Zylinderkoordinaten
In diesem Artikel werden die Zylinderkoordinaten eingeführt. Außerdem wird deren Umrechnung mit den kartesischen Koordinaten erläutert. Darüber hinaus werden auch die Volumen-, Flächen– und Linienelemente sowie die Einheitsbasisvektoren und der Nabla– und Laplace-Operator bestimmt.
Um dir die Thematik der Zylinderkoordinaten audiovisuell näher zubringen, haben wir für dich auch ein anschauliches Video erstellt!
Inhaltsübersicht
Zylinderkoordinaten Definition
Im Wesentlichen entsprechen sie den ebenen Polarkoordinaten, welche um die Höhe erweitert wurden.
Zylinderkoordinatensystem
Das Zylinderkoordinatensystem zeichnet sich zum einen durch eine gerichtete Gerade aus, welche auch als zylindrische oder longitudale Achse bezeichnet wird. In der Regel wird hierfür die -Achse des kartesischen Koordinatensystems gewählt. Außerdem gehört eine Halbgerade, die senkrecht auf der zylindrischen Achse steht, zum Zylinderkoordinatensystem. Diese bezeichnet man als Polachse und wählt hierfür meist die positive -Achse des kartesischen Koordinatensystems. Dort, wo sie auf die zylindrische Achse trifft, liegt der Ursprung des Koordinatensystems. Orthogonal zur zylindrischen Achse und durch den Ursprung läuft die sogenannte Bezugsebene.
Zylinderkoordinatendarstellung
Projiziert man einen Punkt im Raum orthogonal auf die Bezugsebene, so kann der Punkt der orthogonalen Projektion in der Bezugsebene durch die Polarkoordinaten beschrieben werden. Hierbei stellt den Abstand des projizierten Punktes zum Ursprung dar und beschreibt den Winkel zwischen der Polachse und der Verbindungsstrecke vom Ursprung zum projizierten Punkt. Um nicht die Projektion zu beschreiben, sondern den Punkt selbst, werden die beiden Koordinaten um die Höhe ergänzt. Sie gibt den Abstand des Punktes zur Bezugsebene an. Liegt der Punkt oberhalb der Ebene, bekommt die Koordinate ein positives Vorzeichen, wohingegen es negativ ist, falls der Punkt unterhalb der Bezugsebene liegt. Das Zahlenpaar nennt man Zylinderkoordinaten des Punktes .
Zylinderkoordinaten umrechnen
Von großer Bedeutung ist die Umrechnung der Zylinderkoordinaten mit den kartesischen Koordinaten. Hierfür ist es am einfachsten, das Zylinderkoordinatensystem so zu wählen, dass die zylindrische Achse auf die -Achse und die Polachse auf die positive -Achse des kartesische Systems fällt.
Kartesische Koordinaten in Zylinderkoordinaten umrechnen
Auch die umgekehrte Umrechnung erfolgt für die ersten beiden Koordinaten wie bei den Polarkoordinaten, während die -Koordinate unverändert bleibt:
Hierbei ist zu beachten, dass die Umrechnung für die Koordinate in dieser Form nur für den Fall gilt, dass und größer null sind. Eine genaue Fallunterscheidung findest du in unserem Artikel zu den Polarkoordinaten .
Transformation von Differentialen
Um Differentiale in Zylinderkoordinaten zu transformieren kann die Jacobi-Matrix der Koordinatentransformation betrachtet werden.
Jacobi-Matrix und Funktionaldeterminante
Die Jacobi-Matrix besitzt folgende Form:
Die Funktionaldeterminante lautet demnach:
det
Differentiale (Volumenelement, Flächenelement, Linienelement)
Die Differentiale lassen sich nun mithilfe der Jacobi-Matrix durch folgende Abbildung angeben:
Mit der Funktionaldeterminante lässt sich außerdem ganz einfach das Volumenelement bestimmen:
Daraus ergibt sich durch Differentiation das Flächenelement :
Für das Linienelement gilt:
Transformation von Basisvektoren und Vektoroperatoren
Im Folgenden sollen die Einheitsvektoren sowie der Nabla– und der Laplaceoperator in Zylinderkoordinaten bestimmt werden.
Einheitsbasisvektoren
Aus dem allgemeinen Richtungsvektor lassen sich die Einheitsvektoren in Zylinderkoordinaten herleiten:
Partielle Ableitungen (Nabla- und Laplaceoperator)
Die partiellen Ableitungen in Zylinderkoordinaten sind durch folgende Abbildung gegeben:
Der Nabla-Operator in Zylinderkoordinaten besitzt die folgende Form:
Der Nabla-Operator in dieser Form kann dann auf Skalarfelder angewandt werden, um den Gradienten in Zylinderkoordinaten zu bestimmen.
Für die Divergenz in Zylinderkoordinaten eines Vektorfeldes gilt:
Für ein solches Vektorfeld sieht die Rotation in Zylinderkoordinaten folgendermaßen aus:
Setzt man nun in die Formel für die Divergenz als Vektorfeld den Nabla-Operator ein, so erhält man den Laplace-Operator: