Mathematische Grundlagen

In diesem Beitrag zeigen wir dir, wie du ein Verhältnis ausrechnen kannst. Die gängigen Aufgaben und Beispiele helfen dir, die Verhältnisberechung zu verstehen.% Schau Dir auch unser Video dazu an, in dem Du Verhältnis berechnen richtig gut erklärt bekommst!%allgemeines: im Snippet/Meta-Beschreibung unten sollen immer nur drei Haken sein, nicht mehr :), Thema roter Faden: auf jeden Fall da, Thema Konkurrenz: sind wir auf jeden Fall besser, viel schöner erklärt, würde aber noch schauen dass du etwas kürzt, v. a. beim ersten Bsp im Einfach erklärt, glaube auch du musst bei den letzten Bsp nicht mehr so ausführlich erklären wie davor% Da hätte ich eine Frage zur Metabeschreibung: Dieser farbige Balken der Metabeschreibung war rot als ich die Beschreibung aus der SEO-Recherche gekopiert habe. Deshalb habe ich noch einen weiteren Haken und den Text "viele Beispiele" hinzugefügt. Ich denke bei Verhältnissen such viele Schüler die Beispiele. Wie zuverlässig ist dieser farbige Balken? Wird die Beschreibung zu lang, wenn ich "viele Beispiele" stehen lasse?%ich weiß ehrlich gesagt nicht was wichtiger ist: der grüne balken hier in wordpress oder das festhalten an den vier häkchen, wenn ich mich an die aussagen vom pascal erinnere würde ich aber sagen dass du den grünen balken eher ignorieren kannst, kannst aber auch den andi fragen falls du dir unsicher bist, außerdem gehört an den Anfang der Meta Description immer ein Titel-Snippet mit Doppelpunkt, also hier "Verhältnis berechnen: Verhältnis einfach erklärt" etc

Inhaltsübersicht

Verhältnisse berechnen einfach erklärt

Wenn du zwei Zahlen miteinander vergleichen möchtest, kannst du ihr Verhältnis berechnen. Stell dir zum Beispiel vor, du hast 2 Liter Cola und 6 Liter Orangenlimonade für eine Party gekauft. Du willst Spezi mischen. Wie groß ist das Verhältnis von Orangenlimonade zu Cola in Deiner Spezi?

Das Verhältnis von Cola zu Limonade ist die Menge der Cola geteilt durch die Menge an Limonade:

    \[ \frac{ \textrm{Cola} }{ \textrm{Limonade} } = \frac{ 2\,\ell }{ 6\,\ell } \]

Den Bruch kannst du vereinfachen, indem du mit 3 kürzt:

    \[  \frac{ 2\,\ell }{ 6\,\ell } = \frac{ 1 \cdot \cancel{2\,\ell} }{ 3 \cdot \cancel{2\,\ell} } = \frac{1}{3} \]

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Beispiel: Verhältnis von Cola zu Limonade

Deine Spezi hat ein Verhältnis von Cola zu Limonade von 1 zu 3. In deiner Spezi ist also 3-mal mehr Limonade als Cola. Verhältnisse gibt es nicht nur in Mathe. Häufig musst du beim Kochen und Backen von verschiedenen Zutaten das Verhältnis berechnen.

Verhältnisse bilden

Das Verhältnis von zwei Zahlen a und b kannst du benutzen, um a und b miteinander zu vergleichen. Am einfachsten tust du das, indem du die beiden Zahlen durch einander teilst. Das Verhältnis von a und b ist also:%das würde ich schon im einfach erklärt bringen, aber ohne a und b; a und b und die "offizielle" Form würde ich dann später in einem eigenen Teil einleiten mit "In der mathematischen Schreibweise kannst du das allgemein so formulieren: etc"%Ich habe noch einen Satz ins Einfach-Erklärt gepackt, der das Vergleichen von Zahlen durch Verhältnisse erklärt. Die Einleitung hier würde ich so lassen. Ist das in Ordnung?%ja, finds gut so

    \[  \textrm{Verhältnis $\mathit{a}$ zu $\mathit{b}$} = \frac{a}{b} \]

Die Reihenfolge ist wichtig! Da musst du aufpassen. Umgekehrt ist das Verhältnis von b und a:

    \[ \textrm{Verhältnis $\mathit{b}$ zu $\mathit{a}$} = \frac{b}{a} \]

a und b heißen Glieder des Verhältnisses. Es gibt viele verschiedene Schreibweisen für Verhältnisse. Lass dich dadurch aber nicht aus der Ruhe bringen! Alle Schreibweisen heißen dasselbe und meinen einen Bruch. Wenn du nicht mehr weißt, wie die Bruchrechnung funktioniert, schau dir dieses Video an.

