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Kurvendiskussion

Wichtige Inhalte in diesem Video

Definitionsbereich bestimmen

Achsenschnittpunkte berechnen

Symmetrieverhalten bestimmen

Verhalten im Unendlichen

Extrempunkte berechnen

Monotonieverhalten bestimmen

Krümmungsverhalten bestimmen

Wendepunkte berechnen

Wertebereich bestimmen

Wenn du beim Thema Kurvendiskussion noch keinen Überblick hast, bist du bei unserer Kurvendiskussions-Zusammenfassung genau richtig. Hier findest du alles, was du wissen musst. Schaue dir auch unser passendes Video dazu an!

Inhaltsübersicht

Kurvendiskussion einfach erklärt

Eine Kurvendiskussion ist die ausführliche Untersuchung einer Funktion. Dabei ermittelst du geometrische Eigenschaften des Graphen der Funktion, wie beispielsweise Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte und das Verhalten im Unendlichen. Anhand dieser Eigenschaften kannst du deinen Graphen dann ganz einfach zeichnen.

In der Abbildung siehst du einige Punkte einer Funktion f(x), die du mit einer Kurvendiskussion finden kannst.

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Wichtige Schritte einer Kurvendiskussion

1. Definitionsbereich bestimmen (Definitionslücken)

2. Achsenabschnitte berechnen (y-Achsenabschnitt und Nullstellen)

3. Symmetrieverhalten bestimmen (Punkt- oder Achsensymmetrie)

4. Verhalten im Unendlichen (Grenzverhalten/ Limes)

5. Extrempunkte berechnen (Hochpunkte und Tiefpunkte)

6. Monotonieverhalten bestimmen (Steigungsverhalten)

7. Krümmungsverhalten bestimmen (Zweite Ableitung)

8. Wendepunkte berechnen (Links-Rechts- und Rechts-Links-Punkte)

9. Wertebereich bestimmen (Wertemenge)

Definitionsbereich bestimmen

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Obwohl oft nicht extra nach ihm in Aufgaben gefragt wird, solltest du dir immer den Definitionsbereich (oder auch die Definitionsmenge) aufschreiben. Er sagt dir, welche Werte du für x in deine Funktion f(x) einsetzen darfst.

Definitionsmenge bestimmen

Wenn du eine dieser Rechnungen in deiner Funktion hast, musst du aufpassen!

$\nicefrac{1}{x} \Rightarrow x \neq 0$ (Keine 0 unterm Bruchstrich!)
$\sqrt{x} \Rightarrow x \geq 0$ (Keine negativen Zahlen in Wurzeln!)
$\ln(x) \Rightarrow x > 0$ (Nur positive Zahlen in Logarithmen!)

Falls du dir das noch mal genau angucken magst, haben wir auch ein eigenes Video zum Definitionsbereich $\mathbb{D}_f$ .

Zum Video Definitionsbereich

Am besten verstehst du das mit einem Beispiel: Welche Zahlen darfst du in die Funktion

$f(x) = \frac{2x+3}{ x^2-4 }$

einsetzen? Deine Funktion ist ein Bruch. Unter dem Bruchstrich darf also nie eine 0 stehen. Dass bedeutet, der Term unter Bruchstrich ( x^2 - 4 ) muss immer ungleich 0 sein:

$\begin{align*} x^2 - 4 &\neq 0 \quad |\, +4 \\ x^2 &\neq 4 \quad |\, \sqrt{\phantom{1}} \\ x &\neq \pm 2 \end{align*}$

Du darfst also auch nicht den Wert -2 oder +2 für x einsetzen. Abgesehen davon darfst du jede reelle Zahl in deine Funktion einsetzen. Das alles kannst du noch in der Intervallschreibweise zusammenfassen:

$\mathbb{D}_f = \textcolor{blue}{\left]-\infty; +\infty\right[} \textcolor{red}{\,/ \{-2; 2\} }$

Achsenschnittpunkte berechnen

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Als Nächstes berechnest du die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen . Der Schnittpunkt mit der y-Achse heißt y-Achsenabschnitt und die Schnittpunkte mit der x-Achse Nullstellen.

Achsenabschnitte bestimmen

Nullstellen: Setze die Funktion gleich 0!

$f(x) \overset{!}{=} 0$

y-Achsenabschnitt: Setze für x 0 in die Funktion ein!

$f(0) = y$

Angenommen du hast die Funktion

$f(x) = 2x^2 - 16x +12$

gegeben.

y-Achsenabschnitt

Dann berechnest du den Achsenschnittpunkt mit der y-Achse, indem du x=0 einsetzt.

