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Kurvendiskussion Aufgaben

Wichtige Inhalte in diesem Video

Definitionsbereich ermitteln

y-Achsenabschnitt berechnen

Nullstellen berechnen

Verhalten im Unendlichen bestimmen

Symmetrieverhalten bestimmen

Extrempunkte berechnen

Monotonieverhalten bestimmen

Wendepunkt und Wendetangente berechnen

Krümmungsverhalten bestimmen

Wertebereich bestimmen

Funktionsgraph zeichnen

Kurvendiskussionen können am Anfang sehr unübersichtlich sein, aber keine Bange! Hier rechnen wir mit dir eine vollständige Kurvendiskussion aus. Schau dir auch unser passendes Video an!

Inhaltsübersicht

Kurvendiskussion einfach erklärt

Schau‘ dir zum Beispiel die ganzrationale Funktion f(x) = x^3 - 3x^2 + 4 an. Die wichtigen Schritte in deiner Kurvendiskussion sind folgende:

Definitionsbereich bestimmen (Definitionslücken)
y-Achsenabschnitt berechnen
x-Achsenabschnitte berechnen (Nullstellen)
Verhalten im Unendlichen (Grenzverhalten/ Limes)
Symmetrieverhalten bestimmen (Punkt- oder Achsensymmetrie)
Extrempunkte berechnen (Hochpunkte und Tiefpunkte)
Monotonieverhalten bestimmen (Steigungsverhalten)
Wendepunkte berechnen (Links-Rechts- und Rechts-Links-Punkte)
Krümmungsverhalten bestimmen (Zweite Ableitung)
Wertebereich bestimmen (Wertemenge)
Funktionsgraph zeichnen

Ableitung

Später brauchst du die erste, zweite und dritte Ableitung . Es lohnt sich, die Funktion vorher abzuleiten. Dafür brauchst du bei ganzrationalen Funktionen nur die Potenzregel : $f(x) = x^n \longrightarrow f'(x) = n\cdot x^{n-1}$

– Gegebene Funktion: f(x) = x^3 - 3x^2 + 4

– 1. Ableitung: f'(x) = 3x^2 - 6x

– 2. Ableitung: f''(x) = 6x - 6

– 3. Ableitung: f'''(x) &= 6

Definitionsbereich ermitteln

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Merke

Die Definitionsmenge ist die Antwort auf die Frage: Welche x-Werte darfst du in die Funktion einsetzen?

Der erste Schritt in jeder Kurvendiskussion ist das Ermitteln der Definitionsmenge. Bei ganzrationalen Funktionen ist die Definitionsmenge $\mathbb{D}_f$ immer gleich der Menge der reellen Zahlen $\mathbb{R}$ .

$\mathbb{D}_f = \mathbb{R}$

y-Achsenabschnitt berechnen

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Der y-Achsenabschnitt ist der Schnittpunkt mit der y-Achse. Du findest ihn, indem du x=0 in deine Funktion einsetzt.

Ansatz

$y = f(0)$

Was ergibt das für deine Beispielfunktion?

$\begin{align*} y &= f(x) = x^3 - 3x^2 +4 \\ y &= f(\textcolor{red}{0}) = \textcolor{red}{0}^3 -3\cdot \textcolor{red}{0}^2 +4 = +4 \end{align*}$

Dein Graph schneidet die y-Achse in dem Punkt (0|4).

Nullstellen berechnen

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Natürlich kann dein Funktionsgraph auch die x-Achse schneiden. Das sind die Nullstellen . Um sie zu finden, setzt du die Funktion gleich 0.

Ansatz

$f(x) \overset{!}{=} 0$

Wann wird deine Beispielfunktion gleich 0?

$x^3 - 3x^2 + 4 \overset{!}{=} 0$

Hier kannst du die erste Nullstelle erraten. Gute Kandidaten sind meistens 0, 1, -1, 2, -2. Durch den Schritt vorher weißt du, dass x=0 keine Nullstelle sein kann. Probiere als nächstes x=-1:

$f(\textcolor{red}{-1}) = (\textcolor{red}{-1})^3 - 3\cdot (\textcolor{red}{-1})^2 + 4 = -1 -3 \cdot 1 + 4 = -4+4 = 0 \;\textcolor{olive}{\checkmark}$

Deine erste Nullstelle ist tatsächlich bei x₁=-1. Jetzt kannst du eine Polynomdivision rechnen, damit du die restlichen Nullstellen schneller finden kannst. Wenn du dir die Polynomdivision noch einmal anschauen magst, haben wir dir dafür ein Video vorbereitet.

