y Achsenabschnitt berechnen
In diesem Artikel erklären wir dir, was der y Achsenabschnitt ist und wie du ihn für verschiedene Arten von Funktionen berechnest. Möchtest du das Thema in kurzer Zeit erklärt bekommen? Dann schau dir unser Video dazu an!
Inhaltsübersicht
y Achsenabschnitt einfach erklärt
Manchmal wird nach dem Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit den Achsen gefragt. Dabei wird der Schnittpunkt mit der y Achse als y Achsenabschnitt oder Ordinatenabschnitt bezeichnet.
Das Besondere am y-Achsenabschnitt ist, dass die x-Koordinate immer 0 ist!
Für eine beliebige Funktion f(x) entspricht der y Achsenabschnitt
Um den y Achsenabschnitt einer Funktion f zu berechnen, setzt du also einfach 0 in die Funktion f ein.
Beispiel: Die Funktion hat den y Achsenabschnitt bei .
y Achsenabschnitt berechnen: Lineare Funktionen
Bei linearen Funktionen liegt der y Achsenabschnitt immer bei
Aber was machst du, wenn du den y Achsenabschnitt einer Geraden berechnen sollst, wenn du nur zwei Punkte gegeben hast, die auf der Geraden liegen?
Sind und zwei Punkte der linearen Funktion , so kannst du die x-Werte beider Punkte in die Funktion einsetzen. Du erhältst dann
Stellst du nun beide Gleichungen nach m um, bekommst du
Nun kannst du die Gleichung nach umstellen und erhältst somit den y Achsenabschnitt
Beispiel 1
Nehmen wir an, du hast die Punkte und einer linearen Funktion gegeben. Setzt du die x-Werte der Punkte in die Funktion ein, erhältst du
Nun stellst du beide Gleichungen nach m um. Dabei bekommst du
Jetzt kannst du die Gleichung nach umstellen und du erhältst mit
den Schnittpunkt der Funktion mit der y Achse .
Beispiel 2
Hast du nun die lineare Funktion gegeben, so lässt sich der Ordinatenabschnitt berechnen, indem du einsetzt
y Achsenabschnitt berechnen: Ganzrationale Funktionen
Ganzrationale Funktionen sind Funktionen der Form
Willst du von Polynomfunktionen den Ordinatenabschnitt berechnen, so musst du in die Funktion einsetzen
Das heißt, der Ordinatenabschnitt einer Polynomfunktion ist das konstante Glied den du direkt aus der Funktionsgleichung ablesen kannst.
Hinweis: Das gilt natürlich auch für quadratische Funktionen , denn quadratische Funktionen sind Polynomfunktionen vom Grad 2.
Beispiel
Hast du zum Beispiel die Funktion gegeben, so setzt du ein und erhältst mit
den y Achsenabschnitt der quadratischen Funktion.
y Achsenabschnitt berechnen: Gebrochenrationale Funktionen
Bei einer gebrochenrationalen Funktion musst du nichts Besonderes beachten. In dem Fall musst du einfach in die Funktion einsetzen.
Beispiel
Betrachte die Funktion
Setzt du in die Funktion ein, so erhältst du als y Achsenabschnitt
Achtung: Eine gebrochenrationale Funktion muss nicht unbedingt einen Schnittpunkt mit der y Achse haben. Ist der Nenner für , dann ist die Funktion für nicht definiert und hat somit keinen y-Achsenabschnitt.
y Achsenabschnitt berechnen: Exponentialfunktionen
Exponentialfunktionen sind Abbildungen der Form
Setzt du x = 0 in f ein, so erhältst du
Der Ordinatenabschnitt einer Exponentialfunktion ist somit der Parameter a, den du auch direkt aus der Funktionsgleichung ablesen kannst.
Hinweis: Wenn du setzt, dann hast du eine e Funktion . Hier gilt das Gleiche.
Beispiel
Wenn du die Funktion betrachtest, dann siehst du, dass
der Schnittpunkt mit der y Achse ist.
y Achsenabschnitt berechnen: ln-Funktionen
Bei der ln Funktion musst du ein bisschen aufpassen. Denn die Definitionsmenge des natürlichen Logarithmus ist und somit ist für nicht definiert und hat deshalb auch keinen y-Achsenabschnitt.
Ist aber die ln Funktion mit einer anderen Funktion verschachtelt, so ist es möglich, dass die Funktion einen Schnittpunkt mit der y Achse hat.
Beispiel
Du hast folgende Funktion gegeben
Setzt du ein, erhältst du
und somit den y-Achsenabschnitt der Funktion.
Wichtige Begriffe der Kurvendiskussion
Bevor wir uns den Aufgaben widmen, geben wir dir an dieser Stelle eine kleine Übersicht wichtiger Begriffe, die du im Zusammenhang mit der Kurvendiskussion beherrschen solltest:
- Kurvendiskussion
- Kurvendiskussion Aufgaben
- Ableitung
- Ableitungsregeln
- Extrempunkte berechnen
- Hoch- und Tiefpunkte
- Sattelpunkt berechnen
- Monotonie
- Wendepunkt berechnen
- Wendetangente
- Symmetrie
- Punktsymmetrie
- Achsensymmetrie
y Achsenabschnitt berechnen: Aufgaben
Widmen wir uns nun ein paar Aufgaben, um das Thema besser zu verstehen.
Aufgabe 1: Ablesen des y Achsenabschnitts
Gib den y Achsenabschnitt der folgenden Funktionen an, ohne einzusetzen.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Lösung: Aufgabe 1
a) Hier handelt es sich bei einer linearen Funktion, bei der du den y-Achsenabschnitt direkt ablesen kannst. Du schaust dir dabei an, welcher der Summanden konstant ist.
In dem Fall ist es
b) In dem Fall kannst du den Ordinatenabschnitt nicht direkt ablesen. Dafür musst du den Term erst umschreiben
Nun hast du eine quadratische Funktion gegeben bei der du den Schnittpunkt mit der y Achse direkt ablesen kannst.
c) Die Funktion ist eine ganzrationale Funktion, das heißt du kannst den y Achsenabschnitt einfach ablesen.
d) Diesmal kannst du den Ordinatenabschnitt nicht direkt sehen, denn dafür musst du den Term erstmal ausmultiplizieren. Damit ergibt sich
Nun kannst du den y Achsenabschnitt direkt ablesen.
e) Hier hast du eine Exponentialfunktion gegeben bei der du den y Achsenabschnitt schnell ablesen kannst.
f) Nachdem du die Funktion in die ganzrationale Funktion
umgeformt hast, siehst du sofort den Ordinatenabschnitt .
Aufgabe 2: y-Achsenabschnitt berechnen
Berechne den y Achsenabschnitt der folgenden Funktionen.
a)
b)
Lösung Aufgabe 2
a) Setze den Wert in die Funktion f ein und erhalte
als Schnittpunkt der Funktion mit der y Achse.
b) Wenn du in die Funktion einsetzt, erhältst du
und somit den Ordinatenabschnitt der Funktion.
Schnittpunkt mit der y-Achse – kurz & knapp
Merk dir: An den Punkten, an denen deine Funktion f(x) die y-Achse schneidet, ist x = 0.
Deswegen gehst du in zwei Schritten vor, wenn du den Schnittpunkt mit der y-Achse berechnen möchtest:
- Berechne y = f(0).
- Gib die Koordinaten des Schnittpunkts an: S(0 | y).
x Achsenabschnitt
Im Gegensatz zum y Achsenabschnitt, können bestimmte Funktionen auch einen oder mehrere Schnittpunkte mit der x Achse haben. Du berechnest den x Achsenabschnitt, indem du die Funktion setzt und die Nullstellen berechnest. Damit du die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen problemlos bestimmen kannst, schau dir jetzt unbedingt unser Video zur Nullstellenberechnung an. Los gehts!