Mathe Grundlagen
Ableitung von Funktionen
 – Video

In diesem Artikel zeigen wir dir, wie du die Ableitung vom Sinus bestimmst und in welchem Zusammenhang sie mit dem Cosinus und der Kettenregel steht. Du möchtest schnell verstehen, wie du jeden Sinus ableiten kannst? Kein Problem. Schau dir einfach unser Video dazu an. 

Ableitung Sinus einfach erklärt

Die Ableitung vom Sinus kannst du dir leicht merken: Die Sinusfunktion f(x) = sin(x) hat die Ableitung f'(x) = cos(x)

Ableitung der Sinusfunktion

f(x) = sin(x)      →     f'(x) = cos(x)

Wenn im Sinus aber nicht nur x vorkommt, brauchst du für die Ableitung die Kettenregel . Damit kannst du beispielsweise Funktionen wie f(x) = sin(2x + 5) ableiten.

Sinus Ableitung mit Kettenregel

Die Kettenregel verwendest du immer, wenn im Sinus nicht nur x, sondern eine Funktion steht. Das ist zum Beispiel hier so:  f(x) = sin(2x + 5).

Dann gehst du in 3 Schritten vor:

  • Schritt 1: Schreibe den Cosinus hin und in den Cosinus die Funktion (innere Funktion):

f'(x) = cos(2x + 5)

  • Schritt 2: Bestimme die Ableitung der Funktion im Sinus:

(2x + 5)‘ = 2

  • Schritt 3: Schreibe die Ableitung aus Schritt 2 mit einem Malpunkt hinter den Cosinus:

f'(x) = cos(2x + 5) 2

Fertig! Den Sinus nennst du dann übrigens äußere Funktion. Schau dir gleich noch ein Beispiel dazu an.

Sinus ableiten — Beispiel

Du willst die Funktion f(x) =  sin(3x2 + x) ableiten.

  • Schritt 1: Schreibe den Cosinus hin und in den Cosinus die Funktion:

cos(3x2 + x)

3x2 + x          6x + 1

  • Schritt 3: Setze die Ableitung der ganzen Funktion zusammen:

f'(x) = cos(3x2 + x) • (6x + 1)

Ableitung vom Sinus

Die Sinusfunktion f(x) = sin(x) besitzt in ihrem gesamten Definitionsbereich eine Ableitung, ist also überall differenzierbar . Ihre Ableitungsfunktion ist die Cosinusfunktion f'(x) = cos(x).

Bei vielen Sinusfunktionen brauchst du für die Ableitung die Kettenregel.

Ableitung Sinus Cosinus

Die Ableitung von cos(x) entspricht dem negativen sin(x):

f(x) = cos(x)     →    f'(x) = -sin(x)

Leitest du nun -\sin(x) erneut ab, erhältst du -\cos(x). Führst du dieses sin cos Ableiten fort, bekommst du nach insgesamt viermaligem Ableiten wieder die anfängliche Funktion sin(x):

\sin(x) \xrightarrow{\text{ableiten}} \cos(x) \xrightarrow{\text{ableiten}} -\sin(x) \xrightarrow{\text{ableiten}} -\cos(x) \xrightarrow{\text{ableiten}} \sin(x).

Wie du siehst, ist die Sinus Cosinus Ableitung nicht besonders schwer. Du musst lediglich aufpassen, dass du die Ableitungen nicht verwechselst.

Ableitung Sinus Beispiele

Nun kann es natürlich auch sein, das du, anders als beim \sin^2 Ableiten, neben der Kettenregel und der Potenz- und Faktorregel, noch weitere Ableitungsregeln benötigst. In der folgenden Tabelle sind einige solcher Beispiele in Kombination mit Ableitung Sinus.

