Funktionen
Formen von quadratischen Funktionen
 – Video

Die Normalform und die Scheitelpunktform spielen bei quadratischen Funktionen eine große Rolle. Du willst wissen, wie du die beiden Formen ineinander umwandeln kannst? Dann bist du hier und im Video genau richtig!

Normalform und Scheitelpunktform einfach erklärt

Die Normalform und die Scheitelpunktform einer Parabel kannst du ganz leicht unterscheiden:

  • Die Normalform (auch: allgemeine Form) sieht zum Beispiel so aus:

2x2 – 4x – 2

Allgemein hat die Normalform einer quadratischen Funktion immer die Struktur ax2 + bx + c. Dabei kannst du für a, b und c verschiedene Zahlen wählen, wie oben im Beispiel 2, -4 und-2

2 • (x – 1)2 – 4

Allgemein erkennst du immer die Struktur a • (x – d)2 + e. Die Buchstaben a, d und e stehen dabei stellvertretend für Zahlen. 

An der Normalform kannst du den Schnittpunkt mit der y-Achse direkt ablesen. Bei der Scheitelpunktform erkennst du sofort den Scheitelpunkt. Daher musst du die beiden Formen oft ineinander umwandeln. Aber wie genau kannst du quadratische Funktionen umformen?

Normalform in Scheitelpunktform umwandeln

Die Scheitelpunktform hat den Vorteil, dass du daran direkt den Scheitelpunkt einer Parabel ablesen kannst. Deshalb formst du oft eine Normalform in die Scheitelpunktform um.

Dafür brauchst du mit der quadratischen Ergänzung nur 5 Schritte. Schau dir diese am Beispiel 2x2 – 4x – 2 an:

  • Schritt 1: Klammer die Zahl vor dem x2 aus:

2 • (x22x – 1)

  • Schritt 2: Nimm die Hälfte der Zahl vor dem x (hier: Hälfte von 2 1). Addiere (+) und subtrahiere (-) das Quadrat dieser Zahl. Deshalb sprichst du auch von quadratischer Ergänzung.

2 • (x22x + 1212– 1)

  • Schritt 3: Bei (x22x + 12) kannst du eine binomische Formel rückwärts anwenden. Verwende dafür eine Klammer im Quadrat:
    In die Klammer schreibst du x – oder x + und dahinter die Zahl, die im Quadrat dasteht. Ob + oder entscheidet das Vorzeichen vor dem 2x, hier also

2 • ((x – 1)212– 1)

  • Schritt 4: Rechne die beiden Zahlen hinter der Klammer zusammen (hier: – 12– 1 = -2):

2 • ((x – 1)2 – 2)

  • Schritt 5: Löse die Klammern auf . Schreibe dafür die Zahl ganz vorne vor die Klammer und nimm sie mal die hintere Zahl (hier: 2 • (-2) = -4). 

2(x – 1)2 – 4

Super, schon hast du deine Scheitelpunktform! Hier siehst du die Schritte nochmal im Überblick:

Normalform in Scheitelform umwandeln

Du hast eine quadratische Funktion in der allgemeinen Form ax2 + bx + c gegeben. Mit der quadratischen Ergänzung kannst du sie in die Scheitelpunktform a • (x – d)² + e umwandeln:

  1. Klammere die Zahl vor dem x2 aus.
  2. Halbiere die Zahl vor dem x und addiere und subtrahiere das Quadrat dieser Zahl.
  3. Wende eine binomische Formel rückwärts an.
  4. Rechne die Zahlen hinter der Klammer zusammen.
  5. Multipliziere aus. Du erhältst eine Scheitelpunktform.

Übrigens: An der Scheitelpunktform kannst du sofort den Scheitelpunkt ablesen. Die x-Koordinate ist die Zahl in der Klammer (mit geändertem Vorzeichen!) und die y-Koordinate ist die Zahl hinter der Klammer. Der Scheitelpunkt S ist im Beispiel also:

S(1|-4)

Scheitelpunktform in Normalform umwandeln

Die Normalform einer quadratischen Funktion brauchst du, wenn du zum Beispiel die Mitternachtsformel oder die pq-Formel anwenden willst, um Nullstellen zu finden. Außerdem kannst du an der Normalform ganz leicht den Schnittpunkt mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt) ablesen.

Deshalb musst du oft die Scheitelpunktform in die Normalform umwandeln. Dafür brauchst du nur 3 einfache Schritte. Schau sie dir am Beispiel einer quadratischen Funktion an:

  • Schritt 1: In der Scheitelpunktform 2(x – 1)2 – 4 findest du die binomische Forme l (x – 1)2 . Wenn du sie auflöst, erhältst du:

2 • (x2 – 2x + 1) – 4

2x2 – 4x + 2 – 4

  • Schritt 3: Reche die beiden hinteren Zahlen zusammen (hier: 2 – 4 = -2):

2x2 – 4x – 2

Prima! Damit hast du deine Normalform der Parabel gefunden!

Scheitelpunktform in Normalform umwandeln

Du hast die Scheitelpunktform a • (x – d)2 + e einer quadratischen Funktion gegeben. Wenn du sie in die Normalform ax2 + bx + c umwandeln willst, gehst du so vor:

  1. Löse die Klammer (x – d)2 mit einer binomischen Formel auf.
  2. Multipliziere aus.
  3. Rechne zusammen.

Übrigens: An der Normalform kannst du sofort den Schnittpunkt S der Parabel mit der y-Achse ausrechnen. Er liegt bei S(0|-2).

Quadratische Ergänzung

Du hast gesehen, dass du die quadratische Ergänzung brauchst, um die Normalform einer quadratischen Funktion in eine Scheitelpunktform umzuformen. Du möchtest dazu noch mehr Beispiele sehen und Aufgaben rechnen? Dann schau dir unser Video und unseren Artikel an!

Zum Video: Quadratische Ergänzung
Zum Video: Quadratische Ergänzung

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