Funktionen
Funktionen - Grundlagen
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Du willst wissen, was die Definitionsmenge ist und wie du sie ganz leicht bestimmen kannst? Dann bist du hier genau richtig! Wenn du dich beim Lernen lieber zurücklehnst, dann schau dir doch einfach unser Video dazu an.

Definitionsmenge einfach erklärt

In eine Funktion, wie z. B. f(x) = \frac{1}{x}, kannst du verschiedene x-Werte einsetzten. Manchmal darfst du jeden beliebigen Wert einsetzen — bei einigen Funktionen sind bestimmte Zahlen dagegen nicht erlaubt.

Mit der Definitionsmenge beantwortest du die Frage:

Welche x-Werte darf ich in die Funktion einsetzen?

Schau dir das gleich mal an dem Beispiel f(x) = \frac{1}{x} an.

Vielleicht kennst du die Regel: Durch 0 darf man nicht teilen. Deshalb darf dein x hier auch nicht 0 sein, denn sonst hättest du in deiner Funktion \frac{1}{\textcolor{red}{0}} stehen! In deiner Definitionsmenge sind also „alle Zahlen außer 0. Die 0 nennst du dann auch Definitionslücke.

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Graph mit Definitionslücke

Auch im Graphen kannst du die Definitionslücke bei x = 0 erkennen.

Definitionsmenge Schreibweise

Natürlich gibt es auch eine mathematische Schreibweise, mit der du die Definitionsmenge angeben kannst.

Die Definitionsmengealle Zahlen außer 0“ von oben kannst du zum Beispiel mathematisch so angeben:

    \[\textcolor{blue}{\mathbb{D}} = \textcolor{magenta}{\mathbb{R}} \textcolor{orange}{\backslash} \{\textcolor{red}{0}\}\]

Es gilt:
  • \textcolor{blue}{\mathbb{D}} : Definitionsmenge
  • \textcolor{magenta}{\mathbb{R}} : die reellen Zahlen (alle Zahlen, die du aus der Schule kennst, z. B. : 1, -5, 2.3, ¾, π, …)
  • \ : „ohne, außer“
  • {…} : bezeichnet eine Menge. Hier schreibst du alle Definitionslücken rein.

Eine andere Möglichkeit, „alle Zahlen außer 0” aufzuschreiben, sieht so aus:

    \[ \textcolor{blue}{\mathbb{D}} = \{ x \in \textcolor{magenta}{\mathbb{R}} \; | \; x \textcolor{orange}{\neq} \textcolor{red}{ 0} \} \]

Das bedeutet ausgesprochen: Alle x, die zu den reellen Zahlen gehören, und auf die zutrifft: x 0

Definitionsmenge bestimmen

Jetzt, wo du die Definition und Schreibweise der Definitionsmenge kennst, kannst du dir anschauen, wie du die Definitionsmenge bestimmen kannst. Dazu musst du immer wissen, mit welchem Funktionstyp du es zu tun hast, denn für jeden gibt es eigene Regeln. Im Folgenden siehst du jeweils ein Beispiel zu jedem Funktionstyp.

Ganzrationale Funktionen

Bei ganzrationalen Funktionen werden verschiedene x-Potenzen miteinander addiert. Sie sehen zum Beispiel so aus:

  • f(x) = 2x-3
  • f(x) = 3x2+5x-6
  • f(x) = 5x4 + 3x3+2x2

Hier kannst du die Definitionsmenge ganz einfach bestimmen: Du darfst alle Zahlen einsetzen!

Ganzrationale Funktionen

In ganzrationale Funktionen darfst du jeden beliebigen x-Wert einsetzen. Für die Definitionsmenge gilt also \mathbb{D} = \mathbb{R}.

Aber wie sieht es bei Funktionen aus, bei denen das nicht so ist?

Gebrochen rationale Funktionen

Gebrochen rationale Funktionen sind Brüche, bei denen im Nenner (also unten) ein x steht. Das Beispiel f(x) = \frac{1}{x} vom Anfang ist ein Beispiel dafür.

