Wie weiß ich, für welche x-Werte und überhaupt definiert sind?

ist nur für definiert, und bei muss der Term ebenfalls positiv sein. Das liegt daran, dass der natürliche Logarithmus nur von positiven Zahlen existiert. Zum Beispiel ist nur für oder erlaubt.

Wie leite ich richtig ab?

hat die Ableitung für alle . Das klappt, weil bei der Kettenregel ist und sich das mit aus der ln-Ableitung kürzt. Beispiel: Für gilt auch .

Welche typischen Fehler passieren bei der Kettenregel bei am häufigsten?

Der häufigste Fehler ist, die innere Ableitung zu vergessen und nur zu schreiben. Außerdem wird der Term im Nenner oft falsch abgeschrieben oder vereinfacht, bevor abgeleitet wird. Beispiel: Aus wird dann fälschlich statt .

Wie leite ich ab, ohne alles auszumultiplizieren?

Du kannst die Logarithmusregel nutzen: , und dann getrennt ableiten. Dadurch wird es oft einfacher, weil du nur Kettenregel auf zwei ln-Terme anwendest. Beispiel: (für ).

Was ist der Unterschied zwischen und beim Ableiten?

ist der Logarithmus zur Basis und hat die Ableitung . meint je nach Kontext oft den Zehnerlogarithmus und hat dann die Ableitung . Deshalb solltest du bei „log“ immer klären, welche Basis gemeint ist.

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Ableitung ln

Ln-Funktionen sind Logarithmusfunktionen mit der Basis e. Wie du davon die Ableitung bildest, erfährst du hier und im Video!

Inhaltsübersicht

Ableitung ln einfach erklärt

Die Ableitung vom natürlichen Logarithmus ln(x) kannst du dir ganz leicht merken:

$f(x)=\ln(\textcolor{blue}{x}) \quad \rightarrow \quad f'(x)=\frac{1}{\textcolor{blue}{x}}$

Beispielsweise wäre die Ableitung der Funktion f(x) = ln(4) der Bruch $f'(x) = \frac{1}{\textcolor{blue}{4}}$ .

Ln ableiten, ln Ableitung Graph — ln(x) Ableitung – Graph

Expertenwissen: Herleitung

Du kannst die Ableitung von f(x) = ln(x) auch herleiten. Dafür brauchst du den Satz über die Ableitung der Umkehrfunktion g(x). Es gilt nämlich folgende Formel: f’(x) = $\frac{1}{g'(f(x))}$ .

Die Umkehrfunktion von f(x) = ln(x) ist g(x) = e^x. Setzt du das in die Formel ein, folgt daraus:
f’(x) = $\frac{1}{g'(ln(x))} = \frac{1}{e^{ln(x)}} = \frac{1}{x}$ .

Ableitung von ln(x) — Beispiel 1

Oft ist vor der Funktion ln(x) noch eine Zahl oder ein weiterer Term in der Klammer. Für solche komplexeren ln-Funktionen brauchst du die Kettenregel. Schauen wir uns das an ein paar Beispielen genauer an.

Du hast z. B. folgende Funktion gegeben:

f(x) = ln(2x² + 3)

Um diese mithilfe der Kettenregel abzuleiten, teilst du die ln-Funktion in eine innere Funktion v(x) und eine äußere Funktion u(x) bzw. u(v):

v(x) = 2x² + 3

u(v) = ln(v)

Wichtig: Da es sich um eine verkettete Funktion handelt, „umschließt“ die äußere Funktion u(x) die innere Funktion v(x). Du schreibst deshalb für die äußere auch u(v).

Anschließend bildest du von beiden Teilfunktionen jeweils die Ableitung:

v(x) = 2x² + 3 → v’(x) = 4x

u(v) = ln(v) → u’(v) = $\frac{1}{v}$

Um die Ableitung der gesamten ln-Funktion f(x) zu bestimmen, multiplizierst du die Ableitungen der inneren und äußeren Funktion:

$f'(x) = \textcolor{red}{\frac{1}{v}} \cdot \textcolor{blue}{4x} = \textcolor{red}{\frac{1}{2x^2+3}} \cdot \textcolor{blue}{4x} = \frac{4x}{2x^2 + 3}$

ln-Ableitung Formel

Statt die Ableitungen der Teilfunktionen immer zu multiplizieren, kannst du dir auch folgende Formel für die Ableitung komplexerer ln-Funktionen merken:

$f(x)=\ln(\textcolor{blue}{\text{innere Funktion}})$
$\rightarrow \quad f'(x)=\frac{1}{\textcolor{blue}{\text{innere Funktion}}} \cdot \textcolor{blue}{\text{Ableitung innere Funktion}}$

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Ableitung von ln(x) — Beispiel 2

Schau dir noch ein weiteres Beispiel zur Ableitung des natürlichen Logarithmus an:

f(x) = 5 • ln(x² + x)

Auch hier bestimmst du wieder innere und äußere Funktion:

v(x) = x² + x → v’(x) = 2x + 1

u(v) = 5 • ln(v) → u’(v) = 5 • $\frac{1}{v}$

Multipliziere die beiden Ableitungen miteinander und du erhältst folgende Ableitung f’(x):

