aussieht, soll anhand der Funktion

$f\left(x,y\right)=e^{5x}+sin\left(2y\right)$

gezeigt werden. Der Gradient soll hierbei allgemein an der Stelle $\left(x,y\right)$ bestimmt werden. Für die Einträge des Gradienten müssen also die partiellen Ableitungen der Funktion an dieser Stelle berechnet werden. Diese lauten wie folgt:

$\frac{\partial f}{\partial x}\left(x,\ y\right)={5e}^{5x}$

$\frac{\partial f}{\partial y}\left(x,\ y\right)= 2cos(2y)$

Das bedeutet, dass der Gradient folgendermaßen aussieht:

$grad (f)\left(x,y\right)=\nabla f\left(x,y\right) = \left( \begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x}\left(x,\ y\right) \\ \frac{\partial f}{\partial y}\left(x,\ y\right)\\ \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} {5e}^{5x} \\ 2cos(2y) \end{array}\right)$

Anhand dieses Beispiels soll nochmal die Bedeutung des Gradienten verdeutlicht werden. Der Graph der betrachteten Funktion kann nämlich als dreidimensional Hügellandschaft $\left(x,\ y,\ z\right)=\left(x,\ y,\ f\left(x,y\right)\right)$ interpretiert werden.

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Hier wird ein Graph der Funktion $f\left(x,y\right)=e^{5x}+sin\left(2y\right)$ (blau) mit Veranschaulichung des Gradientenvektors (rot) an der Stelle $\left(x,\ y\right)=\left(0,\ 0\right)$ gezeigt.

Wird dann der Gradient beispielsweise an der Stelle $\left(x,\ y\right)=\left(0,\ 0\right)$ betrachtet, so gilt:

$grad(f)\left(0,\ 0\right)= \left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \\ \end{array}\right)$

Das bedeutet, dass vom Ursprung $\left(x,\ y\right)=\left(0,\ 0\right)$ ausgehend die Hügellandschaft in Richtung des Vektors $\left( \begin{array}{c} 5 \\ 2 \end{array}\right)$ am stärksten ansteigt.

Beispiel 2 – Gradient berechnen

Nun soll ein weiteres Beispiel aus der Praxis betrachtet werden. Es soll das elektrische Potential $\phi$ im Inneren eines Plattenkondensators betrachtet werden. Die beiden Platten sollen dabei die Fläche besitzen un die eine Platte in der y-z -Ebene liegen, während die andere in -Richtung dazu verschoben ist. Außerdem soll der Kondensator die Ladung tragen. Für das elektrische Potential $\phi$ im Inneren der Platten gilt dann:

$\phi\left(x,y,z\right)=\frac{Q\cdot x}{\varepsilon_0\cdot A}$

Der Gradient berechnet sich zu:

$grad(\phi)\left(x,y,z\right)\ =\nabla\phi\left(x,y,z\right)\ =\left( \begin{array}{c} \frac{Q}{\varepsilon_0A} \\\ 0 \\\ 0 \end{array}\right)$

Das bedeutet, dass das elektrische Potential des Plattenkondensators in -Richtung am stärksten ansteigt. Da die elektrische Feldstärke $\vec{E}$ der negative Gradient des elektrischen Potentials ist, zeigt dieses im betrachteten Plattenkondensator in negative -Richtung.

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