Geometrie
Pyramide und Kegel
 – Video

In diesem Beitrag erklären wir dir, wie du die Oberfläche vom Kegel bestimmen kannst und wieso du dafür die Mantelfläche vom Kegel berechnen musst. Du willst dich beim Lernen lieber zurücklehnen? Dann schau dir gleich unser Video zur Kegel Oberfläche an!

Wie berechnet man die Oberfläche vom Kegel?%verändert

Ein Kegel ist ein geometrischer Körper . Aus dem Alltag kennst du ihn zum Beispiel in Form von Eiswaffeln, Schultüten oder Turmdächern. Er hat einen Kreis als Grundfläche G und eine Spitze. Die Fläche zwischen Grundfläche und Spitze nennst du Mantelfläche M.

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Oberfläche Kegel

Die Grundfläche hat einen Radius r. Das ist der Abstand vom Kreismittelpunkt bis zum Rand des Kegels. Die Mantellinie s beschreibt den Abstand von der Kreislinie bis zur Spitze. 

Die Oberfläche vom Kegel setzt sich aus der Grundfläche G und der Mantelfläche M zusammen. Um die Kegel Oberfläche zu berechnen, benutzt du deshalb die Formel

O = G + M

Setzt du nun die Formeln für die Grundfläche und die Mantelfläche ein, bekommst du:

O = r2 · π + r · π · s

Schauen wir uns an, wie du die Oberfläche beim Kegel berechnest. 

Oberfläche Kegel%verändert

Wenn du einen Kegel entlang der Mantellinie s aufschneidest, kannst du die Mantelfläche von jedem Kegel flach darstellen.

Kegel Netz
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Kegel Netz

Um die gesamte Kegel Oberfläche zu berechnen, gehst du Schritt für Schritt vor: 

  1. Berechne die Grundfläche G 
  2. Berechne die Mantelfläche M
  3. Addiere die Flächen G und M (O = G + M)

Die Grundfläche des Kegels ist ein Kreis, deshalb berechnest du sie mit der Formel:

G = r2 · π

Um die Kegel Mantelfläche zu berechnen, kannst du folgende Formel verwenden:

M = r · π · s

Du brauchst also den Radius r von der Kegel Grundfläche und die Mantellinie s vom Kegel. Schauen wir uns an, wie du die Oberfläche bei einem Kegel berechnen kannst. 

Beispiel

Wir betrachten zum Berechnen der Oberfläche einen Kegel mit Radius r = 5 cm und Mantellinie s = 12 cm

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Mantelfläche Kegel: Beispiel

1. Grundfläche G berechnen:

G = r2 · π

G = (5 cm)2 · π ≈ 78,5 cm2

2. Mantelfläche M berechnen:

M = r · π · s

M = (5 cm) · π · (12 cm) ≈ 188,5 cm2

3. Flächen addieren:

O = G + M

O = 78,5 cm2 + 188,5 cm2 = 267 cm2

Die Kegeloberfläche ist in diesem Beispiel also O = 267 cm2 groß. Du kannst mit der Formel immer die Fläche beim Kegel berechnen. 

Woher kommt eigentlich die Formel für die Kegel Oberfläche? Schau dir die Herleitung der Mantelfläche jetzt genauer an.

Mantelfläche Kegel Herleitung%gleich

Die Mantelfläche von einem Kegel sieht aus wie ein Kreisbogen. 

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Mantelfläche Kegel

Für die Fläche von einem Kreisbogen gibt es eine Formel.

M = \frac{b \cdot s}{2}

Die Bogenlänge b von der Kegel Mantelfläche ist dasselbe wie der Umfang U vom Kegel. Mit der Formel für den Kreisumfang kannst du den Umfang vom Kegel berechnen. 

U = 2 \cdot \pi \cdot r

Das setzt du noch in die Formel für den Mantel vom Kegel ein. Der Kegel Umfang kürzt sich mit der 2 im Nenner. 

