Mathematische Grundlagen

Dreisatz

Am Dreisatz kommst du weder in der Schule noch im späteren Leben vorbei. Hier erklären wir dir an zahlreichen Beispielen, wie du sowohl den antiproportionalen Dreisatz als auch den proportionalen Dreisatz anwendest.

Inhaltsübersicht

Dreisatz einfach erklärt

Der Dreisatz ist ein Verfahren, mit dem du Aufgaben über das Verhältnis zwischen zwei Größen lösen kannst. Dabei weißt du, wie viel von der einen Größe wie viel von der anderen Größe entsprechen.

Dreisatz Schema proportional Lösungsschema
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Lösungsschema des proportionalen Dreisatzes

Dein Ziel ist es, das gleiche Verhältnis für eine andere Mengeneinheit zu berechnen. Beispielsweise weißt du, dass 2 Liter Milch 3 € kosten. Mit dem Dreisatz könntest du nun berechnen, wie viele Liter Milch du für 5 € bekommen kannst. Das Ergebnis erhältst du immer in nur drei Schritten – deshalb auch der Name Dreisatz. 

Die drei Schritte beim Dreisatz 
  1. Schreibe alles auf, was du über beide Größen bereits weißt 
  2. Berechne das Verhältnis für eine einzige Einheit der einen Größe 
  3. Bestimme nun ganz leicht das Verhältnis zwischen den beiden Größen für eine Mengenangabe deiner Wahl 
 

Proportionaler und antiproportionaler Dreisatz

Es gibt zwei verschiedene Arten des Dreisatzes: Den proportionalen und den antiproportionalen Dreisatz . Der antiproportionale Dreisatz wird manchmal auch umgekehrter Dreisatz genannt.

Was der Unterschied zwischen den beiden Arten ist und wie du bei der Berechnung jeweils genau vorgehen musst, sehen wir uns gleich Schritt für Schritt an einem Beispiel an. Wenn du dich schon mit dem Dreisatz auskennst und stattdessen dein Können testen möchtest, ist unser Beitrag zu Aufgaben für den Dreisatz (mit Lösungen!) genau das Richtige für dich.

Merke
  • Beim proportionalen Dreisatz gilt die Regel: „Je mehr desto mehr“. Das bedeutet, wenn die eine Größe mehr wird, wird auch die andere Größe mehr.  Diesen Fall hast du etwa, wenn du im Supermarkt Äpfel kaufst: Je mehr Äpfel du haben möchtest, desto mehr Geld musst du auch bezahlen.
  • Beim antiproportionalen Dreisatz lautet die Regel hingegen: „Je mehr desto weniger“. Das heißt, je mehr ich von der einen Größe habe, desto weniger habe ich von der anderen. Diesen Fall findest du beispielsweise, wenn du nach einer Feier aufräumen musst. Je mehr Leute dir helfen, desto weniger Zeit benötigt ihr. 

Beim proportionalen und beim antiproportionalen Dreisatz musst du ein bisschen unterschiedlich rechnen. Wie du bei der Berechnung jeweils vorgehen musst, erklären wir dir jetzt.

Beispiel: proportionaler Dreisatz 

Zunächst sehen wir uns ein Beispiel für den proportionalen Dreisatz an. 
Stell‘ dir vor, 3 Folgen deiner Lieblingsserie dauern insgesamt 90 Minuten.
Nun möchtest du wissen, wie viele Minuten 8 Folgen dauern. Um auf das Ergebnis zu kommen, wendest du den Dreisatz an.

Zunächst musst du entscheiden, ob du die Rechenschritte für den proportionalen oder den antiproportionalen Dreisatz benötigst. Dafür siehst du dir die Aufgabenstellung genau an.

Bei unserem Beispiel ist es so: Je mehr Folgen deiner Lieblingsserie du ansiehst, desto mehr Zeit brauchst du. Wir befinden uns also im „je mehr desto mehr“- Fall und müssen die Rechenschritte für den proportionalen Dreisatz anwenden.

Proportionaler Dreisatz: Schritt 1

Starten wir also mit der Berechnung:

In einem ersten Schritt zeichnest du eine kleine Tabelle mit zwei Spalten und drei Zeilen. In die erste Zeile schreibst du alles, was du bereits weißt. In unserem Fall ist das, dass 3 Folgen 90 Minuten dauern.