Hier musst du die Regel beachten:

Durch 0 darfst du nicht teilen!

Aufgrund dieser Regel wird klar: Im Nenner darf keine 0 stehen! Deshalb kannst du so vorgehen, um die Definitionsmenge zu bestimmen:

Gebrochen rationale Funktionen
  1. Berechne die Nullstellen  des Nenners.
  2. Gib die Definitionsmenge an:

        \[ \mathbb{D} = \mathbb{R} \backslash \{ \textcolor{red}{ \text{Nullstellen~des~Nenners}} \} \]

Schau dir am besten gleich mal ein Beispiel dazu an:

    \[f(x) = \frac{x^2}{x^2-4}\]

Du gehst wie folgt vor:

  1. Berechne die Nullstellen des Nenners (hier x2-4). Bei einem komplizierteren Term musst du dafür vielleicht die Mitternachtsformel verwenden.

        \begin{align*}0 &= x^2-4 \qquad | +4\\4 &= x^2 \qquad~~~~~|\sqrt{...} \\ x &= \textcolor{red}{\pm 2}\end{align*}

  2. Notiere die Definitionsmenge

        \[\mathbb{D} = \mathbb{R} \backslash \{ \textcolor{red}{-2} ; \textcolor{red}{2}\}\]

Die Definitionslücken x= -2 und x= 2 kannst du auch am Graphen der Funktion erkennen: Sie äußern sich in den senkrechten Asymptoten , an die sich der Graph nach oben und unten hin immer mehr annähert.

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Definitionsmenge gebrochen rationale Funktion

Gar nicht so schwer, oder?

Wurzelfunktionen

Auch bei Wurzelfunktionen wie z. B. f(x) = \sqrt{x} darfst du nicht alle x-Werte einsetzten. Denn hier gilt die Regel:

Aus negativen Zahlen kannst du keine Wurzel ziehen!

Für dich heißt das konkret, dass unter dem Wurzelzeichen keine negative Zahl stehen darf. Allgemein kannst du so vorgehen, um die Definitionsmenge einer Wurzelfunktion zu bestimmen:

Wurzelfunktionen
  1. Löse die Ungleichung ′innere Funktion ≥ 0′ nach x auf.
  2. Gib damit die Definitionsmenge an. 

        \[ \mathbb{D} = \{ x \in \mathbb{R} | x \geq ...\} \qquad \text{oder} \qquad \{\mathbb{D} = \{ x \in \mathbb{R} | x \leq ...\} \]

Wie das geht, siehst du am besten direkt an einem Beispiel. Du sollst die Definitionsmenge bestimmen von:

    \[f(x) = \sqrt{x-3}\]

  1. Als Erstes musst du herausfinden, für welche x-Werte die innere Funktion x-3 größer oder gleich 0 ist. Stelle dazu die passende Ungleichung  auf und löse sie.

        \begin{align*}x-3 &\geq 0 \qquad | +3 \\x &\geq 3\end{align*}

    Damit der Term unter der Wurzel also positiv oder Null ist, muss x also mindestens 3 sein.
  2. Damit kannst du jetzt die Definitionsmenge angeben:

        \[\mathbb{D} = \{x \in \mathbb{R} | x \geq 3 \}\]

    Es sind also alle reellen Zahlen erlaubt, die größer oder gleich 3 sind.

Das kannst du auch an dem Graphen der Funktion sehen:

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Definitionsmenge einer Wurzelfunktion

Der Graph existiert erst für x ≥ 3.

Schau dir jetzt noch die e-Funktionen und ln-Funktionen an.

E-Funktion und ln-Funktion

Bei e-Funktionen , wie z. B. f(x) = e^x oder f(x) = 2e^{3x} ist die Definitionsmenge ganz einfach zu bestimmen:

e-Funktion

In e-Funktionen darfst du jede beliebige Zahl einsetzten. Es gilt also: \mathbb{D} = \mathbb{R}.

Bei der Umkehrfunktion der e-Funktion, der ln-Funktion , ist es nicht mehr ganz so einfach. Es gilt die Regel:

 Bei negativen Zahlen oder der 0 darfst du den ln nicht anwenden!

