Geometrie

Oberfläche Kegel

In diesem Beitrag erklären wir dir, wie du die Oberfläche vom Kegel bestimmen kannst und wieso du dafür die Mantelfläche vom Kegel berechnen musst. Du willst dich beim Lernen lieber zurücklehnen? Dann schau dir gleich unser Video zur Kegel Oberfläche an!

Inhaltsübersicht

 Wie berechnet man die Oberfläche vom Kegel?

Der Oberflächeninhalt vom Kegel setzt sich aus zwei Bestandteilen zusammen. Dazu gehört die blaue Grundfläche G, die die Form von einem Kreis hat und die rote Mantelfläche M. 

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Oberfläche Kegel

Natürlich gibt es zum Berechnen der Oberfläche vom Kegel eine Formel.

O = G + M

O = \textcolor{blue}{r}^2 \cdot \pi + \textcolor{blue}{r} \cdot \pi \cdot \textcolor{red}{s}

In der Formel tauchen verschiedene Größen des Kreiskegels auf.

  • Grundfläche G
  • Mantelfläche M
  • Radius r der Grundfläche
  • Mantellinie s, die die Spitze mit einem Punkt auf der Kreislinie verbindet.
  • Kreiszahl \pi (3,1415…)

Wir schauen uns gleich genauer an, wie du die Oberfläche bei einem Kegel berechnen kannst. Vorher erklären wir dir aber noch die Mantelfläche vom Kegel. Sie ist nämlich ein Bestandteil der Kegel Oberfläche. Zum Schluss schauen wir uns für die Mantelfläche vom Kegel und für die Oberfläche des Kegels die Herleitung an. 

Mantelfläche Kegel

Die Mantelfläche eines Kegels verbindet die Kreislinie der Grundfläche mit der Spitze. Der Mantel vom Kegel ist ein Teil vom Oberflächeninhalt. Wenn du einen Kegel entlang der Mantellinie s aufschneidest, kannst du die Mantelfläche von jedem Kegel flach darstellen.

Kegel Netz
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Kegel Netz

Um die Kegel Mantelfläche zu berechnen, kannst du die folgende Formel verwenden. 

M = \textcolor{blue}{r} \cdot \pi \cdot \textcolor{red}{s}

Du brauchst also den Radius r von der Kegel Grundfläche und die Mantellinie s vom Kegel. Schauen wir uns an, wie du die Mantelfläche bei einem Kegel berechnen kannst. 

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Beispiel

Wir betrachten zum Berechnen der Mantelfläche einen Kegel mit Radius \textcolor{blue}{r=5\text{cm}} und Mantellinie \textcolor{red}{s=12\text{cm}}

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Mantelfläche Kegel: Beispiel
  • Formel aufstellen:

M = \textcolor{blue}{r} \cdot \pi \cdot \textcolor{red}{s}

  • Angaben einsetzen:

M = \textcolor{blue}{5\text{cm}} \cdot \pi \cdot \textcolor{red}{12\text{cm}}

  • Mantel vom Kegel berechnen:

M = 60\text{cm}^2 \cdot \pi \approx 188,5\text{cm}^2

Die Kegelmantelfläche ist in diesem Beispiel also 188,5cm² groß. Du kannst mit der Formel immer diese Fläche beim Kegel berechnen. 

Kegel Oberfläche berechnen

Mit Hilfe der Mantelfläche kannst du nun auch die Oberfläche vom Kegel berechnen. Der ganze Oberflächeninhalt von einem Kegel setzt sich nämlich aus der Grundfläche G und der Mantelfläche M zusammen.

O = G + M = r^2 \cdot \pi + r \cdot \pi \cdot s

Auch zum Oberflächeninhalt vom Kegel schauen wir uns ein Beispiel an. 

Beispiel 1

Du sollst den Oberflächeninhalt vom Kegel mit Radius \textcolor{blue}{r=3\text{cm}} und Mantellinie \textcolor{red}{s=8\text{cm}} berechnen. 

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Oberfläche Kegel: Beispiel 1

Mit der Formel für die Kegel Oberfläche funktioniert das in wenigen Schritten. 

  • Formel aufstellen:

O = \textcolor{blue}{r}^2 \cdot \pi + \textcolor{blue}{r} \cdot \pi \cdot \textcolor{red}{s}

  • Angaben einsetzen:

O = (\textcolor{blue}{3\text{cm}})^2 \cdot \pi + \textcolor{blue}{3\text{cm}} \cdot \pi \cdot \textcolor{red}{8\text{cm}}

  • Ergebnis ausrechnen:

O = 9\text{cm}^2 \cdot \pi + 24\text{cm}^2 \cdot \pi = 33\text{cm}^2 \cdot \pi \approx 103,7\text{cm}^2

Damit hat dieser Kegel einen Flächeninhalt von ungefähr 103,7cm². Du kannst für die Oberfläche vom Kegel die Formel immer anwenden, wenn Radius und Mantellinie gegeben sind. 

