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In diesem Beitrag fassen wir dir alles Wichtige zum Thema Geradengleichungen zusammen und zeigen dir, wie du sie aufstellst. Schau dir auch unser Video dazu an! 

Was ist eine Geradengleichung?

Eine Linie kannst du in Mathe mit einer Geradengleichung beschreiben. Die allgemeine Geradengleichung lautet:

    \[y=\textcolor{red}{m} \cdot x +\textcolor{orange}{t}\]

Dabei ist m die Steigung der Gerade. Du kannst sie mithilfe eines Steigungsdreiecks bestimmen. Das t ist der y-Achsenabschnitt, also der Wert, bei dem die Gerade die y-Achse schneidet.

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Gerade mit Steigungsdreieck

Um die Steigung der Gerade zu bestimmen, setzt du zwei beliebige Geradenpunkte – zum Beispiel A(-1|1) und B(1|5) – in den sogenannten Differenzenquotient ein.

    \[\textcolor{red}{m}= \frac { \textcolor{blue}{f(b)}-\textcolor{olive}{f(a)}} { b-\textcolor{purple}{a}} = \frac { \textcolor{blue}{5}-\textcolor{olive}{1}} { 1-\textcolor{purple}{(-1)}} =\textcolor{red}{2}\]

Du siehst, dass die Steigung m=2 und der y-Achsenabschnitt t=3 betragen. Setzt du diese Werte in die allgemeine Geradengleichung y=m·x+t ein, erhältst du

    \[y=\textcolor{red}{2}x+\textcolor{orange}{3}\]

Geradengleichungen aufstellen

Willst du eine Geradengleichung aufstellen, gibt es drei mögliche Szenarien. Sie unterscheiden sich in den Informationen, die dir gegeben sind.

  • Geradengleichung durch zwei Punkte bestimmen
  • Geradengleichung aus einem Punkt und der Steigung bestimmen
  • Geradengleichung aus y-Achsenabschnitt und einem Punkt bestimmen

Schauen wir uns das einmal genauer an!

Geradengleichung durch zwei Punkte bestimmen

Sind dir zwei Punkte gegeben, mit denen du eine Gleichung aufstellen sollst, gehst du in drei Schritten vor.

Beispiel: Du hast die Punkte A(-1|1) und B(2|3). Berechne die Gleichung der Geraden, die durch A und B verläuft.

1. Berechne die Steigung m mithilfe des Differenzenquotienten. Teile  dazu die Differenz der y-Werte durch die Differenz der x-Werte von A und B.

    \[\textcolor{red}{m}=\frac{\textcolor{olive}{1}-\textcolor{blue}{3}}{\textcolor{purple}{-1}-2} = \frac{-2}{-3} = \frac{2}{3} \]

2. Setze die Steigung m und einen beliebigen Punkt in die Geradengleichung y=m·x+t ein, um den y-Achsenabschnitt t zu bestimmen. Du kannst dazu den Punkt B(2|3) verwenden.

    \begin{align*} y&=\textcolor{red}{m} \cdot x +\textcolor{orange}{t}\\ \textcolor{blue}3 &= \textcolor{red}{\frac{2}{3} }\cdot 2+\textcolor{orange}{t}\\ 3&=\frac{4}{3}+\textcolor{orange}{t} \end{align*}

Als Nächstes berechnest du t.

    \begin{align*} 3&=\frac{4}{3}+\textcolor{orange}{t}&&|\;-\frac{4}{3}\\ 3 - \frac{4}{3} &= \textcolor{orange}{t} \\ \textcolor{orange}{t &= \frac{5}{3}}\end{align*}

3. Setze die Steigung m und den y-Achsenabschnitt t in die allgemeine Form y=m·x+t  ein.

    \[y = \textcolor{red}{\frac{2}{3}}x +\textcolor{orange} {\frac{5}{3} }\]

Super, damit hast du die Aufgabe gelöst!

Geradengleichung aus einem Punkt und der Steigung bestimmen

Beispiel: Gegeben sind die Steigung m=4 und der Punkt P(-1|1). Berechne die zugehörende Geradengleichung!