In die letzte Zeile trägst du außerdem die Mengenangabe der  Größe ein, für die wir das Verhältnis berechnen möchten. Das sind also die 8 Folgen, für die wir die benötigte Zeit herausfinden wollen.

Zwischen der ersten und der letzten Zeile lässt du eine Zeile frei – die brauchen wir gleich für einen Zwischenschritt. 

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Proportionaler Dreisatz: Schritt 1

Proportionaler Dreisatz: Schritt 2

Nun folgt der zweite Schritt.  Jetzt musst du ausrechnen, wie viel von der einen Größe einer einzigen Einheit der anderen Größe entsprechen. In unserem Beispiel wollen wir also berechnen, wie viele Minuten eine einzelne Folge dauert.

Um das Ergebnis zu erhalten, teilen wir beide Werte in der ersten Zeile durch die Anzahl der Folgen in der ersten Zeile. Das heißt, wir teilen sowohl die 3 Folgen als auch die 90 Minuten durch 3. Das Ergebnis der beiden Rechnungen notieren wir in der zweiten Zeile der Tabelle:

90 Minuten \div 3 = 30 Minuten

1 Folge dauert also 30 Minuten. 

Wenn du dir nicht sicher bist, für welche Größe du das Verhältnis für eine einzige Einheit berechnen musst, dann gibt es einen einfachen Tipp: In der Tabelle muss die 1 immer in der Spalte stehen, in der du in der dritten Zeile schon einen Wert eingetragen hast. 

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Proportionaler Dreisatz: Schritt 2

Proportionaler Dreisatz: Schritt 3

Mit dem dritten Schritt berechnen wir den letzten fehlenden Wert in der Tabelle. Um den Wert zu erhalten, nimmst du die zweite Zeile der Tabelle mit dem Wert mal, der bereits in der dritten Zeile steht.  Wir rechnen also: 

30 Minuten \times 8 = 240 Minuten

Den gefunden Wert tragen wir in das freie Feld in der dritten Zeile der Tabelle ein. Damit haben wir auch schon unser Ergebnis: 8 Folgen dauern insgesamt 240 Minuten!
Gar nicht so schwer, oder?

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Proportionaler Dreisatz: Schritt 3

Übrigens: Mit dem selben Prinzip könntest du  auch berechnen, wie viele Folgen du in einer vorgegebenen Zahl an Minuten anschauen kannst.

Beispiel: Antiproportionaler Dreisatz 

Den proportionalen Dreisatz kennst du jetzt, fehlt also nur noch der antiproportionale Dreisatz . Sehen wir uns auch hier ein Beispiel an. 

Stell dir vor, du erklärst dich bereit, bei einem Umzug ein paar Kisten tragen zu helfen. Geplant ist, dass insgesamt 8 Personen beim Umzug mithelfen. Jeder Helfer müsste dann 16 Kisten tragen. Leider haben 4 Helfer nun aber spontan doch keine Zeit.

Wie viele Kisten muss nun jeder Helfer tragen, wenn nur noch 4 Personen beim Umzug helfen
% Beispiel okay oder soll ich die Zahlen ändern, weil 4 ja einfach die Hälfte von 8 ist?

Auch diese Frage kannst du leicht mit dem Dreisatz beantworten. Zunächst musst du wieder entscheiden, ob es sich um den proportionalen oder den antiproportionalen Dreisatz handelt.

Hier ist es so: Wenn mehr Leute mithelfen, dann muss jede Person weniger Kisten tragen. Wir befinden uns also im „je mehr desto weniger“-Fall. Das bedeutet, wir müssen die Rechenschritte des antiproportionalen Dreisatzes anwenden.

Antiproportionaler Dreisatz: Schritt 1

Der erste Schritt des antiproportionalen Dreisatzes ist der gleiche wie beim proportionalen Dreisatz. Du zeichnest wieder eine kleine Tabelle und trägst alle Informationen ein, die du bereits kennst.

Das ist zum einen, dass bei 8 Helfern jede Person 16 Kisten tragen muss. Diese Angaben schreibst du in die erste Zeile der Tabelle. Zum Anderen kennst du die Anzahl der Helfer, für die du das Verhältnis berechnen möchtest. Diesen Wert trägst du in der dritten Zeile in der Spalte der Helfer ein. Die zweite Zeile der Tabelle lässt du wie vorhin für einen Zwischenschritt frei.