M =  \frac{U \cdot s}{2} = \frac{(2 \cdot \pi \cdot r) \cdot s}{2} = r \cdot \pi \cdot s

So kommst du zur bekannten Formel für die Mantelfläche von einem Kegel

Für die gesamte Oberfläche des Kegels rechnest du die Kegel Grundfläche plus die Mantelfläche vom Kegel

O = \underbrace{r^2 \cdot \pi}_{\text{Grundfläche}} + \underbrace{r \cdot \pi \cdot s}_{\text{Mantelfläche}}

O = r^2 \cdot \pi + r \cdot \pi \cdot s

Kegel Oberfläche berechnen%latex entfernt, sonst gleich

Schau dir die Berechnung der Kegel Oberfläche noch an ein paar Beispielen an:

Beispiel 1

Du sollst den Oberflächeninhalt vom Kegel mit Radius r = 3 cm und Mantellinie s = 8 cm berechnen. 

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Oberfläche Kegel: Beispiel 1

Mit der Formel für die Kegel Oberfläche funktioniert das in wenigen Schritten. 

  • Formel aufstellen:

O = r2 · π + r · π · s

  • Angaben einsetzen:

O = (3 cm)2 · π + (3 cm) · π · (8 cm)

  • Ergebnis ausrechnen:

O = 9 cm2 · π + 24 cm2 · π = 33 cm2 · π ≈ 103,7cm2

Damit hat dieser Kegel einen Flächeninhalt von ungefähr 103,7cm². Du kannst für die Oberfläche vom Kegel die Formel immer anwenden, wenn Radius und Mantellinie gegeben sind. 

Beispiel 2

Nicht immer hast du direkt alle Angaben gegeben. Manchmal sollst du zum Beispiel den Flächeninhalt vom Kegel aus der Höhe im Kegel berechnen. Dabei fehlt dir die Mantellinie s. Trotzdem kannst du die Fläche vom Kegel bestimmen. 

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Oberfläche Kegel: Beispiel 2

Mit dem Satz des Pythagoras kannst du problemlos die Mantellinie aus der Höhe vom Kegel berechnen. Die Höhe steht nämlich senkrecht auf der Kegel Grundfläche. So ergibt sich ein rechtwinkliges Dreieck und es gilt

\textcolor{red}{s}^2 = \textcolor{blue}{r}^2 + h^2.

Daraus kannst du nun die Mantellinie s aus der gegebenen Höhe vom Kegel berechnen.

\textcolor{red}{s} = \sqrt{\textcolor{blue}{r}^2 + h^2}

\textcolor{red}{s} = \sqrt{(\textcolor{blue}{5\text{cm}})^2 + (12\text{cm})^2} = \sqrt{25\text{cm}^2 + 144\text{cm}^2} = \sqrt{169\text{cm}^2} = 13\text{cm}

Mit der Mantellinie s = 13 cm kannst du nun wie gewohnt die Oberfläche vom Kegel bestimmen

  • Formel aufstellen:

O = r2 · π + r · π · s

  • Angaben einsetzen:

O = (5 cm)2 · π + (5 cm) · π · (13 cm)

  • Ergebnis ausrechnen:

O = 25 cm2 · π + 65 cm2 · π = 90 cm2 · π ≈ 282,7 cm2

Mit einem kleinen Umweg kommst du also auch so zum Kegel Flächeninhalt

Kegel Formeln%latex entfernt, sonst gleich

Für die verschiedenen Größen im Kegel gibt es also praktische Formeln, die du dir am besten merkst. 

  • Oberfläche Kegel: O = r2 · π + r · π · s
  • Mantelfläche Kegel: M = r · π · s
  • Volumen Kegel: V = \frac{1}{3} · r2 · π · h

Mehr über das Volumen vom Kegel erklären wir dir in unserem Video dazu. Schau es dir gleich an, um viele Beispiele zum Kegelvolumen zu sehen!

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Zum Video: Volumen Kegel

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