Mathematische Grundlagen
Brüche
 – Video

Was ist ein Doppelbruch und wie kannst du ihn lösen? Wir erklären dir Schritt für Schritt an unterschiedlichen Beispielaufgaben, wie du Doppelbrüche auflösen kannst. In unserem Video rechnen wir außerdem einige Beispiele mit dir durch.%neu: EE und nächster Abschnitt mit Beispiel. Beim Rest wurde nichts inhaltlich geändert

Doppelbruch auflösen einfach erklärt

Ein Doppelbruch ist ein Bruch im Bruch. Das bedeutet, dass sowohl im Zähler (oben) als auch im Nenner (unten) wieder ein Bruch steht. Du nennst ihn deshalb auch Mehrfachbruch.

    \[\frac{\textcolor{blue}{\text{Zähler}}}{\textcolor{red}{\text{Nenner}}} \qquad = \qquad  \frac{\; \frac{ \textcolor{teal}{2}}{\textcolor{blue}{3}}\;}{ \frac{\textcolor{orange}{1}}{\textcolor{red}{4}}}\]

Einen Doppelbruch kannst du in 3 Schritten ganz einfach auflösen:

  1. Schreibe den Doppelbruch als Division (:):

        \[ \frac{ \; \frac{ \textcolor{teal}{2}}{ \textcolor{blue}{3}} \;}{ \frac{\textcolor{orange}{1}}{\textcolor{red}{4}}} = \frac{ \textcolor{teal}{2}}{ \textcolor{blue}{3}} : \frac{\textcolor{orange}{1}}{\textcolor{red}{4}}  \]

  2. Dividiere die Brüche , indem du mit dem Kehrwert multiplizierst:

        \[ \frac{ \textcolor{teal}{2}}{ \textcolor{blue}{3}} : \frac{\textcolor{orange}{1}}{\textcolor{red}{4}}  = \frac{ \textcolor{teal}{2}}{ \textcolor{blue}{3}} \cdot \frac{\textcolor{red}{4}}{\textcolor{orange}{1}} \]

  3. Löse die Multiplikation :

        \[ \frac{ \textcolor{teal}{2}}{ \textcolor{blue}{3}} \cdot \frac{\textcolor{red}{4}}{\textcolor{orange}{1}} = \frac{ \textcolor{teal}{2} \cdot \textcolor{red}{4}}{\textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{orange}{1}} = \frac{8}{3}\]

Gar nicht so schwer, oder? Hier siehst du das Auflösen des Doppelbruchs nochmal auf einen Blick:

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Doppelbruch auflösen

Merke: Zum Auflösen eines Doppelbruchs wandelst du ihn zuerst in eine Division von 2 Brüchen um. Anschließend berechnest du die Division, indem du mit dem Kehrwert multiplizierst. Dazu musst du im zweiten Bruch den Zähler und Nenner vertauschen.

Doppelbruch auflösen Aufgabe

Jetzt weißt du, was Doppelbrüche sind, und wie du sie auflösen kannst. Schau dir am besten gleich noch eine Aufgabe dazu an:

Du sollst einen Bruch mit \frac{\textcolor{teal}{5}}{\textcolor{blue}{2}} im Zähler und \frac{\textcolor{orange}{3}}{\textcolor{red}{1}} im Nenner lösen.

    \[\frac{ \; \frac{\textcolor{teal}{5}}{\textcolor{blue}{2}} \;}{\frac{\textcolor{orange}{3}}{\textcolor{red}{1}}}\]

  1. Doppelbruch umschreiben:

        \[\frac{ \;\frac{\textcolor{teal}{5}}{\textcolor{blue}{2}} \;}{\frac{\textcolor{orange}{3}}{\textcolor{red}{1}}}=\frac{\textcolor{teal}{5}}{\textcolor{blue}{2}} : \frac{\textcolor{orange}{3}}{\textcolor{red}{1}}\]

  2. Mit Kehrwert multiplizieren: Ersetze das „:“ durch ein „⋅“ und vertausche im zweiten Bruch Zähler und Nenner.

        \[\frac{\textcolor{teal}{5}}{\textcolor{blue}{2}} : \frac{\textcolor{orange}{3}}{\textcolor{red}{1}} = \frac{\textcolor{teal}{5}}{\textcolor{blue}{2}} \cdot \frac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{orange}{3}}\]

  3. Bruchrechnung lösen:

        \[\frac{\textcolor{teal}{5}}{\textcolor{blue}{2}} \cdot \frac{\textcolor{red}{1}}{\textcolor{orange}{3}} = \frac{\textcolor{teal}{5} \, \cdot \, \textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{2} \, \cdot \, \textcolor{orange}{3}} = \frac{5}{6}\]

Der Mehrfachbruch ergibt also aufgelöst \frac{5}{6}.

