Mathe Grundlagen

Ableitung Sinus

In diesem Artikel zeigen wir dir, wie du die Ableitung Sinus bestimmst und in welchem Zusammenhang sie mit dem Cosinus steht. Dafür wiederholen wir nochmal kurz die Kettenregel und zeigen dir viele Beispiele.

Du möchtest schnell verstehen, wie du jeden Sinus ableiten kannst? Kein Problem. Schau dir einfach unser Video dazu an.

Inhaltsübersicht

Ableitung Sinus einfach erklärt

Die Ableitung des Sinus ist sehr einfach, sie ist einfach der Cosinus:

Ableitung der Sinusfunktion

f(x)=\sin(x) \quad \rightarrow \quad f'(x)=\cos(x).

Ableitung Sinus - Graph Sinus ableiten sin Ableitung
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Ableitung Sinus – Graph

Am besten du prägst dir diese Ableitung von sin(x) sehr gut ein.

Sinus Ableitung mit Kettenregel

Wenn du anstatt nur x einen komplizierteren Ausdruck im Sinus stehen hast, wie zum Beispiel bei f(x) =\sin(3x^2+x), benötigst du die Kettenregel , um die sin Ableitung zu bestimmen.

Dafür identifizierst du die innere Funktion h(x) und die äußere Funktion g(x) der verketteten Funktion:

f(x)=g(h(x)).

Im Anschluss daran bestimmst du deren Ableitungen h'(x) und g'(x) und setzt sie zusammen mit h(x) in die Formel der Kettenregel ein

f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x).

Dieses Vorgehen wollen wir nun anhand zweier Beispiele einüben.

Beispiel 1

Möchtest du also die Funktion

f(x)=\sin(3x^2+x)

ableiten, bestimmst du zunächst die

  • innere Funktion h(x) und Ableitung h'(x):

h(x)= 3x^2+x \quad \rightarrow \quad h'(x)= 6x+1

  • äußere Funktion g(x) und Ableitung g'(x):

g(x)=\sin(x) \quad \rightarrow \quad g'(x)= \cos(x).

Dabei hast du für die innere Ableitung die Potenz- und Faktorregel verwendet.

Als nächstes setzt du die Ableitungen h'(x) und g'(x) zusammen mit h(x) in die Formel der Kettenregel ein. Das liefert dir als Ergebnis:

f'(x)= g'(h(x))\cdot h'(x)

                   = \cos( h(x) ) \cdot h'(x)

                                  = \cos(3x^2+x) \cdot (6x+1).

Beispiel 2

Um das Vorgehen noch etwas zu vertiefen, betrachten wir ein weiteres Beispiel zur Ableitung von Sinus, hierfür diene die folgende Funktion

f(x) =  \sin^2(x)= (\sin(x))^2.

Für die Ableitung \sin^2 bestimmst du erneut die

  • innere Funktion h(x) und Ableitung h'(x):

h(x)= \sin(x) \quad \rightarrow \quad h'(x)= \cos(x)

  • äußere Funktion g(x) und Ableitung g'(x):

g(x)=x^2 \quad \rightarrow \quad g'(x)= 2x.

Nun setzt du deine Ergebnisse in die Formel der Kettenregel ein und erhältst damit die Ableitung

f'(x)= g'(h(x))\cdot h'(x)

                 = 2\sin(x) \cdot \cos(x).

Im Folgenden sehen wir uns den Zusammenhang zwischen der Sinus Ableitung und dem Cosinus an.

Ableitung Sinus Cosinus

Die Ableitung von cos(x) entspricht dem negativen sin(x):

f(x)=\cos(x) \quad \rightarrow \quad f'(x)=-\sin(x).

Leitest du nun -\sin(x) erneut ab, erhältst du -\cos(x). Führst du dieses sin cos Ableiten fort, bekommst du nach insgesamt viermaligem Ableiten wieder die anfängliche Funktion sin(x):

\sin(x) \xrightarrow{\text{ableiten}} \cos(x) \xrightarrow{\text{ableiten}} -\sin(x) \xrightarrow{\text{ableiten}} -\cos(x) \xrightarrow{\text{ableiten}} \sin(x).

Wie du siehst, ist die Sinus Cosinus Ableitung nicht besonders schwer. Du musst lediglich aufpassen, dass du die Ableitungen nicht verwechselst.

Ableitung Sinus Beispiele

Nun kann es natürlich auch sein, das du, anders als beim \sin^2 Ableiten, neben der Kettenregel und der Potenz- und Faktorregel, noch weitere Ableitungsregeln benötigst. In der folgenden Tabelle sind einige solcher Beispiele in Kombination mit Ableitung Sinus.