$\begin{gather*} f(0) = 2\cdot 0^2 -16\cdot 0 +12 = 12 \\ \Rightarrow \text{y-Achsenschnittpunkt:}\, (0|12) \end{gather*}$

x-Achsenabschnitte

Die Nullstellen berechnest du, indem du die Funktion f(x)=0 setzt und nach x umstellst. Falls du dein Wissen auffrischen magst, haben wir für dich ein Video über das Nullstellen berechnen vorbereitet. Für dieses Beispiel kannst du die Mitternachtsformel benutzen, um die Funktion umzustellen:

$\begin{gather*} f(x) \overset{!}{=} 0 \\ 2x^2 -16x +12 = 0 \\ \Rightarrow x_{1,2} = 4\pm\sqrt{10}\\ x_1 \approx 0,8 \quad x_2 \approx 7,2 \\ \Rightarrow \text{x-Achsenschnittpunkt:}\, (0,8|0), (7,2|0) \end{gather*}$

Symmetrieverhalten bestimmen

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Funktionen können punktsymmetrisch zum Ursprung oder achsensymmetrisch zur y-Achse sein.

Symmetrieverhalten bestimmen

Achsensymmetrie zur y-Achse:

$f(-x) = f(x)$

Punktsymmetrie zum Ursprung:

$f(-x) = -f(x)$

Funktionen mit geraden Exponenten (z.B. x^4-x^2 ) sind achsensymmetrisch zur y-Achse:

$\begin{align*} f(-x) &= f(x) \\ (-x)^4 - (-x)^2 &= x^4 - x^2 \\ x^4 - x^2 &= x^4 - x^2 \;\textcolor{olive}{\checkmark} \end{align*}$

Die Funktionen mit ungeraden Exponenten (z.B. x^3-2x ) sind punktsymmetrisch zum Ursprung:

$\begin{align*} f(-x) &= -f(x) \\ (-x)^3-2(-x) &= -(x^3-2x) \\ -x^3+2x &= -x^3+2x \;\textcolor{olive}{\checkmark} \end{align*}$

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Verhalten im Unendlichen

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Nach der Symmetrie schaust du dir die Grenzwerte deiner Funktion an. Du fragst dich also, was sie für sehr große und sehr kleine x-Werte macht. Dafür benutzt du den sogenannten Limes $\lim$ . Angenommen du hast die Funktion

$f(x) = 2x\cdot e^x$

Dann bestimmst du ihr Verhalten im Unendlichen , indem du für x immer größere Werte (Verhalten gegen $+\infty$ ) einsetzt und überlegst, wohin die Funktion sich für immer größere Werte bewegt. Hier werden und e^x immer größer. Die Funktion geht gegen $+\infty$ :

$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} 2x\cdot e^x = +\infty$

Das Gleiche kannst du für immer kleinere x-Werte machen (Verhalten gegen $-\infty$ ). Hier geht die Teilfunktion für kleinere x-Werte gegen $-\infty$ , aber die Teilfunktion e^x geht nach 0. Weil e^x schneller gegen 0 geht als gegen $-\infty$ , nähert sich die gesamte Funktion $2x\cdot e^x$ dem Wert 0 an:

$\lim\limits_{x\rightarrow -\infty} 2x\cdot e^x = 0$

Zum Video Grenzwert

Extrempunkte berechnen

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Mit einer Kurvendiskussion findest du auch alle Hoch- und Tiefpunkte deiner Funktion f(x). Dabei gehst du immer so vor:

Extrempunkte berechnen

Notwendige Bedingung: An einem Extrempunkt ist die Ableitung von f(x) gleich 0.

$f'(x) \overset{!}{=} 0 \;\Rightarrow\; \text{potentielle Extremstelle bei } x_E$

Hinreichende Bedingung: Potentielle Extremstellen können Sattelpunkte oder Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) sein. Unterscheide sie mit der zweiten Ableitung!

$\begin{align*} f''(x_E) &< 0 \;\Rightarrow\; \text{Hochpunkt bei } x_E \\ f''(x_E) &= 0 \;\Rightarrow\; \text{Sattelpunkt bei } x_E \text{, wenn } f'''(x_E) \neq 0\\ f''(x_E) &> 0 \;\Rightarrow\; \text{Tiefpunkt bei } x_E \end{align*}$

y-Werte der Extrempunkte: Setze die Extremstellen in die Funktion f(x) ein.

