Wie erkenne ich schnell, ob ein Term wirklich ein Polynom ist?

Du erkennst einen Polynomterm schnell daran, dass er nur aus Summen und Differenzen von Monomen besteht, also aus Produkten aus Zahlen und Variablenpotenzen mit natürlichen Exponenten (0, 1, 2, …). Nicht-polynomiell sind Terme mit Variablen im Nenner, Wurzeln oder gebrochenen Exponenten, zum Beispiel .

Was ist der Grad bei einem Polynom mit mehreren Variablen?

Der Grad eines Polynoms mit mehreren Variablen ist der größte Gesamtgrad eines einzelnen Monoms. Dafür addierst du in jedem Monom die Exponenten aller Variablen und nimmst die größte Summe. Zum Beispiel hat den Grad 5, weil den Gesamtgrad hat.

Welche Fehler passieren oft bei der Polynomdivision?

Häufige Fehler bei der Polynomdivision sind falsches Vorzeichen beim Subtrahieren, fehlende „Platzhalter“-Terme für fehlende Potenzen und ein falsch gewählter erster Quotiententerm. Zum Beispiel wird bei oft ohne und gerechnet, wodurch die Terme beim Subtrahieren falsch untereinander stehen.

Wann hat die Polynomdivision am Ende einen Rest?

Eine Polynomdivision hat genau dann einen Rest, wenn das Dividendenpolynom nicht durch das Divisorpolynom teilbar ist, also der Divisor kein Faktor des Polynoms ist. Dann endet die Rechnung, sobald der Rest einen kleineren Grad als der Divisor hat. Zum Beispiel bleibt beim Teilen durch ein Rest, wenn .

Wie finde ich Nullstellen von Polynomen ohne Polynomdivision?

Nullstellen von Polynomen ohne Polynomdivision findest du oft durch Faktorisieren (Ausklammern), mit binomischen Formeln oder durch die Mitternachtsformel bei quadratischen Polynomen. Außerdem hilft der Satz vom Nullprodukt: Wenn gilt, sind und Nullstellen. Zum Beispiel liefert die Nullstellen 3 und -3.

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Polynom

Wichtige Inhalte in diesem Video

Was ist ein Polynom?

(00:15)

Eigenschaften von Polynomen

(01:04)

Spezielle Polynome

(01:52)

Hier erfährst du, was ein Polynom ist und welche Eigenschaften es hat. Außerdem findest du viele Beispiele und ein verständliches Video zum Thema.

Inhaltsübersicht

Was ist ein Polynom?

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(00:15)

Der Ausdruck Polynom klingt zwar im ersten Moment kompliziert, tatsächlich bezeichnet er aber nur eine bestimmte Art mehrgliedriger Terme. Beispiele dafür sind etwa

a+b+c

10x⁵-x+3x³+4

3x²-8x+2

Merke

Ein Polynom besteht aus Variablen, zwischen denen Plus- oder Minuszeichen stehen. Die Variablen besitzen oft

einen Vorfaktor, also eine Zahl, mit dem die Variable multipliziert wird. Er steht vor der Variable.
eine Hochzahl oder Potenz, die eine natürliche Zahl ist.

Eigentlich zählst du bei einem Polynom also nur Potenzfunktionen zusammen oder ziehst sie voneinander ab.

Eigenschaften von Polynomen

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(01:04)

Die einzelnen Teile eines Polynoms und seine Eigenschaften erkennst du schnell an diesem Beispiel:

x²+3x-1

Variablen

Variablen werden mit Buchstaben beschrieben. Meistens sind das x oder x₁ , x₂ , x₃ usw.

Das Polynom (x²+3x-1) enthält nur eine Variable: x

Vorfaktoren/Koeffizienten

Vorfaktoren oder Koeffizienten sind die Zahlen, die vor einer Variable stehen. Du musst die Variable immer mit dem Vorfaktor multiplizieren.

Die Vorfaktoren des Polynoms (1x²+3x-1) sind 1 , 3 und -1
Wenn vor einer Variable kein Vorfaktor steht (wie bei x²), dann muss man sich eine 1 dazu denken, denn 1*x²=x²
Vorfaktoren werden auch Koeffizienten genannt

Potenzen

Potenzen sind die Hochzahlen über den Variablen. Du multiplizierst eine Variable so oft mit sich selbst, wie ihre Hochzahl angibt. x²ist also x*x.

Die Potenzen des Polynoms (x²+3x¹-1x⁰) sind 2, 1 und 0
Steht eine Variable ohne Potenz da (wie bei 3x), dann muss man sich eine 1 als Potenz dazu denken (denn x¹=x)
Steht ein Vorfaktor ohne Variable da (wie bei -1), dann muss man sich als Potenz eine 0 dazu denken (denn x⁰=1)

Glieder

Die einzelnen Summenteile werden Glieder genannt.

x², 3x und -1 sind die Glieder des Terms (x²+3x–1).

Keine Polynome sind alle komplizierteren Terme, die beispielsweise Wurzeln oder Brüche enthalten, deren Nenner aus einer Variable besteht (gebrochen rationale Funktionen ).

$\sqrt{x}+4$
$\frac{2}{x^2}+3x-1$ .

