Internes Rechnungswesen

Gewinnfunktion und Erlösfunktion

In diesem Artikel werden wir dir den Zusammenhang zwischen der Gewinn- und der Erlösfunktion näherbringen. Zunächst geben wir dir kurze Definitionen, erklären dir dann ausführlich die Aufstellung der Gewinnfunktion und enden mit wichtigen Infos zur Erlösfunktion.

Du hast keine Lust, einen langen Artikel durchzulesen? Unser Video bringt alles auf den Punkt, was du zur Gewinn- und Erlösfunktion wissen musst!

Du könntest dein Wissen auch schon testen. Für diesen Zweck haben wir dir eine Übungsaufgabe , Verständnisfragen und eine Klausuraufgabe zusammengestellt.

Inhaltsübersicht

Gewinnfunktion

Als Gewinnfunktion wird die Differenz zwischen der Erlösfunktion und der Kostenfunktion bezeichnet. Sie gibt an, wie viel Gewinn ein Unternehmen durch seine verkauften Produkte realisiert.

Die Gewinnfunktion wird durch G(x) dargestellt. Einfach ausgedrückt ermittelt sie den positiven oder negativen Überschuss, der nach Einnahmen minus Ausgaben übrigbleibt. Für das Ergebnis der Kostenfunktion ergeben sich drei verschiedene Möglichkeiten: Gewinn, Verlust oder der Break-even-point . Unternehmen können mithilfe der Gewinnfunktion ihre optimale Ausbringungsmenge , die zum maximalen Gewinn führt, bestimmen, indem sie von der Erlösfunktion die Kostenfunktion abziehen.

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Gewinnfunktion Zusammensetzung

Unter einer Erlösfunktion versteht man den Umsatz, der durch die verkauften Produkte eines Unternehmens generiert wird. Sie wird durch  angegeben und setzt sich aus dem Produkt zwischen Verkaufspreis und Absatzmenge zusammen.

E\left(x\right)=p(x)\cdot\ x

Die Kostenfunktion  gibt den Zusammenhang zwischen der Ausbringungsmenge und den daraus anfallenden Kosten an. Die Funktion fügt sich aus fixen und variablen Kosten zusammen.

{K\left(x\right)=K}_F+k_v\cdot\ x

Gewinnfunktion aufstellen

Im Folgenden werden wir die Gewinnfunktion aufstellen und dir anhand eines Beispiels zeigen, wie man diese berechnet.

Gewinnfunktion Formel

Die Gewinnfunktion stellt die Differenz zwischen Erlösfunktion und Kostenfunktion dar.

G(x)=E(x)-K(x)

Hierbei existieren für die Werte, die G(x) annehmen kann, die folgenden drei Möglichkeiten:

  • G(x) ist größer als 0, also positiv: Es wird ein Gewinn erzielt.
  • G(x) ist kleiner als 0, also negativ: Es liegt ein Verlust vor.
  • G(x) ist gleich 0: Das Unternehmen erreicht den Break-even-point (BEP) oder auch Gewinnschwelle genannt. Hier ist der Fall, dass Erlös und Kosten gleich hoch sind und weder ein Gewinn noch ein Verlust gegeben sind.

Gewinnfunktion berechnen

Möchte ein Unternehmen seine optimale Ausbringungsmenge x bestimmen, muss es die erste Ableitung der Gewinnfunktion bilden. Anschließend setzt man die Ableitung mit 0 gleich und löst die Gleichung nach der optimalen Ausbringungsmenge x auf. Wird dieses x schlussendlich wieder in die Gewinnfunktion eingesetzt, ergibt sich daraus der maximal realisierbare Gewinn des Unternehmens.

Betrachten wir als Beispiel eine Michelin-Pommesbude. Diese serviert exklusive Pommeskreationen mit Trüffelmayonnaise und echtem Goldstaub und möchte nun die optimale Ausbringungsmenge anhand der Gewinnfunktion berechnen.

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Optimale Ausbringungsmenge berechnen

Wir nehmen an, dass die folgende Gewinnfunktion ermittelt wurde. Diese ergibt sich, wie bereits erklärt, aus der Differenz zwischen der Erlösfunktion und der Kostenfunktion:

G\left(x\right)=[-0,5x^2+1.000x]-[x+199.000]

Zunächst bildet die Besitzerin der Pommesbude die erste Ableitung der Gewinnfunktion:

G´x=-x+999

Anschließend setzt sie diese Ableitung mit 0 gleich und löst nach der optimalen Ausbringungsmenge x  auf.

