Krümmungsverhalten (Video)
Entdecke in unserem Video, wie du das Krümmungsverhalten von Funktionen verstehst. Wir zeigen dir einfach und verständlich, wie du Krümmungen erkennst und analysierst. Ideal für Schüler und Studenten, die ihr Mathe-Wissen vertiefen möchten.
VIDEOSKRIPT
Du sollst das Krümmungsverhalten einer Funktion bestimmen, weißt aber nicht genau wie das geht? Kein Problem! Hier bekommst du eine Erklärung und viele Beispiele dazu!
Krümmung berechnen einfach erklärt
Um das Krümmungsverhalten einer Funktion f herauszufinden, leitest du deine Funktion zweimal ab. Die zweite Ableitung f zwei Strich von x sagt dir dann, wie die Funktion gekrümmt ist:
𝑓′′(𝑥) 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒 𝑍𝑎ℎ𝑙 → 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑡𝑠𝑔𝑒𝑘𝑟ü𝑚𝑚𝑡
�
′
′
(
�
)
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
ℎ
�
→
�
�
�
ℎ
�
�
�
�
�
�
ü
�
�
�
𝑓′′(𝑥) 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑒 𝑍𝑎ℎ𝑙 → 𝑙𝑖𝑛𝑘𝑠𝑔𝑒𝑘𝑟ü𝑚𝑚𝑡
�
′
′
(
�
)
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
ℎ
�
→
�
�
�
�
�
�
�
�
�
ü
�
�
�
𝑓′′(𝑥) 𝑒𝑛𝑡ℎä𝑙𝑡 𝒙 → 𝑭𝒂𝒍𝒍𝒖𝒏𝒕𝒆𝒓𝒔𝒄𝒉𝒆𝒊𝒅𝒖𝒏𝒈
�
′
′
(
�
)
�
�
�
ℎ
ä
�
�
𝒙
→
𝑭
𝒂
𝒍
𝒍
𝒖
𝒏
𝒕
𝒆
𝒓
𝒔
𝒄
𝒉
𝒆
𝒊
𝒅
𝒖
𝒏
𝒈
Ist sie eine negative Zahl, zum Beispiel -2, ist deine Funktion rechtsgekrümmt.
𝑓′′(𝑥) = −2
�
′
′
(
�
)
=
−
2
Krümmungsverhalten, Krümmungsverhalten berechnen, rechtsgekrümmt, Krümmung einer Funktion, Linkskurve Rechtskurve, konvex konkav Mathe, Krümmung berechnen
Bei einer positiven zweiten Ableitung, zum Beispiel f zwei Strich von x gleich 6, ist deine Funktion überall linksgekrümmt.
𝑓′′(𝑥)
�
′
′
(
�
)
= 6
Krümmungsverhalten, Krümmungsverhalten berechnen, rechtsgekrümmt, Krümmung einer Funktion, Linkskurve Rechtskurve, konvex konkav Mathe, Krümmung berechnen
Es kann aber auch passieren, dass in der zweiten Ableitung noch ein x vorkommt. Sie könnte zum Beispiel 6x plus 6 lauten. Dann ändert die Funktion möglicherweise ihre Krümmung. Hier unterscheidest du nochmal zwei Fälle: An den Stellen, wo die Ableitung f zwei Strich von x kleiner als 0 ist, ist sie rechtsgekrümmt.
𝑓′′(𝑥) < 0 → 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑡𝑠𝑔𝑒𝑘𝑟ü𝑚𝑚𝑡
�
′
′
(
�
)
<
0
→
�
�
�
ℎ
�
�
�
�
�
�
ü
�
�
�
Wenn die zweite Ableitung für ein konkretes x größer als 0 ist, macht die Funktion dort eine Linkskurve.
𝑓′′(𝑥) > 0 → 𝑙𝑖𝑛𝑘𝑠𝑠𝑔𝑒𝑘𝑟ü𝑚𝑚𝑡
�
′
′
(
�
)
>
0
→
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
ü
�
�
�
Schau dir das mal an konkreten Funktionen an.
Rechtsgekrümmte Funktion
Als Beispiel hast du hier die Funktion f von x gleich minus x Quadrat:
𝑓(𝑥) = −𝑥2
�
(
�
)
=
−
�
2
Im ersten Schritt leitest du die Funktion zweimal ab:
𝑓′(𝑥)=−2𝑥
�
′
�
=
−
2
�
𝑓′′(𝑥) = −2
�
′
′
(
�
)
=
−
2
Die zweite Ableitung ist hier -2, also eine negative Zahl. Das bedeutet die Funktion f von x gleich minus x Quadrat ist überall rechtsgekrümmt. Du sagst dazu auch konkav. Das Krümmungsverhalten kannst du auch am Funktionsgraphen sehen. Er besteht aus einer einzigen Rechtskurve.