$f'(x) = (\textcolor{blue}{5 \cdot \frac{1}{v}}) \cdot (\textcolor{red}{2x+1}) = \textcolor{blue}{\frac{5}{x^2 + x}} \cdot (\textcolor{red}{2x+1}) = \frac{\textcolor{blue}{5} \cdot (\textcolor{red}{2x + 1})}{\textcolor{blue}{x^2 + x}} = \frac{10x + 5}{x^2 + x}$

Ableitung von ln(x) — Beispiel 3

Der natürliche Logarithmus kann dir auch in einem Bruch begegnen:

$f(x) = \frac{ln(4x + 2)}{3}$

Um in diesem Beispiel ln abzuleiten, erhältst du folgende Funktionen als innere und äußere Funktion:

v(x) = 4x + 2 → v’(x) = 4

u(v) = $\frac{ln(v)}{3}$ → u’(v) = $\frac{\frac{1}{v}}{3} = \frac{1}{3v}$

Für die Ableitung der ln-Funktion ergibt das:

$f'(x) = \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{\frac{1}{3v}} = \textcolor{blue}{4} \cdot \textcolor{red}{\frac{1}{3 \cdot (4x + 2)}} = \frac{\textcolor{blue}{4}}{\textcolor{red}{3 \cdot (4x + 2)}} = \frac{4}{12x + 6}$

Summen- & Differenzregel

Sind mehrere ln-Funktionen durch ein Plus oder Minus verknüpft, verwendest du die Summen- und die Differenzregel zum Ableiten. Das heißt, du leitest die einzelnen ln-Funktionen ab und verbindest sie anschließend wieder mit + oder –
Zum Beispiel: f(x) = ln(3x) + ln(x) → f’(x) = $\frac{3}{3x}$ + $\frac{1}{x}$

Wurzeln ableiten

Perfekt! Jetzt weißt du, wie du verschiedene ln-Funktionen richtig ableitest. In einer Funktion kann dir aber auch eine Wurzel begegnen. Wie du Wurzeln ableitest, erklären wir dir in diesem Video!

Ableitung ln — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie weiß ich, für welche x-Werte $\ln(x)$ und $\ln(\text{Term})$ überhaupt definiert sind?

$\ln(x)$ ist nur für definiert, und bei $\ln(\text{Term})$ muss der Term ebenfalls positiv sein. Das liegt daran, dass der natürliche Logarithmus nur von positiven Zahlen existiert. Zum Beispiel ist $\ln(x^2-1)$ nur für oder erlaubt.
Wie leite ich $\ln(|x|)$ richtig ab?

$\ln(|x|)$ hat die Ableitung $\frac{1}{x}$ für alle $x \neq 0$ . Das klappt, weil bei der Kettenregel $\frac{d}{dx}|x|=\frac{x}{|x|}$ ist und sich das mit $\frac{1}{|x|}$ aus der ln-Ableitung kürzt. Beispiel: Für gilt auch $f'(-2)=-\frac{1}{2}$ .
Welche typischen Fehler passieren bei der Kettenregel bei $\ln(\text{Term})$ am häufigsten?

Der häufigste Fehler ist, die innere Ableitung zu vergessen und nur $\frac{1}{\text{Term}}$ zu schreiben. Außerdem wird der Term im Nenner oft falsch abgeschrieben oder vereinfacht, bevor abgeleitet wird. Beispiel: Aus $\ln(2x^2+3)$ wird dann fälschlich $\frac{1}{2x^2+3}$ statt $\frac{4x}{2x^2+3}$ .
Wie leite ich $\ln\!\left(\frac{a(x)}{b(x)}\right)$ ab, ohne alles auszumultiplizieren?

Du kannst die Logarithmusregel nutzen: $\ln\!\left(\frac{a}{b}\right)=\ln(a)-\ln(b)$ , und dann getrennt ableiten. Dadurch wird es oft einfacher, weil du nur Kettenregel auf zwei ln-Terme anwendest. Beispiel: $\frac{d}{dx}\ln\!\left(\frac{x^2+1}{x}\right)=\frac{2x}{x^2+1}-\frac{1}{x}$ (für ).
Was ist der Unterschied zwischen $\ln(x)$ und $\log(x)$ beim Ableiten?

$\ln(x)$ ist der Logarithmus zur Basis und hat die Ableitung $\frac{1}{x}$ . $\log(x)$ meint je nach Kontext oft den Zehnerlogarithmus und hat dann die Ableitung $\frac{1}{x\ln(10)}$ . Deshalb solltest du bei „log“ immer klären, welche Basis gemeint ist.

Weitere Funktionen und ihre Ableitungen

Die Ableitungen der folgenden Funktionen solltest du ebenfalls auswendig wissen und anwenden können:

	Funktion	Ableitung
Ableitung Cosinus	$f(x)=\cos(x)$	$f'(x)=-\sin(x)$
Ableitung Sinus	$f(x)=\sin(x)$	$f'(x)=\cos(x)$
Ableitung Tangens	$f(x)=\tan(x)$	$f'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}$
e Funktion ableiten