$f'(x_E) = 0 \;\Rightarrow\; \text{Extrempunkt bei } (x_E | f(x_E) )$

Wenn du dir das Thema noch mal in Ruhe anschauen magst, haben wir dir auch für das Extremwerte berechnen ein Video vorbereitet.

Zum Video Extrempunkte berechnen

Wiederhole das am besten mit einem Beispiel. Angenommen du hast die Funktion

$f(x) = \frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{2} x^2 - 6x + 5$

gegeben. Wo liegen ihre Hochpunkte und Tiefpunkte?

1.Schritt: Ableitung gleich 0 setzen.

$f'(x) = x^2 + x - 6 \overset{!}{=} 0 \;\Rightarrow\; \text{potentielle Extremstellen bei } x_1 = -3 \text{ und } x_2 = 2$

2.Schritt: Zweite Ableitung bilden und potentielle Extremstellen einsetzen.

$\begin{align*} f''(x) &= 2x + 1 \\ f''(-3) = -5 < 0 \;&\Rightarrow\; \text{Hochpunkt bei } x = -3 \\ f''(2) = +5 > 0 \;&\Rightarrow\; \text{Tiefpunkt bei } x = 2 \end{align*}$

3.Schritt: y-Werte berechnen.

$\begin{gather*} y_1 = f(x_1) = f(-3) = 18,5 \;\Rightarrow\; \text{Hochpunkt bei } (-3|18,5) \\ y_2 = f(x_2) = f(2) = -2,\overline{3} \;\Rightarrow\; \text{Tiefpunkt bei } (2\left|-2,\overline{3}\right) \end{gather*}$

Die Funktion f(x) besitzt einen Hochpunkt bei (-3|18,5) und einen Tiefpunkt bei (2|-2,3). War doch gar nicht so schwer, oder?

Monotonieverhalten bestimmen

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Der nächste Schritt einer Kurvendiskussion ist die Bestimmung des Steigungsverhaltens (auch Monotonieverhalten genannt). Dabei willst du herausfinden, ob deine Funktion im Großen und Ganzen größer oder kleiner wird. Weil dir die Ableitung sagt, ob die Funktion steigt oder fällt, kannst du mit ihr die Monotonie bestimmen.

$\begin{align*} f'(x) &\geq 0 \;\Rightarrow\; f(x) \text{ ist monoton steigend/wachsend.} \\ f'(x) &\leq 0 \;\Rightarrow\; f(x) \text{ ist monoton fallend.} \\ \vspace{1em} \\ f'(x) &> 0 \;\Rightarrow\, f(x) \text{ ist streng monoton steigend/wachsend.} \\ f'(x) &< 0 \;\Rightarrow\, f(x) \text{ ist streng monoton fallend.} \\ \end{align*}$

Unterschied Monotonie und strenge Monotonie

Wenn die Ableitung deiner Funktion nie gleich 0 ist, ist sie streng monoton. Die roten Graphen sind streng monoton und die blauen Kurven sind monoton.

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Krümmungsverhalten bestimmen

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Wenn sich die Steigung einer Funktion ändert, nennst du sie gekrümmt. Wird die Steigung größer, ist der Graph links-gekrümmt. Nimmt die Steigung ab, ist er rechts-gekrümmt.

kurvendiskussion, kurvendiskussion beispiel, analysis, krümmungsverhalten — Krümmungsverhalten: Die rote Parabel ist links-gekrümmt. Die blaue Parabel ist rechts-gekrümmt.

Du kannst das Krümmungsverhalten bestimmen, indem du dir die zweite Ableitung anschaust:

Krümmungsverhalten bestimmen

$\begin{align*} f''(x) &> 0 \;\Rightarrow\; f(x) \text{ ist an der Stelle } x \text{ \textcolor{orange}{links-gekrümmt} bzw. konvex.} \\ f''(x) &= 0 \;\Rightarrow\; f(x) \text{ ist an der Stelle } x \text{ nicht gekrümmt.}\\ f''(x) &< 0 \;\Rightarrow\; f(x) \text{ ist an der Stelle } x \text{ \textcolor{olive}{rechts-gekrümmt} bzw. konkav.} \end{align*}$

Wende die Regeln gleich an einem Beispiel an! Stelle dir vor, du sollst das Krümmungsverhalten von

$f(x) = x^2 + 2 \;\text{und}\; g(x) = -x^2 + 1$

bestimmen. Finde die zweite Ableitungen und du bist fertig:

$\begin{align*} f''(x) &= 2 > 0 \;\Rightarrow\; f(x) \text{ ist links-gekrümmt.} \\ g''(x) &= -2 < 0 \;\Rightarrow\; g(x) \text{ ist rechts-gekrümmt.} \end{align*}$

Du hast es aber nicht immer so einfach wie mit diesem Beispiel. Manche Funktionen können ihr Krümmungsverhalten nämlich ändern. Mehr dazu im nächsten Abschnitt!