Krümmungsverhalten, Krümmungsverhalten berechnen, rechtsgekrümmt, Krümmung einer Funktion, Linkskurve Rechtskurve, konvex konkav Mathe, Krümmung berechnen
Linksgekrümmte Funktion
Auch bei der Funktion f von x gleich 3x Quadrat plus 4x minus 1 berechnest du zunächst die zweite Ableitung um ihr Krümmungsverhalten herauszufinden.
𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 4𝑥 −1
�
(
�
)
=
3
�
2
+
4
�
−
1
𝑓′(𝑥)=6𝑥
�
′
�
=
6
�
+ 4
𝑓′′(𝑥) = 6
�
′
′
(
�
)
=
6
Hier kommt die positive Zahl 6 heraus. Wie du auch am Funktionsgraphen erkennen kannst, ist sie überall linksgekrümmt. Der Fachbegriff dafür heißt konvex.
Krümmungsverhalten, Krümmungsverhalten berechnen, rechtsgekrümmt, Krümmung einer Funktion, Linkskurve Rechtskurve, konvex konkav Mathe, Krümmung berechnen
Super! Jetzt weißt du schon, wie du rechts- und linksgekrümmte Funktionen an ihrer zweiten Ableitung erkennen kannst. Aber du kannst dir einfach nicht merken, für welche Krümmung jeweils eine positive oder eine negative Zahl steht? Kein Problem! Stell dir dafür die Funktionsgraphen einfach als Mund von einem Smiley vor. Der traurige Mund ist rechtsgekrümmt. So eine Funktion bekommst du also wenn die zweite Ableitung negativ ist. Der lächelnde Smileymund gehört zu einer Funktion, bei der die zweite Ableitung positiv ist.
Und wie sieht es aus, wenn deine Funktion sowohl Links- als auch Rechtskurven hat? Das erfährst du jetzt:
Änderung des Krümmungsverhaltens
Schau dir dazu die Funktion x hoch 3 plus 3 x Quadrat plus 5 an.
𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 3𝑥2 + 5
�
(
�
)
=
�
3
+
3
�
2
+
5
Ihre zweite Ableitung lautet f zwei Strich von x ist gleich 6x plus 6.
𝑓′′(𝑥) = 6𝑥 +6
�
′
′
(
�
)
=
6
�
+
6
Hier kannst du die Krümmung nicht direkt ablesen, weil noch ein x vorkommt.
Die Funktion ist dort rechtsgekrümmt, wo f zwei Strich von x kleiner als 0 ist. Um herauszufinden für welche x das der Fall ist, musst du die Ungleichung 6x plus 6 kleiner 0 lösen.
6𝑥 + 6 < 0
6
�
+
6
<
0
⇔ 6𝑥 < −6
⇔
6
�
<
−
6
⇔ 𝑥 < −1
⇔
�
<
−
1
Die zweite Ableitung 6x plus 6 ist also kleiner 0 für alle x, die kleiner als -1 sind. Das bedeutet, für solche x beschreibt der Graph der Funktion x hoch 3 plus 3 x Quadrat plus 5 eine Rechtskurve:
𝑥 < −1 → 𝑓(𝑥) 𝑟𝑒𝑐ℎ𝑡𝑠𝑔𝑒𝑘𝑟ü𝑚𝑚𝑡
�
<
−
1
→
�
(
�
)
�
�
�
ℎ
�
�
�
�
�
�
ü
�
�
�
Dasselbe machst du nun nochmal um die Stellen zu finden, wo f von x linksgekrümmt ist. Du löst dafür die Ungleichung 6x plus 6 größer 0.
6𝑥 + 6 > 0
6
�
+
6
>
0
⇔ 6𝑥 > −6
⇔
6
�
>
−
6
⇔ 𝑥 > −1
⇔
�
>
−
1
Für alle x größer als -1 macht f von x also eine Linkskurve.
𝑥 > −1 → 𝑓(𝑥) 𝑙𝑖𝑛𝑘𝑠𝑔𝑒𝑘𝑟ü𝑚𝑚𝑡
�
>
−
1
→
�
(
�
)
�
�
�
�
�
�
�
�
�
ü
�
�
�
An der Stelle -1 ändert die Funktion ihr Krümmungsveralten. Solche Punkte nennst du Wendepunkte. [Formel]
An den Wendepunkten ist die zweite Ableitung immer 0. Das bedeutet, hier liegt keine Krümmung vor -- weder nach rechts- noch nach links.
Wendepunkte berechnen
Eine Funktion kann – wie du hier siehst -- auch mehrere Wendepunkte haben. Damit ändert sich dann auch ihr Krümmungsverhalten mehrmals.
Aber Achtung: Nicht jeder Punkt an dem die zweite Ableitung 0 ist, ist ein Wendepunkt! Die Funktion f von x gleich x hoch 4 zum Beispiel, hat an der Stelle 0 auch keine Krümmung. Trotzdem ändert sie ihr Krümmungsverhalten dort nicht, sondern ist sowohl davor als auch danach linksgekrümmt.
Du willst wissen, wie das mit dem Wendepunkte berechnen genau funktioniert? Dann haben wir hier das passende Video für dich!