$\begin{array}{l} \phantom{-}(x^3-3x^2+4) : (x+1) = x^2 - 4x + 4 \\ \underline{-(x^3+\phantom{3}x^2)} \\ \phantom{-(x^3}-4x^2 +4 \\ \phantom{x^{13}}\underline{- ( - 4x^2-4x)} \\ \phantom{-(x^{13}-4x^2-}4x + 4 \\ \phantom{-(x^3-3x^2}\underline{-(4x + 4)} \\ \phantom{-(x^3-3x^2-(4x + }0 \end{array}$

Deine Funktion kannst du also auch so schreiben: $f(x) = (x+1)\cdot (x^2-4x+4)$ . Warum hilft dir die Polynomdivision? Ein Produkt ist gleich 0, wenn einer der Faktoren 0 ist. Die restlichen Nullstellen findest du deshalb mit dem Ansatz:

$x^2 -4x +4 \overset{!}{=} 0$

Weil das eine quadratische Gleichung ist, kannst du sie mit der Mitternachtsformel oder der pq-Formel lösen.

$\begin{gather*} x^2 \textcolor{red}{-4}x +\textcolor{blue}{4} \overset{!}{=} 0\\ x_{2,3} = -\frac{\textcolor{red}{p}}{2} \pm \sqrt{ \left(\frac{\textcolor{red}{p}}{2}\right)^2 -\textcolor{blue}{q} } = -\frac{\textcolor{red}{-4}}{2} \pm \sqrt{ \left(\frac{\textcolor{red}{-4}}{2}\right)^2 -\textcolor{blue}{4} } = 2 \pm \sqrt{4-4}\\ x_{2,3} = 2 \end{gather*}$

Für die letzten beiden Nullstellen bekommst du dasselbe Ergebnis heraus. Es ist also eine doppelte Nullstelle.

Fazit: Deine Funktion hat eine einfache Nullstelle bei x₁=-1 und eine doppelte Nullstelle bei x₂=2. Die Punkte (-1|0) und (2|0) sind also die Schnittstellen des Funktionsgraphen mit der y-Achse.

Verhalten im Unendlichen bestimmen

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Als Nächstes kümmerst du dich um das Grenzwertverhalten deiner Funktion. Das geht bei ganzrationalen Funktionen sehr schnell. Dafür schaust du dir den Term mit dem größten Exponenten an, den sogenannte Leitterm. Wenn sein Exponent gerade ist, geht die Funktion wie eine Parabel für kleine und große Zahlen gegen plus unendlich. Ist er ungerade, geht sie wie eine Gerade von minus unendlich nach plus unendlich. Falls der Term ein negatives Vorzeichen ist, geht die Funktion von plus unendlich nach minus unendlich.

Merke

$\begin{align*} \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} +x^2 = +\infty && \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} +x^2 = +\infty \\ \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} -x^2 = -\infty && \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} -x^2 = -\infty \\ \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} +x^3 = -\infty && \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} +x^3 = +\infty \\ \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} -x^3 = +\infty && \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} -x^3 = -\infty \\ \end{align*}$

Hier ist der Leitterm x³. Du hast also einen ungeraden Exponenten mit positiven Vorzeichen. Dein Funktionsgraph kommt also von negativ unendlich und geht nach positiv unendlich.

$\begin{align*} \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \textcolor{red}{x^3} -3x^2 +4 &= -\infty \\ \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \textcolor{red}{x^3} -3x^2 +4 &= +\infty \end{align*}$

Symmetrieverhalten bestimmen

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Das Symmetrieverhalten ermittelst du, indem du -x in deine Funktion einsetzt.

Merke

Achsensymmetrie zur y-Achse: f(-x) = f(x)

Punktsymmetrie zum Ursprung: f(-x) = -f(x)

Mit deiner Beispielfunktion sieht es dann so aus:

$f(-x) = (-x)^3 - 3(-x)^2 + 4 = -x^3 -3x^2 +4$

Wenn du dein Ergebnis mit der ursprünglichen Funktion f(x) = x^3 - 3x^3 +4 vergleichst, siehst du:

$f(-x) \neq f(x) \qquad f(-x) \neq -f(x)$

Fazit: Dein Funktionsgraph ist also weder symmetrisch zur y-Achse noch zum Ursprung.

Extrempunkte berechnen

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Spätestens jetzt musst du die Ableitungen von f ausrechnen.

Merke

An Hochpunkten gilt: f'(x) = 0 und f''(x) < 0

An Tiefpunkten gilt: f'(x) = 0 und f''(x) > 0

1. Nullstelle der ersten Ableitung

Wegen der notwendigen Bedingung f'(x) = 0 musst du als erstes die Nullstellen der ersten Ableitung finden.

$f'(x) = 3x^2 -6x \overset{!}{=} 0$

Zum Glück findest du hier die Nullstellen schneller als bei der ursprünglichen Funktion. Als Erstes kannst du x ausklammern.