Merke

Oft werden Polynome nach ihren Exponenten sortiert aufgeschrieben. Solche Polynome nennt man auch geordnete Polynome. So schreibt man beispielsweise x^5+2x^3-x

statt

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Grad eines Polynoms

Der Grad eines Polynoms ist immer die höchste Potenz des Polynoms. Es ist also die Hochzahl bei einer Variablen, die am größten ist. Hier findest du einige Beispiele für den Grad verschiedener Polynome:

–4x³+2x²+3x-1 Polynom 3. Grades (wegen 4x³)
-7x⁵-2x³+12 Polynom 5. Grades (wegen -7x⁵)
-7x-2x²+12 Polynom 2. Grades (wegen 2x²)

Spezielle Polynome

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(01:52)

Es gibt verschiedene Arten von Polynomen, von denen manche ganz besonders wichtig sind. Die bekanntesten Polynome sind das Nullpolynom, das Binom und das Trinom. Diese stellen wir dir hier kurz vor.

Allgemeines Polynom

Mit die wichtigsten Polynome sind diejenigen mit nur einer Variablen x. Man bezeichnet sie auch als „Polynome in einer Variablen x“. Allgemein aufgeschrieben sehen sie so aus:

$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0.$

Beispiele für Polynome in einer Variablen x

-2x³+12x²+3x-1
8x⁵-2x³
x⁸+3x⁵-16x²

Nullpolynom

Das denkbar einfachste Polynom heißt Nullpolynom. Es ist konstant Null

f(x)=0.

Der Grad des Nullpolynoms ist auf -1 oder $-\infty$ festgelgt. Sein Funktionsgraph ist identisch zur x-Achse, das heißt es handelt sich dabei um eine waagrechte Gerade im Koordinatensystem mit y-Achsenabschnitt y=0 .

Monom

Ein Monom besteht aus nur einem Glied. Beispiele hierfür sind:

Binom

Ein Binom besteht immer aus zwei Gliedern, es ist die Summe oder die Differenz zweier Monome. Typische Beispiele für ein solches Binom sind

a+b
2x²+x
$\frac{1}{3}y-z$
4ab-b.

Achtung: Pass auf, dass du das Binom nicht mit den binomischen Formeln verwechselst! Hier werden zwei Binome multipliziert!

(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2

Trinom

Ein Trinom besteht im Gegensatz zum Binom aus drei einzelnen Termen, beziehungsweise aus drei Monomen. Typische Beispiele dafür sind

a+b+c
2x+3-y
ax²+bx+c
a²+2ab+b².

Polynom — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie erkenne ich schnell, ob ein Term wirklich ein Polynom ist?

Du erkennst einen Polynomterm schnell daran, dass er nur aus Summen und Differenzen von Monomen besteht, also aus Produkten aus Zahlen und Variablenpotenzen mit natürlichen Exponenten (0, 1, 2, …). Nicht-polynomiell sind Terme mit Variablen im Nenner, Wurzeln oder gebrochenen Exponenten, zum Beispiel $\frac{1}{x}+2$ .
Was ist der Grad bei einem Polynom mit mehreren Variablen?

Der Grad eines Polynoms mit mehreren Variablen ist der größte Gesamtgrad eines einzelnen Monoms. Dafür addierst du in jedem Monom die Exponenten aller Variablen und nimmst die größte Summe. Zum Beispiel hat den Grad 5, weil den Gesamtgrad hat.
Welche Fehler passieren oft bei der Polynomdivision?

Häufige Fehler bei der Polynomdivision sind falsches Vorzeichen beim Subtrahieren, fehlende „Platzhalter“-Terme für fehlende Potenzen und ein falsch gewählter erster Quotiententerm. Zum Beispiel wird bei oft ohne und gerechnet, wodurch die Terme beim Subtrahieren falsch untereinander stehen.
Wann hat die Polynomdivision am Ende einen Rest?

Eine Polynomdivision hat genau dann einen Rest, wenn das Dividendenpolynom nicht durch das Divisorpolynom teilbar ist, also der Divisor kein Faktor des Polynoms ist. Dann endet die Rechnung, sobald der Rest einen kleineren Grad als der Divisor hat. Zum Beispiel bleibt beim Teilen durch ein Rest, wenn $f(2)\neq 0$ .
Wie finde ich Nullstellen von Polynomen ohne Polynomdivision?

Nullstellen von Polynomen ohne Polynomdivision findest du oft durch Faktorisieren (Ausklammern), mit binomischen Formeln oder durch die Mitternachtsformel bei quadratischen Polynomen. Außerdem hilft der Satz vom Nullprodukt: Wenn gilt, sind und Nullstellen. Zum Beispiel liefert die Nullstellen 3 und -3.

Polynomdivision

Polynome kannst du auch durcheinander teilen. Das funktioniert im Prinzip genauso wie das schriftliche Teilen in der Grundschule. Möchtest du etwa das Polynom 5x²+3x-12 durch das andere Polynom x-4 teilen, dann würde das Ganze so aussehen:

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Die Polynomdivision musst du unbedingt können um Nullstellen von Polynomen dritten Grades oder höher, zu bestimmen. Wie das geht erklären wir natürlich ausführlich in einem eigenem Video dazu. Schau es dir gleich an!