0=-x+999
x=999

Um nun den maximalen Gewinn zu erhalten, setzt sie die optimale Menge von 999 in ihre ursprünglich bestimmte Gewinnfunktion ein.

G\left(999\right)=\left[-0,5\cdot{999}^2+1.000\cdot999\right]-\left[999+199.000\right]=300.000,50

Bei der vorliegenden Gewinnfunktion würde die Besitzerin der Pommesbude also mit einer Menge von 999 Portionen das Gewinnmaximum von 300.000,50€ erzielen.

Erlösfunktion

Die Erlösfunktion (oder auch seltener Ertragsfunktion oder Umsatzfunktion) gibt den Gesamtumsatz an, der durch ein verkauftes Produkt generiert wird. Man kann die Erlösfunktion aufstellen, indem das Produkt aus der Preis-Absatz-Funktion (PAF)  p(x) und der Absatzmenge  berechnet wird.

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Erlösfunktion aufstellen

Die Erlösfunktion gibt also den Zusammenhang zwischen dem Stückpreis und der verkauften Menge eines Gutes wieder.

E(x)=p(x) \cdot x

Nehmen wir an, die Besitzerin der Pommesbude hat die folgende Preis-Absatz-Funktion vorliegen:

p\left(x\right)=-0,5x+1.000

Multipliziert sie diese mit der Absatzmenge x, kann sie die Erlösfunktion bestimmen.

E\left(x\right)=(-0,5x+1.000)\cdot\ x
E\left(x\right)=-0,5x^2+1.000x

Nun möchte die Besitzerin den Erlös, den sie mit ihrer optimalen Ausbringungsmenge von 999 Portionen realisieren kann, berechnen.

E\left(999\right)=-0,5\cdot{999}^2+1.000\cdot 999=499.999,50

Bei 999 verkauften Portionen ihrer Trüffelpommes mit Goldstaub kann sie folglich einen Umsatz von 499.999,50€ erzielen. Mit dem Ergebnis dieser Erlösfunktion kann sie nun durch das Abziehen der Kostenfunktion ihre Gewinnfunktion aufstellen.

Übungsaufgabe

Wenn du denkst, dass du die Theorie nun beherrschst, kannst du die gleich an eine Übungsaufgabe wagen.

Gewinnfunktion & Erlösfunktion: Übungsaufgabe
Gewinnfunktion & Erlösfunktion: Übungsaufgabe

Verständnisfragen

Damit du das Thema noch besser verstehst haben wir einige Fragen für dich zusammengestellt. Dadurch kannst du dein Verständnis  noch weiter vertiefen.

Gewinnfunktion & Erlösfunktion: Verständnisfragen
Gewinnfunktion & Erlösfunktion: Verständnisfragen

Klausuraufgabe

Um zu überprüfen, ob du schon bereit für die Klausur bist, kannst du dich an einer unserer Klausuraufgaben probieren.

Gewinnfunktion & Erlösfunktion: Klausuraufgabe
Gewinnfunktion & Erlösfunktion: Klausuraufgabe

Zusammenfassung

Wir fassen noch einmal alle wichtigen Informationen zusammen. Wir haben uns in diesem Artikel mit der Gewinn-, Erlös- und Kostenfunktion auseinandergesetzt. Die Gewinnfunktion ist die Differenz zwischen der Erlösfunktion und der Kostenfunktion. Sie drückt aus, wie viel Gewinn oder Verlust ein Unternehmen unterm Strich generiert. Mithilfe der Gewinnfunktion kann ein Unternehmen die optimale Ausbringungsmenge x bestimmen, die zu seinem maximalen Gewinn führt.

Die Erlösfunktion gibt den Umsatz an, den ein Unternehmen durch sein verkauftes Produkt erhält. Sie setzt sich aus dem Verkaufspreis multipliziert mit der der Absatzmenge zusammen.

Die Kostenfunktion stellt dar, welche Kosten aufgrund einer Ausbringungsmenge anfallen. Diese erhält man, in dem fixe und variable Kosten aufsummiert werden.


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