$x\cdot ( 3x-6) = 0$

Wir machen uns wieder einen Trick zu Nutze: Das Produkt ist gleich 0, sobald einer der Faktoren gleich 0 ist. Deine erste potentielle Extremstelle ist also x₃=0. Übrig bleibt:

$\begin{align*} 3x-6 &= 0 \quad|\, + 6 \\ 3x &= 6 \quad|\, : 3 \\ x_4 &= 2 \end{align*}$

Fazit: Bei den Stellen x₃=0 und x₄=2 könnte es sich um Extremstellen handeln.

2. Potentielle Extremstellen in zweite Ableitung einsetzen

Mit der hinreichenden Bedingung $f''(x) \overset{?}{<}$ bzw. $f''(x) \overset{?}{>}0$ kannst du Hoch- und Tiefpunkte voneinander unterscheiden.

$\begin{align*} f''(\textcolor{red}{x_3}) = f''(\textcolor{red}{0}) = 6\cdot \textcolor{red}{0} - 6 = -6 &< 0 \Longrightarrow \text{Hochpunkt} \\ f''(\textcolor{blue}{x_4}) = f''(\textcolor{blue}{2}) = 6\cdot \textcolor{blue}{2} - 6 = +6 &> 0 \Longrightarrow \text{Tiefpunkt} \end{align*}$

Fazit: Du hast einen Hochpunkt bei x₃=0 und einen Tiefpunkt bei x₄=2.

Zuletzt musst du nur noch wissen, welche y-Werte zu deinen x-Werten gehören.

3. Extremstellen in ursprüngliche Funktion einsetzen

Zuletzt setzt du x-Werte deiner Extremstellen in deine ursprüngliche Funktion ein, um die passenden y-Werte zu berechnen.

$\begin{align*} f(\textcolor{red}{x_3}) &= f(\textcolor{red}{0}) = \textcolor{red}{0}^3 - 3\cdot \textcolor{red}{0}^2 +4 = +4 \\ f(\textcolor{blue}{x_4}) &= f(\textcolor{blue}{2}) = \textcolor{blue}{2}^3 - 3\cdot \textcolor{blue}{2}^2 +4 = 8 - 12 + 4 = 0 \end{align*}$

Fazit: Du hast also einen Hochpunkt bei H=(0|4) und einen Tiefpunkt bei T=(2|0)

Monotonieverhalten bestimmen

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Merke

Streng monoton fallend: f'(x) < 0 / Monoton fallend: $f'(x) \leq 0$

Streng monoton steigend: f'(x) > 0 / Monoton steigend: $f'(x) \geq 0$

Bestimme die Monotonie immer nur für Intervalle bis zum nächsten Extrempunkt. Du schaust dir zuerst die Monotonie von minus unendlich bis zum Hochpunkt bei x=0 ( $\left]-\infty; 0\right[$ ) an. Danach zwischen den Extrempunkten ( $\left]0; 2\right[$ ) und zuletzt alles nach dem Tiefpunkt bei x=2 ( $\left]2; +\infty\right[$ ). Das Monotonieverhalten kannst du gut in einer Monotonietabelle zusammenfassen:

Intervall	$\left]-\infty; 0\right[$	$\left]0; 2\right[$	$\left]2; +\infty\right[$
Vorzeichen von f'(x)	+	–	+
Graph von f(x)	steigt streng monoton.	fällt streng monoton.	steigt streng monoton.

Um das Vorzeichen der ersten Ableitung zu finden, setzt du eine beliebige Zahl aus deinem Intervall ein. Ist die Ableitung positiv, steigt deine Funktion streng monoton. Ist sie negativ, fällt sie streng monoton.

Wendepunkt und Wendetangente berechnen

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Am Wendepunkt ändert der Graph seine Krümmung.

Merke

An einem Wendepunkt gilt:

$f''(x) = 0\quad\text{und}\quad f'''(x) \neq 0$

1. Nullstelle der zweite Ableitung finden

Wegen der notwendigen Bedingung f''(x) = 0 , ist die Wendestelle die Nullstelle der zweiten Ableitung.

$\begin{align*} f''(x) = 6x-6 &\overset{!}{=} 0 \quad |\, + 6\\ 6x &= 6 \quad |\, : 6\\ x_5 &= 1 \end{align*}$

Fazit: Bei x₅=1 könnte also ein Wendepunkt liegen.

2. Potentielle Wendestelle in dritte Ableitung einsetzen

Wegen der hinreichenden Bedingung $f'''(x) \neq 0$ darf die dritte Ableitung am Wendepunkt nicht 0 sein.