Das bedeutet für dich, dass nur positive Zahlen in der Klammer des ln stehen dürfen! Vielleicht erinnert dich das ein bisschen an die Wurzelfunktion. Der einzige Unterschied: hier ist auch die 0 ist nicht erlaubt!

Schau dir das direkt wieder an einem Beispiel an.

Du sollst die Definitionsmenge dieser Funktion bestimmen:

f(x) = ln(x2-x-2)

Gehe wie folgt vor:

  1. Zuerst musst du herausfinden, wann die innere Funktion x2-x-2 nicht positiv ist. Löse dazu die Ungleichung x2-x-2 ≤ 0. Am einfachsten geht das, indem du den Graphen der inneren Funktion zeichnest:
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    Graph der Innenfunktion

    Jetzt kannst du ganz einfach ablesen, dass die innere Funktion zwischen -1 und 2 negativ ist, und bei x = -1 und x = 2 gleich 0. Das gesamte Intervall, in dem der Term ≤ 0 ist, kannst du so angeben: [-1,2]. Die eckigen Klammern bedeuten, dass auch die -1 und die 2 in dem Intervall beinhaltet sind.

  2. Aus der Definitionsmenge musst du jedes Intervall ausschließen, in dem die innere Funktion negativ oder 0 ist. Deshalb ergibt sich: \mathbb{D} = \mathbb{R} \ [-1,2]

Die Definitionslücke von -1 bis 2 kannst du auch am Graphen sehen:

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ln-Funktion

Allgemein kannst du bei ln-Funktionen also so vorgehen:

ln-Funktion
  1. Löse die Ungleichung ’innere Funktion ≤ 0’. Dadurch findest du ein odere mehrere Intervalle, indem die innere Funktion negativ oder null ist.
  2. Gib die Definitionsmenge an.

        \[\mathbb{D} = \mathbb{R} \backslash [\text{Intervall, dass} \leq 0] \]

Super, jetzt musst du dir nur noch einen Funktionstypen anschauen:

Trigonometrische Funktionen

Als Letztes kannst du dir noch die trigonometrischen Funktionen anschauen.

Bei Sinus und Kosinus ist es ganz einfach, die Definitionsmenge zu bestimmen.

Sinus und Kosinus

Für sin(x) und cos(x) gilt: \mathbb{D} = \mathbb{R}.

Das siehst du auch, an ihren Funktionsgraphen. Für jeden x-Wert gibt es einen y-Wert.

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Sinus und Kosinus

Komplizierter wird es beim Tangens , der so definiert ist:

    \[\tan{(x)} = \frac{\sin{(x)}}{\cos{(x)}}\]

Da es sich hier um einen Bruch handelt, darf im Nenner keine 0 stehen. Die Definitionslücken sind also die Nullstellen des Kosinus. Im Graphen kannst du ablesen, dass das z. B. \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2} sind. Somit kannst du die Definitionsmenge des Tangens so angeben:

Tangens

    \[\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{ k\pi+\frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \}\]

Bei Umkehrfunktionen sind Wertebereich und Definitionsmenge immer vertauscht. Weil der Wertebereich von \sin(x) und \cos(x) das Intervall [-1, 1] ist, gilt für die Umkehrfunktionen:

\arcsin(x) = \sin^{-1}(x) und \arccos(x) = \cos^{-1}(x) haben die Definitionsmenge \mathbb{D}=[-1, 1]

Wertebereich

Super, jetzt kannst du die Definitionsmenge von verschiedenen Funktionen ganz leicht bestimmen! Du nennst die Definitionsmenge übrigens auch Definitionsbereich . Du hast gesehen, dass der Definitionsbereich all die x-Werte sind, die du in eine Funktion einsetzen darfst. Aber was ist eigentlich mit den y-Werten?

Alle möglichen y-Werte einer Funktion bezeichnest du mit dem Wertebereich. Du willst auch dazu viele Beispielaufgaben sehen? Dann schau dir doch unser Video dazu an!

Zum Video: Wertebereich
Zum Video: Wertebereich

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