Was ist der Unterschied zwischen Normalform und Scheitelpunktform?

Der Unterschied zwischen Normalform und Scheitelpunktform liegt in der Schreibweise und darin, was du direkt ablesen kannst: Die Normalform hat die Struktur , die Scheitelpunktform die Struktur . In der Normalform liest du den y-Achsenabschnitt ab, in der Scheitelpunktform den Scheitelpunkt.

Warum ist die Scheitelpunktform oft praktischer als die Normalform?

Die Scheitelpunktform ist oft praktischer als die Normalform, weil du den Scheitelpunkt der Parabel sofort ablesen kannst. Das spart Umformungen, wenn du den höchsten oder tiefsten Punkt brauchst. Konkret zeigt direkt den Scheitelpunkt .

Wie wandle ich die Normalform mit quadratischer Ergänzung um?

Du wandelst die Normalform mit quadratischer Ergänzung um, indem du zuerst die Zahl vor ausklammerst und dann die Zahl vor halbierst. Danach addierst und subtrahierst du das Quadrat dieser Hälfte, fasst zur Klammer im Quadrat zusammen, rechnest die Zahlen hinter der Klammer zusammen und multiplizierst am Ende aus.

Wie entscheide ich bei der Klammer, ob da x plus oder x minus steht?

Ob in der Klammer oder steht, entscheidest du über das Vorzeichen vor dem -Term in der Klammer, nachdem du ausgeklammert hast. Steht dort zum Beispiel , wird daraus , weil das Minus vor dem auch in der Klammer als Minus erscheint.

Video

Quiz

Hier geht's zum Video „Binomische Formeln“

Hier geht's zum Video „Ausmultiplizieren und Ausklammern“

Hier geht's zum Video „Mitternachtsformel“

Hier geht's zum Video „pq Formel“

Hier geht's zum Video „Quadratische Ergänzung“

Normalform und Scheitelpunktform

Wichtige Inhalte in diesem Video

Normalform und Scheitelpunktform einfach erklärt

(00:15)

Normalform in Scheitelpunktform umwandeln

(00:47)

Scheitelpunktform in Normalform umwandeln

(02:54)

Die Normalform und die Scheitelpunktform spielen bei quadratischen Funktionen eine große Rolle. Du willst wissen, wie du die beiden Formen ineinander umwandeln kannst? Dann bist du hier und im Video genau richtig!

Inhaltsübersicht

Normalform und Scheitelpunktform einfach erklärt

im Videozur Stelle im Video springen

(00:15)

Die Normalform und die Scheitelpunktform einer Parabel kannst du ganz leicht unterscheiden:

Die Normalform (auch: allgemeine Form) sieht zum Beispiel so aus:

2x² – 4x – 2

Allgemein hat die Normalform einer quadratischen Funktion immer die Struktur ax² + bx + c. Dabei kannst du für a, b und c verschiedene Zahlen wählen, wie oben im Beispiel 2, -4 und-2.

Die Scheitelpunktform zur Normalform 2x² – 4x – 2 lautet:

2 • (x – 1)² – 4

Allgemein erkennst du immer die Struktur a • (x – d)² + e. Die Buchstaben a, d und e stehen dabei stellvertretend für Zahlen.

An der Normalform kannst du den Schnittpunkt mit der y-Achse direkt ablesen. Bei der Scheitelpunktform erkennst du sofort den Scheitelpunkt. Daher musst du die beiden Formen oft ineinander umwandeln. Aber wie genau kannst du quadratische Funktionen umformen?

Normalform in Scheitelpunktform umwandeln

im Videozur Stelle im Video springen

(00:47)

Die Scheitelpunktform hat den Vorteil, dass du daran direkt den Scheitelpunkt einer Parabel ablesen kannst. Deshalb formst du oft eine Normalform in die Scheitelpunktform um.

Dafür brauchst du mit der quadratischen Ergänzung nur 5 Schritte. Schau dir diese am Beispiel 2x² – 4x – 2 an:

Schritt 1: Klammer die Zahl vor dem x² aus:

2 • (x² – 2x – 1)

Schritt 2: Nimm die Hälfte der Zahl vor dem x (hier: Hälfte von 2 = 1). Addiere (+) und subtrahiere (-) das Quadrat dieser Zahl. Deshalb sprichst du auch von quadratischer Ergänzung.

2 • (x² – 2x + 1² – 1²– 1)

Schritt 3: Bei (x² – 2x + 1²) kannst du eine binomische Formel rückwärts anwenden. Verwende dafür eine Klammer im Quadrat:
In die Klammer schreibst du x – oder x + und dahinter die Zahl, die im Quadrat dasteht. Ob + oder – entscheidet das Vorzeichen vor dem 2x, hier also –.

2 • ((x – 1)² – 1²– 1)

Schritt 4: Rechne die beiden Zahlen hinter der Klammer zusammen (hier: – 1²– 1 = -2):

2 • ((x – 1)² – 2)

Schritt 5: Löse die Klammern auf . Schreibe dafür die Zahl ganz vorne vor die Klammer und nimm sie mal die hintere Zahl (hier: 2 • (-2) = -4).

