Kurvendiskussion
Wenn du beim Thema Kurvendiskussion noch keinen Überblick hast, bist du bei unserer Kurvendiskussions-Zusammenfassung genau richtig. Hier findest du alles, was du wissen musst. Schaue dir auch unser passendes Video dazu an!
Inhaltsübersicht
Kurvendiskussion einfach erklärt
Eine Kurvendiskussion ist die ausführliche Untersuchung einer Funktion. Dabei ermittelst du geometrische Eigenschaften des Graphen der Funktion, wie beispielsweise Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte und das Verhalten im Unendlichen. Anhand dieser Eigenschaften kannst du deinen Graphen dann ganz einfach zeichnen.
In der Abbildung siehst du einige Punkte einer Funktion f(x), die du mit einer Kurvendiskussion finden kannst.
1. Definitionsbereich bestimmen (Definitionslücken)
2. Achsenabschnitte berechnen (y-Achsenabschnitt und Nullstellen)
3. Symmetrieverhalten bestimmen (Punkt- oder Achsensymmetrie)
4. Verhalten im Unendlichen (Grenzverhalten/ Limes)
5. Extrempunkte berechnen (Hochpunkte und Tiefpunkte)
6. Monotonieverhalten bestimmen (Steigungsverhalten)
7. Krümmungsverhalten bestimmen (Zweite Ableitung)
8. Wendepunkte berechnen (Links-Rechts- und Rechts-Links-Punkte)
9. Wertebereich bestimmen (Wertemenge)
Definitionsbereich bestimmen
Obwohl oft nicht extra nach ihm in Aufgaben gefragt wird, solltest du dir immer den Definitionsbereich (oder auch die Definitionsmenge) aufschreiben. Er sagt dir, welche Werte du für x in deine Funktion f(x) einsetzen darfst.
Wenn du eine dieser Rechnungen in deiner Funktion hast, musst du aufpassen!
- (Keine 0 unterm Bruchstrich!)
- (Keine negativen Zahlen in Wurzeln!)
- (Nur positive Zahlen in Logarithmen!)
Falls du dir das noch mal genau angucken magst, haben wir auch ein eigenes Video zum Definitionsbereich .
Am besten verstehst du das mit einem Beispiel: Welche Zahlen darfst du in die Funktion
einsetzen? Deine Funktion ist ein Bruch. Unter dem Bruchstrich darf also nie eine 0 stehen. Dass bedeutet, der Term unter Bruchstrich () muss immer ungleich 0 sein:
Du darfst also auch nicht den Wert -2 oder +2 für x einsetzen. Abgesehen davon darfst du jede reelle Zahl in deine Funktion einsetzen. Das alles kannst du noch in der Intervallschreibweise zusammenfassen:
Achsenschnittpunkte berechnen
Als Nächstes berechnest du die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen . Der Schnittpunkt mit der y-Achse heißt y-Achsenabschnitt und die Schnittpunkte mit der x-Achse Nullstellen.
- Nullstellen: Setze die Funktion gleich 0!
- y-Achsenabschnitt: Setze für x 0 in die Funktion ein!
Angenommen du hast die Funktion
gegeben.
y-Achsenabschnitt
Dann berechnest du den Achsenschnittpunkt mit der y-Achse, indem du x=0 einsetzt.
x-Achsenabschnitte
Die Nullstellen berechnest du, indem du die Funktion f(x)=0 setzt und nach x umstellst. Falls du dein Wissen auffrischen magst, haben wir für dich ein Video über das Nullstellen berechnen vorbereitet. Für dieses Beispiel kannst du die Mitternachtsformel benutzen, um die Funktion umzustellen:
Symmetrieverhalten bestimmen
Funktionen können punktsymmetrisch zum Ursprung oder achsensymmetrisch zur y-Achse sein.
Achsensymmetrie zur y-Achse:
Punktsymmetrie zum Ursprung:
Funktionen mit geraden Exponenten (z.B. ) sind achsensymmetrisch zur y-Achse:
Die Funktionen mit ungeraden Exponenten (z.B. ) sind punktsymmetrisch zum Ursprung:
Verhalten im Unendlichen
Nach der Symmetrie schaust du dir die Grenzwerte deiner Funktion an. Du fragst dich also, was sie für sehr große und sehr kleine x-Werte macht. Dafür benutzt du den sogenannten Limes . Angenommen du hast die Funktion
Dann bestimmst du ihr Verhalten im Unendlichen , indem du für x immer größere Werte (Verhalten gegen ) einsetzt und überlegst, wohin die Funktion sich für immer größere Werte bewegt. Hier werden und immer größer. Die Funktion geht gegen :
Das Gleiche kannst du für immer kleinere x-Werte machen (Verhalten gegen ). Hier geht die Teilfunktion für kleinere x-Werte gegen , aber die Teilfunktion geht nach 0. Weil schneller gegen 0 geht als gegen , nähert sich die gesamte Funktion dem Wert 0 an:
Extrempunkte berechnen
Mit einer Kurvendiskussion findest du auch alle Hoch- und Tiefpunkte deiner Funktion f(x). Dabei gehst du immer so vor:
- Notwendige Bedingung: An einem Extrempunkt ist die Ableitung von f(x) gleich 0.