 

Unvollständigen Doppelbruch auflösen

Ein Mehrfachbruch kann auch nur im Zähler oder nur im Nenner einen weiteren Bruch haben. Solche Brüche werden als unvollständige Doppelbrüche bezeichnet. Grundsätzlich kannst du sie aber genauso wie vollständige Doppelbrüche auflösen.

Beispiel mit Bruch im Nenner

In folgendem Beispiel hast du nur einen Bruch im Nenner.

    \[\frac{ \;6 \; }{\frac{\textcolor{orange}{2}}{\textcolor{red}{3}}}\]

  1. Mehrfachbruch umschreiben:

        \[6 : \frac{\textcolor{orange}{2}}{\textcolor{red}{3}}\]

  2. Ganze Zahl in Bruch umformen:

        \[\frac{6}{\textcolor{blue}{1}} : \frac{\textcolor{orange}{2}}{\textcolor{red}{3}}\]

  3. Mit Kehrwert multiplizieren:

        \[\frac{6}{\textcolor{blue}{1}} : \frac{\textcolor{orange}{2}}{\textcolor{red}{3}} = \frac{6}{\textcolor{blue}{1}} \cdot \frac{\textcolor{red}{3}}{\textcolor{orange}{2}}\]

  4. Bruchrechnung lösen:

        \[\frac{6}{\textcolor{blue}{1}} \cdot \frac{\textcolor{red}{3}}{\textcolor{orange}{2}} = \frac{6\, \cdot \, \textcolor{red}{3}}{\textcolor{blue}{1} \, \cdot\, \textcolor{orange}{2}} = \frac{18}{2} = 9\]

Beispiel mit Bruch im Zähler

Genauso kann natürlich auch ein Bruch im Zähler vorkommen.

    \[\frac{\;\frac{\textcolor{teal}{4}}{\textcolor{blue}{9}} \;}{3} = \frac{\textcolor{teal}{4}}{\textcolor{blue}{9}} : \frac{3}{\textcolor{red}{1}} = \frac{\textcolor{teal}{4}}{\textcolor{blue}{9}} \cdot \frac{\textcolor{red}{1}}{3} = \frac{\textcolor{teal}{4}\, \cdot \,\textcolor{red}{1}}{\textcolor{blue}{9}\, \cdot \,3} = \frac{4}{27}\]

Doppelbruch mit Variablen

Doppelbrüche können auch Variablen enthalten. Aber lass dich davon nicht verunsichern: Du kannst genauso vorgehen, wie in den vorherigen Beispielen gezeigt.

    \[\frac{\frac{\textcolor{teal}{2}}{ \textcolor{blue}{3}}}{\frac{\;\textcolor{orange}{4}}{\textcolor{red}{x+1}}\;}\]

  1. Mehrfachbruch umschreiben:

        \[\frac{\textcolor{teal}{2}}{\textcolor{blue}{3}} : \frac{\textcolor{orange}{4}}{\textcolor{red}{x+1}}\]

  2. Mit Kehrwert multiplizieren:

        \[\frac{\textcolor{teal}{2}}{\textcolor{blue}{3}} \cdot \frac{\textcolor{red}{x+1}}{\textcolor{orange}{4}} \]

  3. Bruchrechnung lösen:

        \[\frac{\textcolor{teal}{2}}{\textcolor{blue}{3}} \cdot \frac{\textcolor{red}{x+1}}{\textcolor{orange}{4}} = \frac{\textcolor{teal}{2} \cdot (\textcolor{red}{x+1})}{\textcolor{blue}{3} \cdot \textcolor{orange}{4}} = \frac{2x+2}{12}\]

Bruchrechnen Aufgaben

Sehr gut! Doppelbrüche auflösen wird dir in Zukunft keine Probleme mehr bereiten. Schau dir jetzt auf jeden Fall noch unser extra Aufgabenvideo %Verweis zum Bruchrechnen an. Dort findest du verschiedene Übungen zum Thema Bruchrechnung, die dich optimal auf deine nächste Prüfung vorbereiten. Viel Spaß!

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Zum Video: Bruchrechnung Aufgaben

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