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Antiproportionaler Dreisatz: Schritt

Antiproportionaler Dreisatz: Schritt 2

Nun folgt der zweite Schritt. Erneut wollen wir berechnen, wie viel von der einen Größe einer einzigen Einheit der anderen Größe entsprechen. Folglich müssen wir ausrechnen, wie viele Kisten ein einziger Helfer tragen muss, wenn er beim Umzug ganz alleine wäre. In die zweite Zeile schreiben wir auf der Seite der Helfer folglich eine 1. 

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Antiproportionaler Dreisatz: Schritt 2.1

Nun fehlt in der zweiten Zeile noch die Anzahl der Kisten.  Bei der Berechnung dieses Werts musst du aufpassen, denn das Vorgehen unterscheidet sich ab hier von den Rechenschritten des proportionalen Dreisatzes. 

Statt auf beiden Seiten der Tabelle zu teilen, musst du jetzt nämlich in einer Spalte teilen und in der anderen Spalte malnehmen. Der Grund dafür ist, dass die eine Größe ja mehr wird, wenn die andere Größe weniger wird.

Auf welcher Seite du teilen und auf welcher Seite du malnehmen musst, kannst du an der Tabelle erkennen: In der Spalte der Helfer steht in der zweiten Zeile bereits eine 1. Um auf dieses Ergebnis zu kommen, wurde die erste Zeile durch 8 geteilt. Da in der Spalte der Helfer geteilt wurde, musst du also in der Spalte der Kisten malnehmen. Die Zahl, mit der du mal oder geteilt rechnest, ist aber in beiden Spalten die gleiche. Folglich musst du den Wert in der Spalte der Kisten mit 8 multiplizieren. Du rechnest also:

16 \times 8 = 128

Eine einzelne Person müsste also ganze 128 Kisten tragen!

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Antiproportionaler Dreisatz: Schritt 2.2

Antiproportionaler Dreisatz: Schritt 3

Jetzt haben wir es fast geschafft. In einem letzten Schritt berechnen wir, wie viele Kisten eine Person bei  insgesamt 6 Helfern tragen müsste. Auch hierfür müssen wir erneut auf einer Seite der Tabelle malnehmen und auf der anderen Seite teilen.

Auf welcher Seite, du welche Rechenart verwenden musst, kannst du wieder an der Tabelle ablesen. Du siehst, dass in der letzten Zeile der Tabelle bereits die Zahl 6 eingetragen ist. Um von der zweiten Zeile der Tabelle zur dritten Zeile zu kommen, wurde in dieser Spalte also mal 4 gerechnet. Folglich musst du in der anderen Spalte der Tabelle geteilt durch 4 rechnen.

Falls das für dich einfacher ist, kannst du dir auch merken, dass du jetzt die Rechenart anwendest, die du im zweiten Schritt in dieser Spalte nicht benutzt hast. Wenn du also zuerst geteilt hast, dann nimmst du jetzt mal und umgekehrt (Ausnahme: Die Regel funktioniert nicht, wenn die Ausgangs- oder die Zielmengeneinheit kleiner als 1 ist). Die Zahl, mit der du mal nimmst oder teilst, ist wieder in beiden Spalten der Tabelle die selbe.

Du rechnest also: 

128 Kisten \div 4 = 32


Wenn 4 Leute helfen, muss also jede Person 32 Kisten tragen!

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Antiproportionaler Dreisatz: Schritt 3

Dreisatz Übungen 

Nach all der Theorie möchtest du jetzt selbst loslegen? Kein Problem, wir haben einige Übungsaufgaben für dich vorbereitet! 

  • In 5 Dachböden leben 40 Mäuse. Wie viele Mäuse leben in 13 Dachböden?
  • Ein Auto fährt eine 68 km lange Strecke. Auf dieser Distanz verbraucht es 2,72 Liter Benzin. Wie viel Benzin benötigt das Auto auf einer 13 km langen Strecke?
  • 4 Bagger brauchen 6 Stunden um eine Grube auszuheben. Wie lange brauchen 10 Bagger für die gleiche Grube?

Du möchtest noch mehr üben? Kein Problem! Die Lösungen zu diesen Aufgaben sowie noch viele weitere Übungen zum proportionalen und zum antiproportionalen Dreisatz findest du hier

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