Verschiedene Schreibweisen erklärt
Du kannst das Verhältnis zwischen 1 und 4 auf verschiedene Weise schreiben:
  • als Bruch: \frac{1}{4}
  • mit Doppelpunkt: 1 : 4
  • mit Querstrich: 1 / 4 oder  \nicefrac{1}{4}
  • mit Worten: 1 zu 4

Verhältnisse berechnen

Folgende Beispiele helfen dir, die Verhältnisrechnung zu verstehen und zeigen dir, wie du die Verhältnisse bildest. Um Verhältnisse zu berechnen, brauchst du häufig die Primfaktorzerlegung und Bruchrechnung. Falls du da nicht mehr so fit bist, ist das nicht schlimm! Schau dir einfach unsere Beiträge zur %Primfaktorzerlegung undBruchrechnung an. 

Verhältnisse in Textaufgaben

Es gibt viele verschiedene Sätze, hinter denen sich Verhältnisrechnungen verstecken können. Wenn du eines dieser Wörter in einer Textaufgabe siehst, musst du die Zahlen ins Verhältnis setzen. 

  • … das Verhältnis zwischen 1 und 5 …
  • … auf 1 Sachen kommen 3 Dinge …
  • … 2 Sachen pro 3 Dinge …
  • …. für 1 Sache gibt es 4 Dinge …
  • … 1 zu 2 …

%weiß nicht, ob das noch gilt, aber der Pascal hat mir mal gesagt, dass ein Kasten nie direkt an einer Überschrift stehen soll. Kannst ja schauen, ob dir noch irgendein Füller-Satz hier einfällt wie "Schauen wir uns mal ein paar konkrete Beispiele dazu an"%Mir wurde dazu nichts gesagt. Ich denke, dass ein Füllsatz, der auf den nächsten Abschnitt verweist für die Appbenutzer störrt, weil jede Überschrift eine eigene Karte bekommt. Was denkst Du, Andreas?

Verhältnis ausrechnen

Stell dir vor, du hast zwei Zahlen gegeben und sollst das Verhältnis der beiden Zahlen berechnen. Diese zwei Beispiele helfen dir dabei:

Beispiel 1: Seitenverhältnis berechnen

  • Stell dir vor, dein Fernseher ist 48\,\textrm{cm} weit und 27\,\textrm{cm} hoch. Wie groß ist das Verhältnis der beiden Seiten?
  • Das heißt a = 48\,\textrm{cm} und b = 27\,\textrm{cm}.
  • Allgemein sieht das Verhältnis so aus:  \nicefrac{a}{b}. Damit ist das Seitenverhältnis deines Fernsehers:

    \[ \frac{a}{b} = \frac{ 48\,\textrm{cm} }{ 27\,\textrm{cm} } \]

  • Als Nächstes musst du den Bruch kürzen. Du suchst die größte Zahl, die 48 und 27 teilen kann. Schau dir das Video zum größten gemeinsamen Teiler an, wenn du nicht mehr weißt, wie das geht. 48 und 27 sind beides Vielfache von 3. Die 3 kürzt sich raus:

    \[  \frac{ 48\,\textrm{cm} }{ 27\,\textrm{cm} } = \frac{ 16 \cdot \cancel{ 3\,\textrm{cm} } }{ 9 \cdot \cancel{ 3\,\textrm{cm} } } = \frac{16}{9} \]

  • Dein Fernseher hat also ein Seitenverhältnis von 16 zu 9.