$f'''(\textcolor{red}{x_5}) = f'''(\textcolor{red}{1}) = 6 \neq 0 \Longrightarrow \text{Wendepunkt}$

Fazit: Die Stelle x₅=1 ist tatsächlich eine Wendestelle. Jetzt möchtest du nur noch ihren y-Wert herausfinden.

3. Wendestelle in ursprüngliche Funktion einsetzen

Zuletzt setzt du deine Wendestelle in die ursprüngliche Funktion ein, um die y-Koordinate deines Wendepunktes zu finden.

$f(\textcolor{red}{x_5}) = f(\textcolor{red}{1})= \textcolor{red}{1}^3 - 3\cdot \textcolor{red}{1}^2 + 4 = 1 - 3 + 4 = 2$

Fazit: Dein Funktionsgraph hat einen Wendepunkt bei W=(1|2).

4. Finde die Wendetangente

Die Wendetangente ist eine Gerade, die am Wendepunkt die gleiche Steigung wie dein Graph hat.

Merke

Die Gleichung deiner Wendetangente lautet: $t_W: y = m\cdot (x-x_W) + y_W$

m ist die Steigung der Wendetangente und (x_W|y_W) ist der Wendepunkt.

Weil du schon weißt, wo der Wendepunkt liegt, musst du nur noch die Steigung ausrechnen. Das findest du mit der ersten Ableitung heraus. Setze deine Wendestelle (x_W= x₅= 1) in die erste Ableitung ein:

$m = f'(\textcolor{red}{x_5}) = f'(\textcolor{red}{1}) = 3\cdot \textcolor{red}{1}^2 - 6 \cdot \textcolor{red}{1} = 3 - 6 = -3$

Fazit: Die Wendetangente hat die Gleichung $t_W: y = -3 \cdot (x-1) + 2$ .

Krümmungsverhalten bestimmen

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Nachdem du den Wendepunkt kennst, kannst du auch das Krümmungsverhalten deines Graphen bestimmen.

Merke

Wenn f''(x) > 0 gilt, ist der Graph linksgekrümmt.

Wenn f''(x) < 0 gilt, ist der Graph rechtsgekrümmt.

Weil du weißt, dass sich die Krümmung am Wendepunkt W=(1|2) ändert, brauchst du nur das Krümmungsverhalten von zwei Punkten rechts und links vom Wendepunkt bestimmen. Nimm zum Beispiel die Stellen x=0 und x=2:

$\begin{align*} f''(\textcolor{red}{0}) = 6\cdot\textcolor{red}{0} - 6 = -6 &< 0 \Longrightarrow \text{rechtsgekrümmt} \\ f''(\textcolor{blue}{2}) = 6\cdot\textcolor{blue}{2} - 6 = +6 &> 0 \Longrightarrow \text{linksgekrümmt} \end{align*}$

Fazit: Dein Graph ist im Intervall $\left]-\infty;1\right[$ rechtsgekrümmt und im Intervall $\left]1;+\infty\right[$ linksgekrümmt.

Wertebereich bestimmen

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Als letztes musst du noch den Wertebereich ermitteln. Die Frage ist: Welche y-Werte kann deine Funktion alles ausgeben?

Merke

Ganzrationale Funktionen mit ungeradem Leitterm (z.B. x, x³, x⁵, …) haben immer die Menge aller reeller Zahlen als Wertemenge.

Ganzrationale Funktionen mit geradem Leitterm (z.B. x², x⁴, x⁶, …) können nur Werte zwischen ihrem Grenzwert und ihrem Extrempunkt in ihrem Wertebereich haben.

Deine Beispielfunktion $f(x) = \textcolor{red}{x^3} - 3x^2 + 4$ hat einen ungeraden Leitterm (x³). Seine Wertemenge $\mathbb{W}_f$ ist deswegen gleich der Menge aller reeller Zahlen $\mathbb{R}$ :

$\mathbb{W}_f = \mathbb{R}$

Funktionsgraph zeichnen

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Jetzt hast du alle wichtigen Informationen, um den Graphen der Funktion zu zeichnen. Markiere dir alle wichtigen Punkte, bevor du deinen Graphen zeichnest:

Einfache Nullstelle bei x = -1
Doppelte Nullstelle bzw. Tiefpunkt bei x = 2
Höhepunkt bzw. y-Achsenabschnitt bei (0|4)
Wendepunkt bei (1|2)

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Kurvendiskussion e-Funktion

Mit der Kurvendiskussion bei ganzrationalen Funktionen kennst du dich jetzt aus. Für deine nächste Prüfung solltest du aber auch die Exponentialfunktion untersuchen können. Sieh dir deshalb unbedingt noch unser Aufgaben-Video dazu an!

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