Funktionen

Additionstheoreme

Der folgende Beitrag enthält eine Formelsammlung der Additionstheoreme von Sinus, Cosinus und Tangens, sowie deren Beweise.

Du möchtest möglichst schnell die Herleitung der Additionstheoreme verstehen? Dann schau dir am besten unser Video  dazu an.

Inhaltsübersicht

Additionstheoreme einfach erklärt

Additionstheoreme sind hilfreich, wenn man den Funktionswert einer trigonometrischen Funktion \sin, \cos oder \tan von der Summe bzw. Differenz zweier Argumente berechnen möchte und den der einzelnen Argumente bereits kennt.

Additionstheoreme Sinus

\sin(a+b) = \sin(a)\cdot \cos(b) + \cos(a) \cdot \sin(b)

\sin(a-b) = \sin(a)\cdot \cos(b) - \cos(a) \cdot \sin(b)

Additionstheoreme Cosinus

\cos(a+b) = \cos(a)\cdot \cos(b) - \sin(a) \cdot \sin(b)

\cos(a-b) = \cos(a)\cdot \cos(b) + \sin(a) \cdot \sin(b)

Additionstheoreme Tangens

\tan(a+b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1-\tan(a) \cdot \tan(b)}

\tan(a-b) = \frac{\tan(a) - \tan(b)}{1+\tan(a) \cdot \tan(b)}

Additionstheoreme Beweis

Für die Herleitung der Additionstheoreme verwenden wir die folgende Charakterisierung von Sinus und Cosinus, welche sich aus der Eulerformel ergibt

\sin(a) = \frac{1}{2i} \left(e^{ia}-e^{-ia}\rigt)

\cos(a) = \frac{1}{2} \left(e^{ia}+e^{-ia}\rigt).

Additionstheoreme Sinus

Wir wollen zeigen, dass gilt

\sin(a\pm b) = \sin(a)\cdot \cos(b) \pm \cos(a) \cdot \sin(b).

Dafür betrachten wir

\sin(a)\cdot \cos(b) = \frac{1}{2i} \left(e^{ia}-e^{-ia}\rigt) \cdot \frac{1}{2} \left(e^{ib}+e^{-ib}\rigt)

                                                =\frac{1}{4i}\left(e^{i(a+b)} +e^{i(a-b)}-e^{-i(a-b)} - e^{-i(a+b)}\right)

und

\cos(a)\cdot \sin(b) = \frac{1}{2} \left(e^{ia}+e^{-ia}\rigt) \cdot \frac{1}{2i} \left(e^{ib}-e^{-ib}\rigt)

                                                 = \frac{1}{4i} \left( e^{i(a+b)} - e^{i(a-b)} + e^{-i(a-b)} - e^{-i(a+b)}\right).

Berechnen wir die Summe der beiden Terme, ergibt sich

\sin(a)\cdot \cos(b) + \cos(a)\cdot \sin(b) = \frac{1}{4i}\left(2e^{i(a+b)}- 2e^{-i(a+b)}\right)

                                                    = \frac{1}{2i}\left(e^{i(a+b)}-e^{-i(a+b)}\right)

                                 =\sin(a+b).

Analog können wir die Differenz der Terme berechnen und erhalten

\sin(a)\cdot \cos(b) - \cos(a)\cdot \sin(b) = \frac{1}{4i}\left( 2e^{i(a-b)} -2e^{-i(a-b)}\right)

                                                    = \frac{1}{2i}\left(e^{i(a-b)} -e^{-i(a-b)}\right)

                                 =\sin(a-b).

Damit sind die Theoreme für die Sinus Funktion gezeigt.

Additionstheoreme Cosinus

Um die oben beschriebenen Additionstheoreme des Cosinus  zu beweisen, betrachten wir

\cos(a)\cdot \cos(b) =  \frac{1}{2} \left(e^{ia}+e^{-ia}\rigt) \cdot  \frac{1}{2} \left(e^{ib}+e^{-ib}\rigt)

                                                 = \frac{1}{4} \left(e^{i(a+b)}+ e^{i(a-b)} + e^{-i(a-b)} + e^{-i(a+b)}\right)

und

\sin(a) \cdot \sin(b)= \frac{1}{2i} \left(e^{ia}-e^{-ia}\rigt) \cdot \frac{1}{2i} \left(e^{ib}-e^{-ib}\rigt)

                                                   = -\frac{1}{4} \left( e^{i(a+b)} -e^{i(a-b)} - e^{-i(a-b)} + e^{-i(a+b)}\right).

Bilden wir die Differenz der beiden Terme, erhalten wir

\cos(a)\cdot \cos(b) - \sin(a) \cdot \sin(b) = \frac{1}{4}\left(2e^{i(a+b)}+2e^{-i(a+b)}\right)

                                                   = \frac{1}{2}\left(e^{i(a+b)}+e^{-i(a+b)}\right)

                                 =\cos(a+b).

Analog gilt für die Summe

\cos(a)\cdot \cos(b) + \sin(a) \cdot \sin(b) = \frac{1}{4}\left(2e^{i(a-b)}+2e^{-i(a-b)}\right)

                                                   = \frac{1}{2}\left(e^{i(a-b)}+e^{-i(a-b)}\right)

                                =\cos(a-b).

Somit haben wir die Theoreme für den Cosinus bewiesen.

Addititonstheoreme Tangens

Wir wollen zeigen, dass gilt

\tan(a+b) = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1-\tan(a) \cdot \tan(b)}.

Hierfür betrachten wir zunächst den Zähler \tan(a)+\tan(b).

Mit der Definition von Tangens erhalten wir hier

\tan(a)+\tan(b) = \frac{\sin(a)}{\cos(a)} + \frac{\sin(b)}{\cos(b)}

                                           = \frac{\sin(a)\cos(b)+\sin(b)\cos(a)}{\cos(a)\cos(b)}

Wir können jetzt das bereits bewiesene Additionstheorem für Sinus anwenden, welches uns

\tan(a)+\tan(b) = \frac{\sin(a+b)}{\cos(a)\cos(b)}

liefert. Nun betrachten wir den Nenner 1-\tan(a)\tan(b) und erhalten mit dem bereits bewiesenen Additionstheorem für Cosinus

1-\tan(a)\tan(b)= 1-\frac{\sin(a)}{\cos(a)} \cdot \frac{\sin(b)}{\cos(b)}

                                         = \frac{\cos(a)\cos(b)- \sin(a)\sin(b)}{\cos(a)\cos(b)}

                        = \frac{\cos(a+b)}{\cos(a)\cos(b)}.

Bilden wir den Quotienten ergibt sich schließlich

\frac{\tan(a)+\tan(b)}{1-\tan(a)\tan(b)} = \frac{\sin(a+b)}{\cos(a)\cos(b)}\cdot \frac{\cos(a)\cos(b)}{\cos(a+b)}

= \frac{\sin(a+b)}{\cos(a+b)}

       = \tan(a+b)},

was zu zeigen war. Das zweite Additionstheorem des Tangens wird analog zum ersten bewiesen.

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