Ableitung Tangens
In diesem Artikel erklären wir dir, wie du die Ableitung Tangens mit der Kettenregel bestimmen kannst. Du hast keine Lust dir den ganzen Artikel durchzulesen, aber möchtest trotzdem gern alles Wichtige über die Tangens Ableitung erfahren? Kein Problem! Schau dir einfach unser Video dazu an.
Inhaltsübersicht
Ableitung Tangens einfach erklärt
Die Ableitung vom Tangens kannst du dir leicht merken: Die Tangensfunktion f(x) = tan(x) hat die Ableitung f'(x) = 1/cos2(x).
![\[f(x)=\tan(x) \quad \rightarrow \quad f'(x)= \frac{1}{\cos^2(x)}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-b75834cb7e46071ee08da08b01b4596a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Dabei ist cos2(x) = (cos(x))2.
Wenn im Tangens nicht nur ein x, sondern eine ganze Funktion steht, wie bei f(x) = tan(2x + 5), brauchst du für die Ableitung die Kettenregel .
Schau dir gleich an Beispielen an, wie du den tan damit ableiten kannst!
Ableitung Tangens mit Kettenregel
Die Kettenregel brauchst du immer dann, wenn im Tangens mehr als ein x steht. Das ist zum Beispiel hier der Fall: f(x) = tan(3x2 – 4)
Dann gehst du so vor:
-
Schritt 1: Schreibe die Ableitung vom tan, also
, hin. Lass die Funktion (innere Funktion) dabei im Cosinus stehen:
![\[f'(x) = \textcolor{blue}{\frac{1}{\cos^2(\textcolor{red}{3x^2-4})}}...\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-feecdd0ad02947079c5b0d3d7f81108a_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
- Schritt 2: Bestimme die Ableitung der Funktion im Tangens:
(3x2 – 4)‘ = 6x
- Schritt 3: Schreibe die Ableitung aus Schritt 2 mit einem Malpunkt hinter den Bruch.
![\[f'(x)= \textcolor{blue}{\frac{1}{\cos^2(\textcolor{red}{3x^2-4})}} \cdot {\textcolor{orange}{6x}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e892bd1ec2f30fd951995b76d655a91f_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Super! Den Tangens bezeichnest du übrigens als äußere Funktion. Schau dir gleich noch ein Beispiel dazu an.
Tangens ableiten — Beispiel
Schau dir folgende Funktion an:
f(x) = 2 • tan(5x)
Auch hier kannst du den tan ableiten wie immer:
-
Schritt 1: Schreibe die Ableitung vom tan, also, hin. Lass die Funktion dabei in der Klammer stehen.
![\[\textcolor{blue}{\frac{1}{\cos^2(\textcolor{red}{5x})}}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-222b2268ba8296aa74d577856c997f49_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
- Schritt 2: Bestimme die Ableitung der Funktion im Tangens (innere Funktion). Dafür verwendest du die Potenz- und Faktorregel :
5x → 5
- Schritt 3: Setze die Ableitung der gesamten Funktion zusammen:
![\[f'(x)= 2 \cdot \textcolor{blue}{\frac{1}{\cos^2(\textcolor{red}{5x})}} \cdot {\textcolor{orange}{5}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-54b9fdacf6d3ca70db46fdfdbf76ea88_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Du siehst, dass die 2 als Vorfaktor vor dem Tangens beim Ableiten einfach stehen bleibt. Das gilt wegen der Faktorregel .
Ableitung Tangens Herleitung
Wenn du dir die tan(x) Ableitung nicht merken möchtest, kannst du sie auch stets herleiten. Dafür musst du wissen, dass tan(x) als Quotient aus sin(x) und cos(x) dargestellt werden kann:
Um diese Funktion ableiten zu können, musst du deshalb die Quotientenregel
kennen. Die Formel der Quotientenregel kannst du der oberen Tabelle mit den Ableitungsregeln entnehmen. Wie du dort siehst, musst du, um sie anwenden zu können, sowohl die Ableitung des Zählers 
, als auch die des Nenners 
berechnen. Das heißt:
Diese Ableitungen kannst du der darüber liegenden Tabelle entnehmen.
Setzt du nun deine Ergebnisse in die Formel der Quotientenregel ein, erhältst du:
![f'(x)= \frac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{[h(x)]^2}](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-4c12701d80e93d1fe373fbc334bd2221_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
![= \frac{\cos(x) \cdot \cos(x)-\sin(x) \cdot (-\sin(x))}{[\cos(x)]^2}](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-1fd88e1d3d8f1b86939b70f975b804c0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Da mit dem Satz des Pythagoras im Einheitskreis 
gilt, liefert dir das die Ableitung:
Schließlich hast du damit Ableitung Tangens hergeleitet.
Ableitung Tangens mit weiteren Ableitungsregeln
Bisher hast du für die Berechnung von Ableitung Tangens neben der Kettenregel nur die Potenz- und Faktorregel benötigt. Natürlich kann es auch vorkommen, dass du noch weitere Ableitungsregeln in Kombination mit Ableitung Tangens verwenden musst. In der folgenden Tabelle stellen wir dir einige Beispiele dazu vor.
| Ableitungsregel | Funktion | Ableitung |
| Summenregel | f(x)=g(x) + h(x)
f(x) = tan(3x) + tan(x) |
f'(x) = g'(x) + h'(x)
|
| Differenzregel | f(x) = g(x) – h(x)
f(x) = tan(x) – tan(x2) |
f'(x) = g'(x) – h'(x)
|
| Produktregel | f(x) = g(x) • h(x)
f(x) = tan(-x) • 3x2 |
f'(x) = g'(x) • h(x) + g(x) • h'(x)
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| Quotientenregel |
|
![f'(x)=\frac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{[h(x)]^2}](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e93e6ea9a3972c9e146fd256f17c1885_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
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| Faktorregel |
f(x) = a • g(x) f(x) = 4 • tan(x) |
f'(x) = a • g'(x)
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| Potenzregel | f(x) = xn
f(x) = tan4(x) |
f'(x) = n • xn-1
|
Weitere Funktionen und ihre Ableitungen
Neben dem Tangens gibt es noch den Kotangens cot(x). Du definierst ihn so:
![\[f(x) = \cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-3d012cd38d91c0f95aad24534f16b0ea_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Die Ableitung vom Kotangens ist ähnlich wie die des Tangens:
![\[f'(x) = \frac{-1}{\sin^2(x)}\]](https://d1g9li960vagp7.cloudfront.net/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-0113a8af4d8ccf983c1f7179fbb8693b_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Wie beim Ableiten von tan, brauchst du auch hier für kompliziertere Kotangensfunktionen die Kettenregel.
Nicht nur die Ableitung von tan x und cot x, sondern auch die der folgenden Funktionen solltest du auswendig wissen.
| Funktion | Ableitung | |
| Ableitung Sinus | f(x) = sin(x) | f'(x) = cos(x) |
| Ableitung Cosinus | f(x) = cos(x) | f'(x) = -sin(x) |
| Wurzel ableiten |  |
 |
| ln ableiten | f(x) = ln(x) |  |
| e Funktion ableiten | f(x) = ex | f'(x) = ex |
Ableiten bestimmter Funktionen
Jetzt kennst du die Ableitung von tan(x) und hast auch kurz gesehen, wie du weitere Funktionen ableitest. Das ging dir alles zu schnell? Dann schau dir unser Video zum Ableiten bestimmter Funktionen an. Dort erklären wir dir in Ruhe, wie du die Ableitung ganz verschiedener Funktionen findest!