Ableitungsregel Funktion Ableitung
Summenregel f(x)=g(x)+h(x)

 

f(x)=\sin(3x)+\sin(x)

f'(x)=g'(x)+h'(x)

 

f'(x)=3\cos(3x)+\cos(x) 

Differenzregel f(x)=g(x)-h(x)

 

f(x)=\sin(x)-\sin(x^2)

f'(x)=g'(x)-h'(x)

 

f'(x)=\cos(x)-\cos(x^2)\cdot 2x

Produktregel f(x)=g(x)\cdot h(x)

 

f(x)=\sin(-x)\cdot 3x^2

f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)

 

f'(x)=-\cos(x)\cdot 3x^2 + \sin(-x) \cdot 6x

Quotientenregel f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}

 

f(x)=\frac{\sin(x)}{x^2+1}

f'(x)=\frac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{[h(x)]^2}

 

f'(x)=\frac{\cos(x)\cdot (x^2+1)- \sin(x) \cdot 2x}{(x^2+1)^2}

Faktorregel f(x)=a\cdot g(x)

 

f(x)=4 \cdot \sin(x)

f'(x)=a \cdot g'(x)

 

f'(x)=4 \cdot \cos(x)

Potenzregel f(x)=x^n

 

f(x)=\sin^4(x)

f'(x)=n \cdot x^{n-1}

 

f'(x)=4 \cdot \sin^3(x) \cdot \cos(x)

Weitere Funktionen und Ableitungen

Genauso gut wie die Ableitung von sin x, solltest du dir auch die Ableitungen der folgenden Funktionen einprägen.

  Funktion Ableitung
Ableitung Cosinus f(x)=\cos(x) f'(x)=-\sin(x)
Ableitung Tangens f(x)=\tan(x) f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}
Wurzel ableiten f(x)=\sqrt{x} f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
ln ableiten f(x)=\ln(x) f'(x)=\frac{1}{x}
e Funktion ableiten f(x)=e^x f'(x)=e^x

Ableitung Sinus Herleitung

Anstatt dir die Ableitung der Sinusfunktion zu merken, kannst du sie dir auch herleiten, wenn du sin ableiten möchtest.

Dafür kannst du die h-Methode zur Darstellung der Ableitung nutzen:

f(x)=\sin(x)

           \rightarrow f'(x)= \lim\limits_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

                                  = \lim\limits_{h\to 0} \frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}

Wendest du nun das Additionstheorem \sin(x+h)=\sin(x)\cdot \cos(h)+\cos(x)\cdot \sin(h) an, kannst du den Bruch im Zähler folgendermaßen umschreiben:

f'(x)=  \lim\limits_{h\to 0} \frac{ \sin(x)\cdot \cos(h)+\cos(x)\cdot \sin(h) -\sin(x)}{h}

Jetzt klammerst du \sin(x) aus und erhältst

f'(x)= \lim\limits_{h\to 0} \frac{ \sin(x)(\cos(h)-1)+\cos(x)\cdot \sin(h)}{h}

Als nächstes spaltest du den Bruch in zwei Brüche auf und betrachtest damit zwei separate Grenzwerte.

f'(x)= \lim\limits_{h\to 0} \frac{ \sin(x)(\cos(h)-1)}{h}+ \lim\limits_{h\to 0} \frac{\cos(x)\cdot \sin(h)}{h}

Da \sin(x) und \cos(x) nicht von der Variable h abhängen, kannst du sie jeweils aus dem Grenzwert ziehen:

f'(x)= \sin(x) \cdot \lim\limits_{h\to 0} \frac{\cos(h)-1}{h}+ \cos(x)\cdot \lim\limits_{h\to 0} \frac{ \sin(h)}{h}

Nun hast du beim Erreichen der Grenze h=0 zweimal den unbestimmten Ausdruck \frac{0}{0}. Denn \cos(0)-1=0 und \sin(0)=0.

In so einem Fall kannst du die Regel von l’Hospital anwenden, um die Grenzwerte zu berechnen. Sie sagt aus, dass

\lim \limits_{h\to 0} \frac{u(h)}{v(h)} = \lim \limits_{h \to 0} \frac{u'(h)}{v'(h)}

und liefert dir damit:

\lim \limits_{h\to 0} \frac{\cos(h)-1}{h}= \lim \limits_{h\to 0} \frac{-\sin(h)}{1}=-\sin(0)=0

\lim \limits_{h\to 0}\frac{ \sin(h)}{h} = \lim \limits_{h\to 0} \frac{\cos(h)}{1}=\cos(0)=1.

Setzt du nun die berechneten Grenzwerte in die Funktion f'(x) ein, bekommst du schließlich als Ergebnis:

f'(x)= \sin(x) \cdot 0 +\cos(x) \cdot 1 = \cos(x).

Damit hast du dir die Ableitung Sinus hergeleitet.

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