- Hinreichende Bedingung: Potentielle Extremstellen können Sattelpunkte oder Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) sein. Unterscheide sie mit der zweiten Ableitung!
- y-Werte der Extrempunkte: Setze die Extremstellen in die Funktion f(x) ein.
Wenn du dir das Thema noch mal in Ruhe anschauen magst, haben wir dir auch für das Extremwerte berechnen ein Video vorbereitet.
Wiederhole das am besten mit einem Beispiel. Angenommen du hast die Funktion
gegeben. Wo liegen ihre Hochpunkte und Tiefpunkte?
1.Schritt: Ableitung gleich 0 setzen.
2.Schritt: Zweite Ableitung bilden und potentielle Extremstellen einsetzen.
3.Schritt: y-Werte berechnen.
Die Funktion f(x) besitzt einen Hochpunkt bei (-3|18,5) und einen Tiefpunkt bei (2|-2,3). War doch gar nicht so schwer, oder?
Monotonieverhalten bestimmen
Der nächste Schritt einer Kurvendiskussion ist die Bestimmung des Steigungsverhaltens (auch Monotonieverhalten genannt). Dabei willst du herausfinden, ob deine Funktion im Großen und Ganzen größer oder kleiner wird. Weil dir die Ableitung sagt, ob die Funktion steigt oder fällt, kannst du mit ihr die Monotonie bestimmen.
Wenn die Ableitung deiner Funktion nie gleich 0 ist, ist sie streng monoton. Die roten Graphen sind streng monoton und die blauen Kurven sind monoton.
Krümmungsverhalten bestimmen
Wenn sich die Steigung einer Funktion ändert, nennst du sie gekrümmt. Wird die Steigung größer, ist der Graph links-gekrümmt. Nimmt die Steigung ab, ist er rechts-gekrümmt.
Du kannst das Krümmungsverhalten bestimmen, indem du dir die zweite Ableitung anschaust:
Wende die Regeln gleich an einem Beispiel an! Stelle dir vor, du sollst das Krümmungsverhalten von
bestimmen. Finde die zweite Ableitungen und du bist fertig:
Du hast es aber nicht immer so einfach wie mit diesem Beispiel. Manche Funktionen können ihr Krümmungsverhalten nämlich ändern. Mehr dazu im nächsten Abschnitt!
Wendepunkte berechnen
Das Krümmungsverhalten einer Funktion kann sich auch ändern. Das passiert an einem Wendepunkt. In dem Beispiel ist der rote Graph zuerst rechts-gekrümmt. Nach dem Wendepunkt ist er links-gekrümmt.
Die Wendepunkte findest du mit diesen 3 Schritten:
- Notwendige Bedingung: Die zweite Ableitung gleich 0 setzten.
- Hinreichende Bedingung: Die dritte Ableitung darf nicht 0 sein. Außerdem gibt es Links-Rechts- und Rechts-Links-Wendepunkte. Unterscheide sie mit der dritten Ableitung!
- y-Werte berechnen: Setzte die Wendestelle in die Funktion ein.
Probiere die Regeln gleich an einem Beispiel aus! Angenommen du hast die Funktion
gegeben. Wo liegt ihr Wendepunkt? Wie ändert sich dort die Krümmung?
1.Schritt: Zweite Ableitung gleich 0 setzen.
2.Schritt: Dritte Ableitung bilden und Vorzeichenwechselkriterium beachten!
3.Schritt: y-Wert berechnen.
Die Funktion f(x) hat also einen Wendepunkt bei (2|1). Der Graph wechselt dort von rechts- zu links-gekrümmt. War doch gar nicht so schwer, oder?
Wertebereich bestimmen
Der Wertebereich W sind alle y-Werte, die du ausrechnen kannst, wenn du alle erlaubten x-Werte in deine Funktion f(x) einsetzt. Die Wertemenge enthält also alle y-Werte, welche dir deine Funktion geben kann.
Die Funktion
kann zum Beispiel keine Werte kleiner als 2 haben. Gleichzeitig hat sie aber keine Begrenzung nach oben. Mit f(x) kannst du also y-Werte zwischen 2 und Unendlich ausrechnen.
Ableiten bestimmter Funktionen
Häufig musst du auch Funktionen diskutieren, die eine e-Funktion, Logarithmus, Wurzeln oder trigonometrische Funktionen besitzen. Dann ist es nicht immer leicht die Ableitungen von den Funktionen
zu finden. Um die Kurvendiskussion auch bei diesen Funktionen leicht durchführen zu können, musst du dir unbedingt unser Video dazu anschauen.