Beispiel 2: Verhältnisberechnung beim Kuchenbacken

  • Stell dir vor, du möchtest einen Kuchen backen. Für deinen Teig brauchst du 200\,\textrm{m}\ell Wasser und 50\,\textrm{m}\ell geschmolzene Butter. Wie groß ist das Verhältnis von Butter zu Wasser?
  • Dividiere also die Menge an Butter durch die Menge an Wasser! Danach vereinfachst Du den Bruch.

    \[  \frac{ 50\,\textrm{m}\ell }{ 200\,\textrm{m}\ell  } = \frac{ 1 \cdot \cancel{50\,\textrm{m}\ell} }{ 4 \cdot \cancel{50\,\textrm{m}\ell}  } = \frac{ 1  }{ 4  } \]

  • Dein Kuchen hat also ein Butter-zu-Wasser-Verhältnis von 1 zu 4

Verhältnisglieder ausrechnen Typ 1

Eine andere typische Aufgabe ist folgendes: Du weißt das Verhältnis von zwei Dingen a : b und du weißt die Gesamtanzahl aller Dinge, also a+b. Wie groß sind dann deine Zahlen a und b?%Etwas abstrakt, aber wie geht es anschaulicher? Diese zwei Beispiele% und das Video erklären es dir:%hab grad überlegt, vielleicht wieder über Kuchen :D du weißt, dass du Mehl und Zucker im Verhältnis x zu x gemischt hast und zusammen eine Schüssel voll mit x Gramm hast, wie schwer sind dann Mehl und Zucker oder so, aber du kannst es auch so lassen wies hier is

Beispiel 3: Verhältnis berechnen Mädchen zu Jungen

  • Stell dir vor, in deiner Klasse sind 20 Schüler und du weißt das Verhältnis von Jungen zu Mädchen ist 1 zu 3. In der Schulaufgabe könnte die Frage lauten: Wie viele Mädchen sind in der Klasse?
  • Weil in deiner Klasse das Verhältnis von Jungen zu Mädchen 1 zu 3 ist, besteht sie aus 1 Gruppe Jungen und 3 Gruppen Mädchen. Du kannst deine Klasse in insgesamt 4 Gruppen aufteilen.
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Beispiel: Verhältnis von Jungen zu Mädchen
  • Jetzt verteilst du die 20 Schüler auf 4 Gruppen, indem du 20 durch 4 dividierst und vereinfachst:

    \[  \frac{20\,\textrm{Schüler}}{4} = \frac{ 5\,\textrm{Schüler} \cdot \cancel{4} }{ 1\cdot \cancel{4} } = \frac{5\,\textrm{Schüler}}{1} = 5\,\textrm{Schüler} \]

  • Jede Gruppe besteht also aus 5 Schülern. Das bedeutet 1 Teil deiner Klasse sind 5 Schüler.
  • Das Verhältnis von 1 zu 3 sagt dir, dass 3 Teile deiner Klasse Mädchen sind. Es müssen also so viele Schüler deiner Klasse Mädchen sein:

    \[ 3 \cdot 1\,\textrm{Teil} = 3 \cdot 5\,\textrm{Schüler} = 15\,\textrm{Schüler} \]

  • Bei einem Jungen-Mädchen-Verhältnis von 1 zu 3 sind von den 20 Schülern also 15 Mädchen

Beispiel 4: Verhältnis berechnen in Prozent

  • Wie viel Prozent der Klasse sind Mädchen? Oder: Wie groß ist der Anteil der Mädchen in der Klasse?
  • In Beispiel 3 hast du ausgerechnet, dass eine Klasse mit 20 Schülern 15 Mädchen hat, wenn das Jungen-zu-Mädchen-Verhältnis 1 zu 3 ist.
  • Wenn dich dein Lehrer nach Prozentzahlen fragt, will er den Anteil der Mädchen an allen Schüler wissen. In diesem Fall ist es das Verhältnis 15 Mädchen zu 20 Schülern.
  • Um ein Verhältnis in Prozent zu erhalten, musst du den Bruch so erweitern, dass  \nicefrac{\textrm{Zahl}}{100} herauskommt. Da 20 \cdot 5 = 100 ist, nimmst du Dein Verhältnis mal 5: 

    \[ \frac{ 15 }{ 20} \cdot 5 = \frac{15 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{15 \cdot 5}{100} = \frac{75}{100} = 75\,\% \]

  • Du erhältst  \nicefrac{75}{100}. Deine Klasse besteht zu \mathbf{75\,\%} aus Mädchen.