Ableitungsregel Funktion Ableitung
Summenregel f(x )= g(x) + h(x)

f(x) = sin(3x) + sin(x)

f'(x) = g'(x) + h'(x)

f'(x) = 3cos(3x) + cos(x)

Differenzregel f(x) = g(x) – h(x)

f(x) = sin(x) – sin(x2)

f'(x) = g'(x) – h'(x)

f'(x) = cos(x) – cos(x2) • 2x

Produktregel f(x) = g(x) • h(x)

f(x) = sin(-x) • 3x2

f'(x) = g'(x) • h(x) + g(x) • h'(x)

f'(x) = -cos(x) • 3x2 + sin(-x) • 6x

Quotientenregel f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}

f(x)=\frac{\sin(x)}{x^2+1}

f'(x)=\frac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{[h(x)]^2}

f'(x)=\frac{\cos(x)\cdot (x^2+1)- \sin(x) \cdot 2x}{(x^2+1)^2}

Faktorregel f(x) = a • g(x)

f(x) = 4 • sin(x)

f'(x) = a • g'(x)

f'(x) = 4 • cos(x)

Potenzregel f(x) = xn

f(x) = sin4(x)

f'(x) = n • xn-1

f'(x) = 4 • sin3(x) • cos(x)

Weitere Funktionen und Ableitungen

Genauso gut wie die Ableitung von sin x, solltest du dir auch die Ableitungen der folgenden Funktionen einprägen.

  Funktion Ableitung
Ableitung Cosinus f(x) = cos(x) f'(x) = -sin(x)
Ableitung Tangens f(x) = tan(x) f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}
Wurzel ableiten f(x)=\sqrt{x} f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}
ln ableiten f(x)=\ln(x) f'(x)=\frac{1}{x}
e Funktion ableiten f(x) = ex f'(x) = ex

Ableitung Sinus Herleitung

Anstatt dir die Ableitung der Sinusfunktion zu merken, kannst du sie dir auch herleiten, wenn du sin ableiten möchtest.

Dafür kannst du die h-Methode zur Darstellung der Ableitung nutzen:

f(x)=\sin(x)

           \rightarrow f'(x)= \lim\limits_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}

                                  = \lim\limits_{h\to 0} \frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}

Wendest du nun das Additionstheorem \sin(x+h)=\sin(x)\cdot \cos(h)+\cos(x)\cdot \sin(h) an, kannst du den Bruch im Zähler folgendermaßen umschreiben:

f'(x)= \lim\limits_{h\to 0} \frac{ \sin(x)\cdot \cos(h)+\cos(x)\cdot \sin(h) -\sin(x)}{h}

Jetzt klammerst du \sin(x) aus und erhältst

f'(x)= \lim\limits_{h\to 0} \frac{ \sin(x)(\cos(h)-1)+\cos(x)\cdot \sin(h)}{h}

Als nächstes spaltest du den Bruch in zwei Brüche auf und betrachtest damit zwei separate Grenzwerte.

f'(x)= \lim\limits_{h\to 0} \frac{ \sin(x)(\cos(h)-1)}{h}+ \lim\limits_{h\to 0} \frac{\cos(x)\cdot \sin(h)}{h}

Da \sin(x) und \cos(x) nicht von der Variable h abhängen, kannst du sie jeweils aus dem Grenzwert ziehen:

f'(x)= \sin(x) \cdot \lim\limits_{h\to 0} \frac{\cos(h)-1}{h}+ \cos(x)\cdot \lim\limits_{h\to 0} \frac{ \sin(h)}{h}

Nun hast du beim Erreichen der Grenze h=0 zweimal den unbestimmten Ausdruck \frac{0}{0}. Denn \cos(0)-1=0 und \sin(0)=0.

In so einem Fall kannst du die Regel von l’Hospital anwenden, um die Grenzwerte zu berechnen. Sie sagt aus, dass

\lim \limits_{h\to 0} \frac{u(h)}{v(h)} = \lim \limits_{h \to 0} \frac{u'(h)}{v'(h)}

und liefert dir damit:

\lim \limits_{h\to 0} \frac{\cos(h)-1}{h}= \lim \limits_{h\to 0} \frac{-\sin(h)}{1}=-\sin(0)=0

\lim \limits_{h\to 0}\frac{ \sin(h)}{h} = \lim \limits_{h\to 0} \frac{\cos(h)}{1}=\cos(0)=1.

Setzt du nun die berechneten Grenzwerte in die Funktion f'(x) ein, bekommst du schließlich als Ergebnis:

f'(x)= \sin(x) \cdot 0 +\cos(x) \cdot 1 = \cos(x).

Damit hast du dir die Ableitung Sinus hergeleitet.

Ableitung Tangens

Weißt du auch, wie du den Tangens ableitest ? Dafür haben wir ein eigenes Video vorbereitet!

Ableitung Tangens
zum Video: Ableitung Tangens

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