Normale
In diesem Beitrag erklären wir dir, was eine Normale ist und wie du sie berechnest.
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Inhaltsübersicht
Normale einfach erklärt
Stell dir vor, du hast an einem Punkt einer Funktion eine Tangente und drehst sie jetzt an diesem Punkt um 90°. Die Gerade die dadurch entsteht, wird als Normale bezeichnet und steht senkrecht zur Tangente. Das heißt, dass zwischen den beiden Geraden ein rechter Winkel besteht.
Was ist eine Normale?
Die Normale ist eine lineare Funktion , die senkrecht zur Tangente steht, das heißt, dass der Winkel, den die beiden Funktionen einspannen, 90° beträgt.
Da du die Normale erhältst, indem du die Tangente am Berührpunkt um 90° drehst, entspricht die Steigung der Normale
Zur Bestimmung der Normalengleichung verwendest du die Punktsteigungsform der Geradengleichung:
,
wobei die Koordinaten der Betrachtungsstelle sind.
Normale berechnen: Schritt-für-Schritt Anleitung
Nun folgt eine ausführliche Schritt-für-Schritt Anleitung zur Berechnung einer Normalengleichung.
Hast du eine Funktion f und eine Stelle gegeben und sollst nun eine Normale an der Stelle bestimmen, dann gehst du wie folgt vor:
Schritt 1: Berechne die erste Ableitung .
Schritt 2: Setze in die erste Ableitung ein, um so die Steigung der Funktion an der Stelle zu berechnen.
Schritt 3: Falls die y-Koordinate noch nicht bekannt ist, setzt du in die Funktion f ein.
Schritt 4: Jetzt setzt du die Koordinaten der Betrachtungsstelle und die Steigung in die Normalengleichung ein
und du erhältst die gesuchte Normale.
Beispiel 1: Lineare Funktionen
Wir wollen für die lineare Funktion
die Normale an der Stelle bestimmen.
Schritt 1: Zunächst benötigst du die erste Ableitung der Funktion f
Schritt 2: Nun willst du die Steigung an der Stelle wissen. Dazu setzt du in ein
Schritt 3: Da die y-Koordinate des Betrachtungspunkts noch nicht bekannt ist, setzt du dafür in die Funktion f ein
Schritt 4: Jetzt, da du alles Wichtige hast, kannst du die Werte in die Normalengleichung einsetzen
Beispiel 2: Polynomfunktionen
Schauen wir uns jetzt eine Polynomfunktion höheren Grades an. Dazu sei die Funktion
gegeben. Wir wollen die Normale an der Stelle berechnen.
Schritt 1: Mithilfe der Potenz- und Faktorregel berechnest du die Ableitung
Schritt 2: Nun benötigst du den Wert der Ableitung an der Stelle . Dafür setzt du einfach in ein und erhältst somit
Schritt 3: Jetzt fehlt nur noch die y-Koordinate der Betrachtungsstelle. Diese erhältst du indem du in die Funktion f einsetzt
Schritt 4: Zum Schluss setzt du alle Werte in die Normalengleichung und erhältst somit die Normale
Normale berechnen Aufgaben
Zum Üben findest du nun im Folgenden zwei Aufgaben mit Lösungen.
Aufgabe 1: Normale einer quadratischen Funktion
Berechne die Normalengleichung an der Stelle der quadratischen Funktion
Lösung: Aufgabe 1
Um erst einmal die Steigung an der Stelle zu berechnen, brauchst du die erste Ableitung
Nun kannst du in einsetzen und erhältst somit
Um noch die fehlende Koordinate zu berechnen, setzt du einfach in die Funktion f ein
Somit hast du nun alles, was du für die Normale brauchst. Das heißt, du setzt , und in die allgemeine Normalengleichung ein
Aufgabe 2: Normale einer Polynomfunktion vom Grad 4
Berechne die Normalengleichung an der Stelle der Polynomfunktion
Lösung: Aufgabe 2
Berechne zuerst die erste Ableitung von f
damit du die Steigung an der Stelle bekommst, indem du in einsetzt
Setze jetzt einfach in die Funktion f ein, um die noch fehlende y-Koordinate zu erhalten
Somit hast du nun alles, was du zur Berechnung der Normalengleichung brauchst. Mit , und erhältst du die Normale