Der folgende Beitrag enthält eine Formelsammlung der Additionstheoreme von Sinus, Cosinus und Tangens, sowie deren Beweise.
Du möchtest möglichst schnell die Herleitung der Additionstheoreme verstehen? Dann schau dir am besten unser Video dazu an.
Additionstheoreme einfach erklärt
Additionstheoreme sind hilfreich, wenn man den Funktionswert einer trigonometrischen Funktion ,
oder
von der Summe bzw. Differenz zweier Argumente berechnen möchte und den der einzelnen Argumente bereits kennt.
Additionstheoreme Sinus
Additionstheoreme Cosinus
Additionstheoreme Tangens
Additionstheoreme Beweis
Für die Herleitung der Additionstheoreme verwenden wir die folgende Charakterisierung von Sinus und Cosinus, welche sich aus der Eulerformel ergibt
Additionstheoreme Sinus
Wir wollen zeigen, dass gilt
.
Dafür betrachten wir
und
.
Berechnen wir die Summe der beiden Terme, ergibt sich
.
Analog können wir die Differenz der Terme berechnen und erhalten
.
Damit sind die Theoreme für die Sinus Funktion gezeigt.
Additionstheoreme Cosinus
Um die oben beschriebenen Additionstheoreme des Cosinus zu beweisen, betrachten wir
und
.
Bilden wir die Differenz der beiden Terme, erhalten wir
.
Analog gilt für die Summe
.
Somit haben wir die Theoreme für den Cosinus bewiesen.
Addititonstheoreme Tangens
Wir wollen zeigen, dass gilt
.
Hierfür betrachten wir zunächst den Zähler .
Mit der Definition von Tangens erhalten wir hier
Wir können jetzt das bereits bewiesene Additionstheorem für Sinus anwenden, welches uns
liefert. Nun betrachten wir den Nenner und erhalten mit dem bereits bewiesenen Additionstheorem für Cosinus
.
Bilden wir den Quotienten ergibt sich schließlich
,
was zu zeigen war. Das zweite Additionstheorem des Tangens wird analog zum ersten bewiesen.