Beispiel 2

Nicht immer hast du direkt alle Angaben gegeben. Manchmal sollst du zum Beispiel den Flächeninhalt vom Kegel aus der Höhe im Kegel berechnen. Dabei fehlt dir die Mantellinie s. Trotzdem kannst du die Fläche vom Kegel bestimmen. 

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Oberfläche Kegel: Beispiel 2

Mit dem Satz des Pythagoras kannst du problemlos die Mantellinie aus der Höhe vom Kegel berechnen. Die Höhe steht nämlich senkrecht auf der Kegel Grundfläche. So ergibt sich ein rechtwinkliges Dreieck und es gilt

\textcolor{red}{s}^2 = \textcolor{blue}{r}^2 + h^2.

Daraus kannst du nun die Mantellinie s aus der gegebenen Höhe vom Kegel berechnen.

\textcolor{red}{s} = \sqrt{\textcolor{blue}{r}^2 + h^2}

\textcolor{red}{s} = \sqrt{(\textcolor{blue}{5\text{cm}})^2 + (12\text{cm})^2} = \sqrt{25\text{cm}^2 + 144\text{cm}^2} = \sqrt{169\text{cm}^2} = 13\text{cm}

Mit der Mantellinie \textcolor{red}{s=13\text{cm}} kannst du nun wie gewohnt die Oberfläche vom Kegel bestimmen

  • Formel aufstellen:

O = \textcolor{blue}{r}^2 \cdot \pi + \textcolor{blue}{r} \cdot \pi \cdot \textcolor{red}{s}

  • Angaben einsetzen:

O = (\textcolor{blue}{5\text{cm}})^2 \cdot \pi + \textcolor{blue}{5\text{cm}} \cdot \pi \cdot \textcolor{red}{13\text{cm}}

  • Ergebnis ausrechnen:

O = 25\text{cm}^2 \cdot \pi + 65\text{cm}^2 \cdot \pi = 90\text{cm}^2 \cdot \pi \approx 282,7\text{cm}^2

Mit einem kleinen Umweg kommst du also auch so zum Kegel Flächeninhalt

Hinweis: Du kannst auch aus der Mantellinie s die Höhe im Kegel berechnen

Herleitung

Zum Schluss erklären wir dir noch, woher die Formel für die Kegel Oberfläche eigentlich kommt. 

  • Mantelfläche Kegel Herleitung:

Die Mantelfläche von einem Kegel sieht aus wie ein Kreisbogen. 

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Mantelfläche Kegel

Für die Fläche von einem Kreisbogen gibt es eine Formel.

M = \frac{b \cdot s}{2}

Die Bogenlänge b von der Kegel Mantelfläche entspricht dem Umfang vom Kegel. Mit der Formel für den Kreisumfang kannst du den Umfang vom Kegel berechnen. 

U = 2 \cdot \pi \cdot r

Das setzt du noch in die Formel für den Mantel vom Kegel ein. Der Kegel Umfang kürzt sich mit der 2 im Nenner. 

M =  \frac{U \cdot s}{2} = \frac{(2 \cdot \pi \cdot r) \cdot s}{2} = r \cdot \pi \cdot s

So kommst du zur bekannten Formel für die Mantelfläche von einem Kegel

  • Grundfläche Kegel:

Die Kegel Grundfläche kannst du wie eine Kreisfläche  berechnen. 

G = r^2 \cdot \pi

  • Kegel Oberflächeninhalt:

Insgesamt rechnest du die Kegel Grundfläche plus die Mantelfläche vom Kegel

O = \underbrace{r^2 \cdot \pi}_{\text{Grundfläche}} + \underbrace{r \cdot \pi \cdot s}_{\text{Mantelfläche}}

O = r^2 \cdot \pi + r \cdot \pi \cdot s

Kegel Formeln

Für die verschiedenen Größen im Kegel gibt es also praktische Formeln, die du dir am besten merkst. 

  • Oberfläche Kegel: O = r^2 \cdot \pi + r \cdot \pi \cdot s
  • Mantelfläche Kegel: M = r \cdot \pi \cdot s
  • Volumen Kegel: V = \frac{1}{3} \cdot r^2 \cdot \pi \cdot h

Mehr über das Volumen vom Kegel erklären wir dir in unserem Video dazu. Schau es dir gleich an, um viele Beispiele zum Kegelvolumen zu sehen!

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Zum Video: Volumen Kegel

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