1. Setze die Steigung m=4 und die Koordinaten des Punktes P(-1|1) in die allgemeine Geradengleichung y=m·x+t ein. Dadurch kannst du  und den y-Achsenabschnitt t bestimmen. 

    \begin{align*} y&=\textcolor{red}{m} \cdot x +\textcolor{orange}{t}\\ \textcolor{blue}{1} &= \textcolor{red}{4}\cdot (\textcolor{olive}{-1})+\textcolor{orange}{t}  \end{align*}

Als Nächstes addierst du beide Seiten mit 4.

    \begin{align*} 1&=-4+\textcolor{orange}{t}&&|\;+4\\ 1 + 4 &= \textcolor{orange}{t} \\ \textcolor{orange}{t &= 5} \end{align*}

2. Setze die Steigung m=4 und den y-Achsenabschnitt t=5 in die allgemeine Geradengleichung y=m·x+t ein.

    \[y =\textcolor{red}{4} x +\textcolor{orange}{5} \]

Geradengleichung aus y-Achsenabschnitt und einem Punkt bestimmen

Beispiel: Gegeben sind der y-Achsenabschnitt t=-3 und der Punkt P(2|1) .Berechne die zugehörende Geradengleichung!

1. Setze den y-Achsenabschnitt t=-3 und die Koordinaten des Punktes P(2|1) in die allgemeine Geradengleichung y=m·x+t ein und löse nach der Steigung m auf.

    \begin{align*} y&=\textcolor{red}{m} \cdot x +\textcolor{orange}{t}\\ \textcolor{blue}{1} &= \textcolor{red}{m} \cdot \textcolor{olive}{2} \textcolor{orange}{-3} \\ 1&=2\textcolor{red}{m}-3&&|\;+3\\ 1 + 3 &= 2\textcolor{red}{m}&&|\; :2 \\ \textcolor{red}{m &= 2} \end{align*}

2. Setze die Steigung m=2 und den y-Achsenabschnitt t=-3 in die allgemeine Geradengleichung y=m·x+t ein.

    \[y = \textcolor{red}{2}x\textcolor{orange}{-3}  \]

Besondere Geraden

Manche Geraden haben eine besondere Lage im Koordinatensystem. Hier haben wir dir diese Geraden und ihre wichtigsten Eigenschaften zusammengefasst.

Ursprungsgeraden

Eine Gerade, die durch den Koordinatenursprung verläuft, nennst du Ursprungsgerade. Sie hat immer die Form y=mx +0. Du kannst also einfach y=m x schreiben. Es gilt immer t=0.

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Ursprungsgerade

Konstante Funktionen

Eine konstante Funktion verläuft parallel zur x-Achse und hat die Form y= 0x+t. Du kannst also einfach y=t schreiben.

Sie beschreibt eine waagerechte Gerade, bei der jeder x-Wert denselben y-Wert hat, nämlich y=t

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Konstante Funktion

Senkrechte Geraden

Eine Gerade, die parallel zur y-Achse verläuft, kannst du nicht mit der allgemeinen Geradengleichung beschreiben. Ihre Steigung wäre unendlich. Die Gleichung einer Senkrechte hat immer die Form x=c.

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Senkrechte Gerade

Die Identität

Hier siehst du die Gerade, die man Identität nennt. Ihre Gleichung ist y=x. Sie ist eine besondere Ursprungsgerade, weil sie die Steigung m=1 hat. Sie halbiert deswegen den ersten und dritten Quadranten. Da sie auch den Winkel zwischen x- und y-Achse schneidet, heißt sie auch Winkelhalbierende.

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Identität

Schnittpunkte zweier Geraden

Nachdem du eine Geradengleichung gefunden hast, kannst du damit zum Beispiel den Schnittpunkt zweier Geraden zu berechnen. Schau dir gleich unser Video an, in dem du die Schritt für Schritt Anleitung dafür bekommst!

Zum Video: Schnittpunkt zweier Geraden
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