2 • (x – 1)² – 4

Super, schon hast du deine Scheitelpunktform! Hier siehst du die Schritte nochmal im Überblick:

Normalform in Scheitelform umwandeln

Du hast eine quadratische Funktion in der allgemeinen Form ax² + bx + c gegeben. Mit der quadratischen Ergänzung kannst du sie in die Scheitelpunktform a • (x – d)² + e umwandeln:

Klammere die Zahl vor dem x² aus.
Halbiere die Zahl vor dem x und addiere und subtrahiere das Quadrat dieser Zahl.
Wende eine binomische Formel rückwärts an.
Rechne die Zahlen hinter der Klammer zusammen.
Multipliziere aus. Du erhältst eine Scheitelpunktform.

Übrigens: An der Scheitelpunktform kannst du sofort den Scheitelpunkt ablesen. Die x-Koordinate ist die Zahl in der Klammer (mit geändertem Vorzeichen!) und die y-Koordinate ist die Zahl hinter der Klammer. Der Scheitelpunkt S ist im Beispiel also:

S(1|-4)

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Scheitelpunktform in Normalform umwandeln

im Videozur Stelle im Video springen

(02:54)

Die Normalform einer quadratischen Funktion brauchst du, wenn du zum Beispiel die Mitternachtsformel oder die pq-Formel anwenden willst, um Nullstellen zu finden. Außerdem kannst du an der Normalform ganz leicht den Schnittpunkt mit der y-Achse (y-Achsenabschnitt) ablesen.

Deshalb musst du oft die Scheitelpunktform in die Normalform umwandeln. Dafür brauchst du nur 3 einfache Schritte. Schau sie dir am Beispiel einer quadratischen Funktion an:

Schritt 1: In der Scheitelpunktform 2 • (x – 1)² – 4 findest du die binomische Forme l (x – 1)². Wenn du sie auflöst, erhältst du:

2 • (x² – 2x + 1) – 4

Schritt 2: Multipliziere aus . Nimm dafür die 2 mit jedem Teil in der Klammer mal:

2x² – 4x + 2 – 4

Schritt 3: Reche die beiden hinteren Zahlen zusammen (hier: 2 – 4 = -2):

2x² – 4x – 2

Prima! Damit hast du deine Normalform der Parabel gefunden!

Scheitelpunktform in Normalform umwandeln

Du hast die Scheitelpunktform a • (x – d)² + e einer quadratischen Funktion gegeben. Wenn du sie in die Normalform ax² + bx + c umwandeln willst, gehst du so vor:

Löse die Klammer (x – d)²mit einer binomischen Formel auf.
Multipliziere aus.
Rechne zusammen.

Übrigens: An der Normalform kannst du sofort den Schnittpunkt S der Parabel mit der y-Achse ausrechnen. Er liegt bei S(0|-2).

Normalform und Scheitelpunktform — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was ist der Unterschied zwischen Normalform und Scheitelpunktform?

Der Unterschied zwischen Normalform und Scheitelpunktform liegt in der Schreibweise und darin, was du direkt ablesen kannst: Die Normalform hat die Struktur , die Scheitelpunktform die Struktur $a\cdot(x-d)^2+e$ . In der Normalform liest du den y-Achsenabschnitt ab, in der Scheitelpunktform den Scheitelpunkt.
Warum ist die Scheitelpunktform oft praktischer als die Normalform?

Die Scheitelpunktform ist oft praktischer als die Normalform, weil du den Scheitelpunkt der Parabel sofort ablesen kannst. Das spart Umformungen, wenn du den höchsten oder tiefsten Punkt brauchst. Konkret zeigt $2\cdot(x-1)^2-4$ direkt den Scheitelpunkt .
Wie wandle ich die Normalform mit quadratischer Ergänzung um?

Du wandelst die Normalform mit quadratischer Ergänzung um, indem du zuerst die Zahl vor ausklammerst und dann die Zahl vor halbierst. Danach addierst und subtrahierst du das Quadrat dieser Hälfte, fasst zur Klammer im Quadrat zusammen, rechnest die Zahlen hinter der Klammer zusammen und multiplizierst am Ende aus.
Wie entscheide ich bei der Klammer, ob da x plus oder x minus steht?

Ob in der Klammer oder steht, entscheidest du über das Vorzeichen vor dem -Term in der Klammer, nachdem du ausgeklammert hast. Steht dort zum Beispiel , wird daraus , weil das Minus vor dem auch in der Klammer als Minus erscheint.
Wie lese ich den Scheitelpunkt aus der Scheitelpunktform ab?

Den Scheitelpunkt liest du aus $a\cdot(x-d)^2+e$ so ab: Die x-Koordinate ist die Zahl in der Klammer mit geändertem Vorzeichen und die y-Koordinate ist die Zahl hinter der Klammer. Zum Beispiel hat die Funktion $2\cdot(x-1)^2-4$ den Scheitelpunkt .

Quadratische Ergänzung

Du hast gesehen, dass du die quadratische Ergänzung brauchst, um die Normalform einer quadratischen Funktion in eine Scheitelpunktform umzuformen. Du möchtest dazu noch mehr Beispiele sehen und Aufgaben rechnen? Dann schau dir unser Video und unseren Artikel an!