Verhältnisglied ausrechnen Typ 2

Eine weitere typische Aufgabe gibt dir ein Verhältnis von zwei Dingen a : b und die Menge eines der beiden Dinge a. Wie viele gibt es dann von der zweiten Sache b? Folgende Beispiele zeigen es dir:

Beispiel 5: Murmelsäckchen

  • Stell dir vor, du hast ein Säckchen mit Murmeln. Auf der Packung steht: „Für zwei blaue Murmeln sind drei gelbe Murmeln enthalten.“ Du hast die gelben Murmeln gezählt und weißt, es sind 12 gelbe Murmeln. Wie viele blaue Murmeln hast du?
  • Du weißt das Verhältnis von blauen zu gelben Murmeln ist die Anzahl der blauen durch die Anzahl der gelben Murmeln:

    \[ \textrm{Verhältnis von $\mathit{blau}$ zu $\mathit{gelb}$} = \frac{ 2\,\textrm{blaue Murmeln}  }{ 3\,\textrm{gelbe Murmeln} } \]

  • Dann kannst du das Verhältnis von blauen zu gelben Murmeln mal die Anzahl der gelben Murmeln nehmen, um die Zahl der blauen Murmeln auszurechnen:

    \[ \frac{ 2\,\textrm{blaue Murmeln}  }{ 3\,\textrm{gelbe Murmeln} } \cdot 12\,\textrm{gelbe Murmeln} = \frac{ 2\,\textrm{blaue Murmeln} \cdot 12\,\textrm{gelbe Murmeln}  }{ 3\,\textrm{gelbe Murmeln} } \]

  • Den Bruch kannst du wieder kürzen. 12 ist ein Vielfaches von 3:

    \[  \frac{ 2\,\textrm{blaue Murmeln} \cdot 12\,\textrm{gelbe Murmeln}  }{ 3\,\textrm{gelbe Murmeln} } = \frac{ 2\,\textrm{blaue Murmeln} \cdot 4 \cdot \cancel{ 3\,\textrm{gelbe Murmeln} }  }{ 1\cdot \cancel{3\,\textrm{gelbe Murmeln} } } = \frac{ 2\,\textrm{blaue Murmeln} \cdot 4 }{ 1 } \]

  • Anschließend vereinfachst du den Bruch:

    \[ \frac{ 2\,\textrm{blaue Murmeln} \cdot 4 }{ 1 } = 4 \cdot 2\,\textrm{blaue Murmeln} = 8\,\textrm{blaue Murmeln} \]

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Beispiel: Verhältnis von blauen zu gelben Murmeln
  • Du siehst: Wenn die Packung 2 blaue für 3 gelbe Murmeln enthält und du bereits 12 gelbe Murmeln gezählt hast, müssen 8 blaue Murmeln im Säckchen sein.

Beispiel 6: Verhältnisberechnung Kuchen backen

  • Stell dir vor, du willst einen Geburtstagskuchen backen und im Rezept steht „50 Gramm Mehl reichen für 2 Personen„, aber es kommen 10 Freunde. Wie viel Mehl brauchst du für den Kuchen?
  • Zuerst musst du wissen, wie viel Mehl du für einen Freund brauchst. Teile dafür die Menge an Mehl durch die Zahl der Personen:

    \[  \frac{ 50 \;\textrm{Gramm Mehl} }{ 2 \;\textrm{Freunde} } = \frac{ \cancel{2} \cdot 25 \;\textrm{Gramm Mehl} }{ \cancel{2} \cdot 1 \;\textrm{Freund} } = \frac{ 25 \;\textrm{Gramm Mehl} }{ 1 \;\textrm{Freund} } \]

  • Das Verhältnis von Mehl zu Freund ist 25 zu 1. Rechne das Verhältnis von Mehl zu Personen mal Deine 10 Freunde und vereinfache: 

    \[  \frac{ 25 \;\textrm{Gramm Mehl} \cdot 10 \cdot \cancel{1 \;\textrm{Freund}} }{ \cancel{1 \;\textrm{Freund}} } = 10 \cdot 25 \;\textrm{Gramm Mehl} = 250 \;\textrm{Gramm Mehl} \]

  • Du musst also 250 Gramm Mehl für 10 Freunde kaufen, wenn das Verhältnis von Mehl zu Freund 25 zu 1 ist.

Bruchrechnen

Du hast bestimmt schon gemerkt, dass Brüche beim Verhältnis berechnen das A und O sind. Wenn dich Brüche noch ins Schwitzen bringen, darfst du dir unsere Video zur Bruchrechnung nicht entgehen lassen! Dann läuft die nächste Schulaufgabe wie am Schnürchen. 


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