Wendepunkte berechnen

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Das Krümmungsverhalten einer Funktion kann sich auch ändern. Das passiert an einem Wendepunkt. In dem Beispiel ist der rote Graph zuerst rechts-gekrümmt. Nach dem Wendepunkt ist er links-gekrümmt.

Kurvendiskussion, kurvendiskussion beispiel, wendepunkt berechnen, wendepunkte berechnen, wendestellen berechnen, analysis, ableitung, wendepunkt — Rechts-Links-Wendepunkt W: Vor W ist der Graph rechts-gekrümmt (grün) und nach W ist der Graph links gekrümmt (orange)

Die Wendepunkte findest du mit diesen 3 Schritten:

Wendepunkte bestimmen

Notwendige Bedingung: Die zweite Ableitung gleich 0 setzten.

$f''(x) \overset{!}{=} 0 \;\Rightarrow\; \text{potentielle Wendestellen bei } x_W$

Hinreichende Bedingung: Die dritte Ableitung darf nicht 0 sein. Außerdem gibt es Links-Rechts- und Rechts-Links-Wendepunkte. Unterscheide sie mit der dritten Ableitung!

$\begin{align*} f'''(x_W) &< 0 \;\Rightarrow\; \text{Links-Rechts-Wendestelle} \\ f'''(x_W) &= 0 \;\Rightarrow\; \text{Keine Wendestelle} \\ f'''(x_W) &> 0 \;\Rightarrow\; \text{Rechts-Links-Wendestelle} \end{align*}$

y-Werte berechnen: Setzte die Wendestelle in die Funktion ein.

$f''(x_W) = 0 \;\Rightarrow\; \text{Wendepunkt bei } (x_W|f(x_W))$

Probiere die Regeln gleich an einem Beispiel aus! Angenommen du hast die Funktion

$f(x) = \frac{1}{6} x^3 -x^2 + \frac{5}{2} x - \frac{8}{6}$

gegeben. Wo liegt ihr Wendepunkt? Wie ändert sich dort die Krümmung?

1.Schritt: Zweite Ableitung gleich 0 setzen.

$f''(x) = x - 2 \overset{!}{=} 0 \;\Rightarrow\; \text{potentielle Wendestelle bei } x_W = 2$

2.Schritt: Dritte Ableitung bilden und Vorzeichenwechselkriterium beachten!

$f'''(x) = 1 > 0 \;\Rightarrow\; \text{Rechts-Links-Wendepunkt}$

3.Schritt: y-Wert berechnen.

$y_W = f(x_W) = f(2) = 1 \;\Rightarrow\; \text{Wendepunkt bei } (2|1)$

Die Funktion f(x) hat also einen Wendepunkt bei (2|1). Der Graph wechselt dort von rechts- zu links-gekrümmt. War doch gar nicht so schwer, oder?

Wertebereich bestimmen

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Der Wertebereich W sind alle y-Werte, die du ausrechnen kannst, wenn du alle erlaubten x-Werte in deine Funktion f(x) einsetzt. Die Wertemenge enthält also alle y-Werte, welche dir deine Funktion geben kann.

Zum Video Wertebereich

Die Funktion

$f(x) = x^2 + 2 \;\Rightarrow\; \mathbb{W} = [2;\infty[$

kann zum Beispiel keine Werte kleiner als 2 haben. Gleichzeitig hat sie aber keine Begrenzung nach oben. Mit f(x) kannst du also y-Werte zwischen 2 und Unendlich ausrechnen.

Ableiten bestimmter Funktionen

Häufig musst du auch Funktionen diskutieren, die eine e-Funktion, Logarithmus, Wurzeln oder trigonometrische Funktionen besitzen. Dann ist es nicht immer leicht die Ableitungen von den Funktionen zu finden. Um die Kurvendiskussion auch bei diesen Funktionen leicht durchführen zu können, musst du dir unbedingt unser Video dazu anschauen.

Zum Video Ableitung bestimmter Funktionen

zur Videoseite: Kurvendiskussion

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