Mathe Grundlagen
Ableitung von Funktionen
 – Video

Ableitung ln einfach erklärt

Die Ableitung vom ln x (natürlicher Logarithmus) kannst du dir ganz leicht merken:

Ableitung ln x

    \[f(x)=\ln(\textcolor{blue}{x}) \quad \rightarrow \quad f'(x)=\frac{1}{\textcolor{blue}{x}}\]

Für die Ableitung der meisten Funktionen mit ln brauchst du aber die Kettenregel. Das siehst du am Beispiel:

f(x)=  ln(3x + 1)

Hier gibt es eine äußere Funktion und eine innere Funktion. Du leitest zuerst die innere Funktion 3x + 1 ab. Das ergibt 3. Die Ableitung vom ln ist dann:

f'(x) = 1/(3x+1) • 3

Allgemein kannst du dir merken:

Ableitung verketteter ln Funktionen

    \[f(x)=\ln(\textcolor{blue}{\text{innere Funktion}})\]

    \[\rightarrow \quad f'(x)=\frac{1}{\textcolor{blue}{\text{innere Funktion}}} \cdot \textcolor{red}{\text{Ableitung innere Funktion}}\]

Ln ableiten, ln Ableitung Graph
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ln(x) Ableitung – Graph

Logarithmus ableiten – Beispiel 1

Du möchtest folgende Funktion ableiten:

f(x) = ln(2x2 + 3)

Dafür bestimmst du zuerst die innere Funktion h(x) und Ableitung h'(x):

h(x) = 2x2 + 3 →  h'(x) = 4x

Dabei kannst du die Potenz- und Faktorregel anwenden, um die Ableitung zu bestimmen.

Jetzt bildest du mithilfe der Kettenregel die gesamte Ableitung vom ln:

    \[\frac{1}{\textcolor{blue}{2x^2+3}} \cdot \textcolor{red}{4x} =\frac{4x}{2x^2+3}\]

Logarithmus ableiten – Beispiel 2

Schau dir noch ein weiteres Ableitung Logarithmus Beispiel an:

f(x) = 5 • ln(x2 + x)

Dafür bestimmst du wieder mit der Potenz- und Faktorregel die innere Funktion und ihre Ableitung%blau und rot fetten?%done

h(x) = x2 + x → h'(x) = 2x + 1

Die Kettenregel liefert dir dann als Ergebnis:

    \[f'(x)= \frac{5}{\textcolor{blue}{x^2+x}} \cdot (\textcolor{red}{2x+1}) =\frac{5\cdot (2x+1)}{x^2+x}\]

Logarithmus ableiten – Beispiel 3

    \[f(x)=\frac{\ln(4x+2)}{3}\]

%da auch färben?

In diesem Beispiel zum ln(x) Ableiten erhältst du als innere Funktion und deren Ableitung

h(x) = 4x + 2 → h'(x) = 4

Damit gilt aufgrund der Kettenregel:

    \[f'(x)=\frac{\frac{1}{\textcolor{blue}{4x+2}}\cdot \textcolor{red}{4}}{3} = \frac{4}{12x+6}\]

ln Funktion ableiten: Weitere Beispiele

Du weißt jetzt, wie du mit der Kettenregel und der Potenz- und Faktorregel die ln Funktion ableiten kannst. Aber es kann auch vorkommen, dass du neben dieser noch weitere Ableitungsregeln anwenden musst. Es folgen nun verschiedene Regeln mit Beispielen zur Logarithmus Funktion:

Weitere Funktionen und ihre Ableitungen

Die Ableitungen der folgenden Funktionen solltest du ebenfalls auswendig wissen und anwenden können:

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